基于多元表征的指数函数教学策略研究

阜阳师范大学数学与统计学院 王凯欣 王菁菁 盛兴平 （邮编：236037）

1 问题的提出

表征既能够看作是一个动词，又能够看作是一个名词.表征既可以是事物的外在征象，又可以说是揭露了事物的内在的本质[1].数学表征，也可以理解为数学学习内容的表征.也就是说，数学表征的根本含义是数学学习内容的替代，这个替代不仅仅是指替代物本身，还是指这个替代过程.数学表征与表征同样可以分为两类：一类是数学外在表征，另一类是数学内在表征.Goldin等人指出，数学外在表征反应了数学学习内容的外部表现形式；而数学内在表征是指个人对于数学学习内容进行意义赋予和建构，包括个人的语言语义、心象、数学的情感体验、策略及启发法等[2].对于同一数学学习内容来说，至少能够通过“数”与“形”的不同表现形式进行表征，这就是数学多元表征.

与平常的教学设计方式比较，优化多元表征学习的教学设计方式能够显著提高学生对于数学问题解决学习的效果和效率，能够显著降低学生在数学问题解决学习中的认知负荷[3].以数学多元表征理论为基础，探讨指数函数应如何进行教学，从而促进学生对指数函数进行有意义学习是具有很大的科学研究价值的.

指数函数是一个非常关键的函数模型，国内外对于指数函数的教学研究都非常重视，对指数函数的研究主要集中于如何用现代信息技术对教学进行辅助以及如何利用数学教育理论对教学进行指导两个方面，从而更好地帮助学生领悟数学知识，提高学生学习的效率，最终达到更佳的教学效果.然而，鲜少有人在数学多元表征理论的基础上探讨指数函数的教学策略.有鉴于此，本文以数学多元表征理论为基础，探讨指数函数应如何进行教学.

2 指数函数的内容

“函数是现代数学中最基本的概念，是描述客观世界中变量关系和规律的最为基本的数学语言和工具，在解决实际问题中发挥着重要作用”[4].指数函数是高中生步入高中后具体分析的第一个基本初等函数，要利用好它向学生渗透研究函数的一般方法：定义、图象、性质、应用，从而为下面研究其它函数做好铺垫.指数函数不仅是后面学生学习对数函数、三角函数和等比数列以及导函数等高中数学内容的奠基石，并且指数函数还是一个非常关键的函数模型，它的应用非常广泛，同时是分析和处理大量数学问题和实际生活中的问题的比较关键的工具.

高一学生的思维水平已经较为成熟了，他们可以领悟抽象的逻辑，因此可以完成对指数函数概念的认知.然而，由于指数函数这一概念较为抽象，会降低学生的学习兴趣，因此，仍然有许多的认知障碍，需要借助数学多元表征帮助学生领悟.如果教师能恰到好处地应用数学多元表征，可以帮助高中生更好地领悟和掌握指数函数的概念，学会利用指数函数构建合适的模型，处理比较简单的实际问题，从而更好地感受指数函数在解决实际问题过程中的巨大作用.

3 指数函数的多元表征

指数函数y=ax(a>0且a≠1)是高中数学教学的一个重点和难点，存在不同的学生对不同的内容理解不深、掌握不透现象，好在指数函数拥有多种表征形式，每一类表征都有其自身的优点，适合不同学生的学习需要；有些表征还可以进行有效互补，全面充分地表述指数函数内在本质，从而更好地促进学生的领悟与理解，达到优质的教学效果.

指数函数在教学中的表征主要表现为：情境表征、操作表征、解析式表征、符号表征、文字表征、表格表征和图象表征等七种情形.

3.1 情境表征

在教学开始的时候可以创设细胞分裂的情境表征：某种细胞进行分裂的时候，从1个分裂为2个，2 个分裂为4个，4个分裂为8 个……，我们设细胞分裂的次数是n，那么对应的细胞的数量就是2n.通过这样的情境表征，可以将现实的问题抽象为数学问题，联系了学生的生活实际，由此引入，可以调动学生对指数函数的学习兴趣，使他们从内心深处认识到学习指数函数是有益的，能够处理现实生活中的问题.

3.2 操作表征

为了让学生更好地领悟，教师可以让学生拿出一张纸，不断对折，1 次对折变成2 层，2 次对折变成4 层，3 次对折变成8 层……，n次对折变成2n层，假设一张纸的厚度为1mm，计算每次折叠之后纸的厚度以及经过多少次折纸可以达到珠穆朗玛峰的高度：8848.86 米.通过学生的计算，让学生亲身体验指数的“爆炸性”增长，增加学生的直接经验，促进学生的领悟.

3.3 解析式表征

经过上述过程，可以得到一个相应的函数解析式：y=2x.这是一个特殊的指数函数.通过这个解析式表征可以清晰准确地概括出x和y之间的关系，还可以利用这个解析式直接求出x所对应的y值.

3.4 符号表征

将y=2x扩大到一般情况，就可以得到指数函数的概念：一般地，函数y=ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R.高度抽象的符号表征可以简洁明确地表述指数函数的概念，让学生更好地感知指数函数本质属性，领悟指数函数知识.

3.5 文字表征

在知道了指数函数的概念之后，教师可以给出文字表征.要想确定一个函数是不是指数函数，必须紧紧把握三个要点：指数函数的底数是一个大于0 且不等于1 的常数；指数函数的自变量一定是在指数的位置；指数函数的a的系数一定是1.通过上述文字表征，通俗易懂地说明指数函数的特点，可以让学生更加明白指数函数的概念，领悟指数函数的本质，明了究竟什么是指数函数，降低学生学习指数函数时的认知负荷.

3.6 表格表征

为了更好地探求指数函数的性质，可以让学生自主填写下列表格：

表1 表格表征

通过表格表征可以让学生直观地得出与x所对应的y值，感受指数函数y=2x、y=3x、y=的特点，进一步感知指数函数的性质.

3.7 图象表征

通过描点法可以得到指数函数y=2x、y=3x、的图象，进一步得到指数函数的图象表征，图象分为y=ax（01）两种：

图1 y=ax（0＜a＜1）的图象

图2 y=ax（a＞1）的图象

通过图象表征将比较抽象难懂的指数函数直观化，分类讨论，数形结合，从而降低学生在领悟指数函数和研究指数函数性质时的认知负荷.

4 指数函数的教学策略

基于上述内容，总结了如下图3 指数函数教学框架和教学策略：

图3 教学框架

4.1 创设恰当情境，提高学生的兴趣

创设比较恰当的教学情境表征，能够在一定程度上调动学生对指数函数的学习兴趣.不仅是因为在数学教材中，指数函数的各种数学概念、命题、定理等一般都是非常抽象难懂的，仅仅是由冷冰冰的文字进行陈述出来；还因为学生缺乏有关数学活动的各种经验，所以教师需要创设比较恰当的教学情境表征.

为了使学生更容易领悟概念和发现命题，调动学生的学习兴趣，教师应当在教学中创设恰当的情境，创设恰当的描绘性表征和叙述性表征.当然，情境的创设不是随便就可以的，而是要经过反复地推敲，深思熟虑创设而成的.应该创设比较直观生动、形象简洁的情境，与学生的认知水平相一致，同时还要注意学生的实际生活经验，注重其知识背景贴合学生的实际.但是不能为了创设情境而创设情境，否则创设的情景不但达不到理想的教学效果，反而会阻碍学生的领悟，加大学生的认知负荷.此外，还可以结合现代教育技术，学生会对现代教学技术感到新奇，从而能引起他们的注意，并能使他们的注意力集中起来，有利于高中数学的情境创设，使得数学知识更加直观有趣.

例如：在进行“指数函数的概念”的教学时，可以创设这样的情境：游客人次的增长模型[5].

随着中国经济的快速发展和人们的生活水平越来越高，旅游成为了许多人享受的一种生活方式.随着游客数量的增长，A、B 两个地方从2001年开始就使用了相应的对策，A 地景区的对策是上调票价，B 地却取消了.下面的表2 列出了A、B 两地景区从2001年到2015年的游客人次以及逐年增加量.

表2 A、B 两地景区从2001年到2015年的游客人次以及逐年增加量

教师让学生试着对比一下两地景区的游客人次的变化情况，描述变化特点，引导学生用不同的方法描述，启发学生求出B 地景区的游客人次的变化特点的函数表达式y=1.11x(x∈[0,+∞))，这是一个自变量为指数x的函数.

通过上述这样的情境引入新课，不但可以将学生的注意力集中在课堂上，还能让学生进行恰当的内容选择，促进学生开展有意义学习，让学生自己主动去处理教学内容，让学生体验到用数学语言来观察和探索现实世界，把指数函数知识具象化到客观世界中，使他们体验到数学存在的价值，使他们积极地发现和探索数学世界，并感受到指数函数独特的美感.

4.2 展示多种表征，促进浅层码建构

在用生动有趣的情境引入新课以后，已经激发了学生的学习兴趣，学生把注意力集中在知识的学习中.接下来教师应当引导学生逐步领悟新知，从而促进学生浅层心象码和言语码的建构.

斯托利亚尔曾提出“数学教学，换而言之，就是数学语言的教学”[6].依据数学表达的内容，数学语言能够分成三种：数学符号语言、数学图表语言以及数学文字语言.三者各具特色，相辅相成，对应了知识的多元表征，即叙述性表征和描述性表征.通过多元表征，从多种角度，各个方面对指数函数知识展开教学，在帮助学生减少认知负荷的同时，加深对指数函数知识的多元表征讯息的自由转化和深度处理、选择和储存，注意各种多元表征内容间的运用和联结.从而促进学生对新知识的描绘性表征与叙述性表征的认知处理，建构浅层言语码以及浅层心象码.

当今世界，信息技术飞速发展.用传统的教学方法进行教学，单纯通过课本和黑板来展现新的知识，既不能吸引学生的注意力，也不能充分展现数学的魅力，会让学生觉得数学是静止且无趣的，从而影响到教学的效果.不仅如此，由于指数函数知识比较抽象难懂，很多概念和问题都不能用语言文字来展现.而现在，信息技术的出现，尤其是GeoGebra 的产生，正好能解决这个问题.

例如，在进行“指数函数的图象和性质”的教学的时候，运用动态数学软件GeoGebra 演示随着指数函数的底数a变化时，指数函数f(x)=ax(a＞0，且a≠1)图象的动态变化轨迹，如图4所示.

学生可以比较清楚直观地看到在指数函数的底数a发生变化的时候，应该将指数函数图象分为两种情况，一种是a＞1 的情况，还有一种是0＜a＜1 的情况.并且在0＜a＜1 的时候，随着底数不断增大，图象越来越远离y轴；而在a＞1 的时候，随着底数不断增大，图象越来越接近y轴.同时，无论底数a怎样变化，指数函数f(x)=ax(a＞0，且a≠1)的图象都一直在x轴上方且恒过定点(0，1).这时还应该提醒学生恒过定点(0，1)是因为a0=1.利用多种表征促进学生内部心象与外部言语的转化，使得他们加深对图象表征的领悟，从而提高数学课堂的教学效率.

图4 指数函数图象的变化轨迹

教师如果能够恰当使用现代化教育技术，借助计算机教学的辅助作用，比如几何画板，Geo⁃Gebra（动态数学软件）等，特别是在指数函数的教学中，通过刺激学生的视觉、听觉等感官系统，不但可以动态地展示实际生活中的物体，可以展现概念或者问题的生成过程，还可以对指数函数进行动态直观的操作，可以完善指数函数概念的表征形式，从而达到把握指数函数概念以及函数问题的内部结构的目的，使得学生对于概念的领悟更为深入和清晰，丰富和完善学生的指数函数知识结构体系.

4.3 自主合作探究，促进深层码建构

必须以学生为主体，学生应该掌握学习的主动权，教师在旁边引导，起主导作用，同时要多给学生自主探究和合作交流的机会，让学生多表达，有充分发挥的余地，留给他们思考和整理的时间.若一节课从头到尾都是教师自己在讲，满堂灌，这样不仅教师自己觉得累，学生的学习效果也不一定好，还加重了学生的认知负荷，不利于学生构建言语码和心象码，更不要说建构整合码.

在教学设计时，教师应当有计划地设计恰当的问题、猜想、怀疑、提醒等，按照计划促进学生进行转换和转译，让学生经常自主探究和合作交流，养成学生独立思考、乐于探究的习惯，提高学习效果与效率.这样不仅能有效地减少学生的认知负荷，促进学生深层码的建构，还可以提高指数函数的教学效率.

学生在完成对概念的浅层码和深层码的构建之后，接下来的重点就是如何运用所学会的指数函数知识去解决具体的实际问题.所以在接下来的巩固练习时，教师要根据教学目标设计恰当的分层练习、变式练习甚至是开放式练习.恰当的巩固练习，可以使学生更好地掌握新的指数函数知识，并使学生更好地领悟和内化指数函数知识，促进学生深层码的建构.

在指数函数的练习中，学生常常画不出甚至想象不出题目中所给函数的图象.此时，对问题进行苍白无力的语言说明不能辅助学生在心中构建图象，在黑板上画图不仅耗费时间，而且不精确，也很需要教师的画图能力.而动态数学软件GeoGebra 的使用，可以很好地解决这个问题，利用信息技术可以把题目中的函数图象迅速而精确地展示给学生.

这样一个例题：在之前的游客人次的增长模型当中，假设平均每个游客旅游一次当地能够获得一千元的额外收益，并且A 地的票价是150 元，试着将这15年来A、B 两地的旅游收入发展状况进行对比.

学生小组合作完成，画出图象（图象表征），如图5.

图5 例题

生：(1)假设经历了x年之后，游客带给A、B两地的旅游收入是f(x)、g(x)，则f(x)=1150×(10x+600)；g(x)=1000×278×1.11x.

当x=0 的时候，f(0)-g(0)= 412000；

当x≈10.22 的时候，f(10.22)≈g(10.22)；

当x<10.22 的时候，f(x)>g(x)；

当x>10.22 的时候，f(x)

当x=14 的时候，g(14)-f(14)≈347303.

4.4 自我总结提升，促进整合码建构

在教学的最后阶段，学生反思指数函数知识的形成过程和问题的处理方法，总结数学思想方法和自己的学习方法，对自己的学习过程进一步反思，使自己能够不断地巩固和内化指数函数知识，增强对问题的发现、提出、分析、解决的能力，从而进一步提升数学核心素养.课堂小结的时候，教师不但应该注意指数函数知识内部的结构，还应该联系其他知识，促进知识迁移，尤其应该注意学生的深层言语码和深层心象码，促进它们之间的互相参考、互相沟通、互相联系、互相检查与验证、互相修改、互相转译的活动，并同时促进这些环节自动产生.

例如，在“指数函数的图象和性质”的教学中，教师应该让学生自己总结函数的一般研究过程，总结解决指数函数问题的一般方法，教师结合黑板文字、符号、图象、图表等讲评，促进学生整合码的建构.

5 结语

本文只是在基于多元表征的指数函数的教学策略方面做了探索研究，从而促进学生对指数函数的有意义学习.对于数学多元表征的应用，还有很大的研究价值，亟待我们深入探索.