2022年高考数学全国甲卷理科第20题的探究与推广

广西省南宁市第三中学 栾 功 （邮编：530021）

甘肃省兰州市第二中学 曹 艳 （邮编：730030）

1 试题呈现

（2022年高考全国甲卷理科数学第20题）设抛物线C:y2=2px（p>0）的焦点为F，点D()p，0，过F的直线交C与M、N两点，当直线MD垂直于x轴时，|MF|=3.

（1）求C的方程；

（2）设直线MD、ND与C的另一个交点分别为A、B，记直线MN、AB的倾斜角分别为α、β，当α-β取得最大值时，求直线AB的方程.

分析试题第（1）问考查抛物线的定义及标准方程，面向全体考生，体现了试题的基础性；试题第（2）问以2010年四川省预赛试题第8题为题源，设计了过抛物线C对称轴上一点D的两条动直线引发的定值问题.一方面题设所给四个点M、N、A、B以及四条直线MN、MA、BN、AB具有相同的逻辑结构，便于考生从不同视角构图设参，为不同考生展示思维品质、发挥能力水平提供了空间；另一方面试题以抛物线为载体深入考查考生运用坐标法解决解析几何问题的一般程序，突出考查考生直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，服务高校选才.

2 解法探究

试题第（1）问考查抛物线的定义，答案为C:y2=4x；试题第（2）问解决的关键在于如何建立点A、B与点M、N坐标之间的联系，以便刻画几何关系α-β，而当α-β最大时，直线MN的斜率确定，从而点M，N的坐标明确，直线AB的方程也便迎刃而解，下面从不同视角探究第（2）问的解法.

思路1从直线MN入手构图设参，以点M的坐标驱动运算

图1

点评该解法从直线MN入手构图设参，借助点M、N的坐标并通过设一求一的方法建立与点A、B坐标的联系，从而突破对几何关系α-β代数刻画的难点.整个解题过程不论是对直线MN、MA方程的表达，还是点A坐标的求解，都在体现解答解析几何问题的一般思考程序和通性通法，自然流畅.

思路2从直线MA与NB入手构图设参，借助三点共线消参求解

点评该解法从直线MA与NB入手构图设参，借助韦达定理和同构关系快速建立了点M、N与点A、B之间的坐标关系，再通过M、F、N三点共线消参求解，思路清晰，运算目标明确.和解法1 异曲同工，相得益彰.

思路3从点A、B入手构图设参，借助直线的同构特征整体运算

同理，直线MN的方程为4x-(y3+y4)y+y3y4=0，又直线MN过点F(1,0)，所以y3y4=-4，

直线AM、BN的方程分别为4x-(y1+y3)y+y1y3=0，4x-()y2+y4y+y2y4=0，又直线AM、BN都过点D(2,0)，所以y1y3=-8，y2y4=-8，于是当，又y1+y2=，故，即tanα=2 tanβ.

由解法1 知，当α-β最大时，，此时，因此，直线AB的方程为4x-，即

点评该解法紧紧抓住抛物线C上四个点M、N、A、B的同构特点，探索过抛物线上任意两点的直线方程形式，借助直线过定点消参求解，整个解答过程简捷明了，相比解法1,2 很大程度上优化了运算，降低了运算难度，体现了考生的思维品质与数学运算素养.

思路4从直线共性入手设参，借助同构特征优化运算

评注该解法从直线系方程入手构图设参，抓住四条直线都与x轴相交的特点解题，不仅解法精妙，还发现了直线AB过定点，为试题进一步的变式推广提供了探究思路.

3 探究推广

上述四种解法从不同视角阐释了直线AB与MN在运动变化过程中保持的规律性，即直线AB与MN的斜率之比为定值，这个定值恰好是点F与点D的横坐标之比，这不禁引起笔者的思考，在点D和F一般化的情形下，直线AB是否还保持类似的规律？

探究1如图2，已知点M1(m1,0)，M0(m0,0)，（m0>m1>0），过点M1的直线交抛物线C:y2=4x于点M、N，直线MM0、NM0与C的另一个交点分别为A、B，则（1）直线AB恒过定点（2）直线AB与MN的斜率之比为定值

图2

如果抛物线C:y2=4x一般化为y2=2px(p>0)，由上述探究，便有如下推广：

推广1已知点M1(m1,0)，M0(m0,0)(m0>m1>0)，过点M1的直线交抛物线C:y2=2px(p>0)与点M、N，直线MM0、NM0与C的另一个交点分别为A、B，则（1）直线AB恒过定点（2）直线AB与MN的斜率之比为定值，即

推广2已知点M1(m1,0)，M0(m0,0)(m0>m1>0)，过点M1的直线交抛物线C:y2=2px(p>0)与点M、N，直线MM0、NM0与C的另一个交点分别为A、B，记直线MN、AB的倾斜角分别为α、β，当α-β取得最大值时，

探究2已知点D(2,0)，过点D的两条直线分别交抛物线C:y2=4x与点M、A和点N、B（点B、M在x轴上方），直线x=2 与直线BM、AN分别交于点P、Q.求证：DP=DQ.

证设M(x1,y1)，B(x2,y2)，N(x3,y3)，A(x4,y4)，由解法3 知，直线BM、AN的方程分别为：

所以yP=-yQ，从而DP=DQ.

推广3已知点D(t,0)(t>0)，过点D的两条直线分别交抛物线C:y2=2px(p>0)与点M、A和点N、B（点B、M在x轴上方），直线x=t与直线BM、AN分别交于点P、Q，则DP=DQ.

探究3已知点D(2,0)，过点D作两条直线分别交抛物线C:y2=4x与点M、A和点N、B（点B，M在x轴上方），求证：直线AN与BM的交点在定直线x=-2 上.

证设M(x1,y1)，B(x2,y2)，N(x3,y3)，A(x4,y4)，由变式1知y1y4=-8，y2y3=-8，又直线BM，AN的方程分别为：

推广4已知点D(t,0)(t>0)，过点D作两条直线分别交抛物线C:y2=2px(p>0)与点M、A和点N、B（点B、M在x轴上方），则直线AN与BM的交点在定直线x=-t上.

圆锥曲线蕴含丰富的数学思想和神奇的规律性质，犹如推广3，实际上是蝴蝶定理在抛物线中的推广，像这样引导学生对一个问题展开深入探究，对激发学习兴趣，提升运算能力，培育核心素养都大有裨益.

4 教学启示

4.1 关注数学本质，注重通性通法

解析几何的本质是用坐标法研究几何关系，难点是几何关系代数化的过程，就如本题，如何构图设参、消参求解、利用坐标刻画几何关系αβ，都是指向问题的本质，即两直线AB与MN斜率关系的探究，如果洞悉了本质，那解法便思如泉涌.再回顾四种解法，无不都在体现直角坐标系下点、直线的表达，解决问题的方法最终回到了通性通法.进一步启发我们在一线教学中更要注重对问题背后数学本质的分析和通性通法的练习.

4.2 挖掘试题价值，提升关键能力

在数学学习活动中，通过一题多解、一题多变、一题多思等学习活动充分挖掘试题价值，对于夯实必备知识、提升关键能力、培育核心素养、开阔数学视野及培养创新精神等方面具有重要作用，尤其是在新高考改革和双减政策实施的当下，更需增质减负，立德树人.