关于三角形旁切圆半径的一个不等式再研讨

安徽省芜湖市善瑞中学 许卫国 （邮编：241070）

1 引言

设a、b、c、ra、rb、rc、R、r、s、Δ分别是△ABC的顶点A、B、C所对的边长，旁切圆半径，外接圆半径，内切圆半径，半周长与面积，∑表示求循环和.

《数学通报》2019年12 期刊登了数学问题2520 如下：

在△ABC中，有

《数学通报》2020年1 期刊登了问题提供者给出的利用柯西不等式证明的解答.本文给出不等式（1）的一个加强与逆向.

定理 在△ABC中，则有

2 三个引理

为证明不等式（3），先给出三个引理.

引理1在△ABC中，有

引理2[6]在△ABC中，有

等号当且仅当△ABC为正三角形时成立.

引理3[7]在△ABC中，有

等号当且仅当△ABC为正三角形时成立.

3 主要结论的证明

证明由三角形海伦面积公式及Δ=(sa)ra=(s-b)rb=(s-c)rc=sr，得

依据欧拉不等式R≥2r，18R2-3Rr-2r2-16R2=(2R+r)(R-2r)≥0，所以18R2-3Rr-2r2≥16R2，等号当且仅当△ABC为正三角形时成立.利用引理2，有

不等式（2）右侧得证.

依据欧拉不等式，有8R3-(4R3+6R2r+3Rr2+2r3)=(4R2+2Rr+r2)(R-2r)≥0，所以4R3+6R2r+3Rr2+2r3≤8R3，等号当且仅当△ABC为正三角形时成立.

利用引理3

由引理2、引理3 等号成立的条件及证明过程知，不等式（4）两侧等号成立当且仅当△ABC为正三角形.

4 讨论

由欧拉不等式R≥2r，知1，所以不等式(2)的右侧不等式比文[2]利用柯西不等式得到的不等式强，利用熟知的不等式：R，知所以不等式（2）的右侧是不等式（1）的加强.