倒梁法模型下的锚索框架梁最优跨径研究

马 康 彭小勇

(贵州省交通规划勘察设计研究院股份有限公司 贵阳 550081)

预应力锚索框架由于对边坡的锚固和整体绿化效果突出，已广泛应用于高边坡支护工程中。对于锚索框架梁的计算，目前已有了一定的研究成果。李群等[1]采用双参数模型进行计算推导。蔡伟[2]采用了考虑梁和地基反力弹性变化的弹性地基梁法来计算。田亚护等[3]以Winkler模型为基础，采用差分法进行推导。王春光等[4-5]采用海藤尼解法等，叠加多个集中力，提出一套简化模型。肖世国等[6]分别按Winkler地基模型和连续梁方法计算。对于梁的最优跨径研究，普遍对象为桥梁，杨毅[7]基于奇异函数法，推导出等截面连续梁合理跨径比；孔龙华[8]分析边中跨比不同对大跨径连续刚构桥设置成桥预拱度的影响。

从现有成果来看，部分研究中采用算例赋值计算的方法演示计算过程，缺乏一般化、参数化的计算公式。本文采用连续梁倒梁法，可完善计算机理的推导，给出明确的一般化、参数化的计算公式；同时将桥梁上常用的“最优跨径比”概念引入框架梁的计算中，推导出最优跨径配置推荐，以达优化目的。

1 计算模型

1.1 讨论对象

由于简化结构的不同，各类形式的锚索框架的内力计算存在差异。本文所讨论的为一种广泛使用的6孔锚索框架梁，为两正交轴的对称结构。端部均为自由，无顶横梁与底梁联系。横、竖梁均采用宽高相等的正方形截面梁。布置情况如图1所示。

图1 6孔锚索框架正视图

1.2 计算方法与基本假定

对锚索框架梁的计算，通常是将框架梁简化为单根连续梁或简支梁，再选取适当的地基模型。根据不同计算方法的优缺点，同时也依据滑坡防治设计规范[9]中对梁的计算方法提出“按倒梁法计算”等相关条款要求，本文采用计算方法较简单、实用性强、便于广泛使用的刚性倒梁法，对框架梁进行受力计算分析。分别将竖梁、横梁简化为双悬臂两跨连续梁和双悬臂简支梁。同时假定①忽略纵梁和横梁的扭转效应，即将横、纵梁的交叉节点简化为铰支链接，不考虑其转角约束；②不讨论框架结构与岩体地基的相对刚度对地基压力的影响，认为框架地梁具有一定刚度。

1.3 支座误差控制

倒梁法计算的支座反力一般不等于锚索张拉荷载，主要是由于没有考虑土与基础以及上部结构的共同作用，假设地基反力按直线分布与事实不符所致。可用逐次渐进的方法，将支座处的不平衡力均匀分布在本支座附近l/3跨度范围内，调整后的地基反力呈阶梯形分布，然后再进行连续梁分析，可反复多次，直到支座反力接近锚索张拉荷载为止(以多采用的误差允许值±5%为限)。

2 框架内力推导

2.1 锚固力的分配与修正

预应力锚索框架梁支护结构与十字交叉条形基础梁类似，但其受力更复杂。实际工程中常将锚索框架梁拆分成若干单独的梁以简化计算，此简化首先要解决节点力在横向和纵向的分配问题。依据公路路基设计规范[10]、滑坡防治设计规范，对达到设计吨位的锚索锚固力进行横竖梁的分配与节点修正。本文中的横竖梁，均采用宽、高相等的正方形截面梁，锚固力分配为各l/2，再加以节点修正值。设Pi为单孔锚固力，此步骤所得Pix、Piy分别为分配在横、竖梁上的锚固力，ΔPix、ΔPiy为修正值，Pix′、Piy′为修正后的横、竖梁上的锚固力，用于后续梁内力的计算。

2.2 竖梁计算

取竖梁单独作为研究对象，根据倒梁法，将3处锚索拉力作用点视为支座，将地基反力(坡面反力)视为均布荷载q，则双悬臂2跨连续梁的计算简图见图2。

2.2.1结构内力计算

采用结构力学力法对此一次超静定结构进行内力计算，并经过繁琐的手算推导，将结果用原始参数a、q、l表示(为方便设计使用，实现多工点批量计算)。弯矩取下侧受拉(背山侧)为正，上侧受拉(靠山侧)为负。剪力取绕截面顺时针为正，逆时针为负。后文与此原则始终统一。

2.2.2反力局部调整

通常对于倒梁法，将3处锚索拉力等效为地基反力的均布荷载，从而求解连续梁时，所得结构的支座反力不等于实际锚索的锚固力。故需要通过某种方法对结果进行修正。参考GB/T 38509-2020中附录K.2.4，将计算出的支座反力RB、RC、RD与锚索拉力Piy′相比，求出差值，再次均匀分布在相应支座的两侧各l/3跨度范围(中跨l/3，边跨a)。重新求解结构的内力值及支座反力，直至支座反力与锚索拉力基本吻合。计算经验显示1～2次调整后可达到预期。支座反力重新分布计算简图见图3。

图3 支座反力重新分布计算简图

同样采用结构力学力法对此一次超静定结构进行内力计算，并经过推导，求出结构在荷载ΔqB+ΔqC+ΔqD作用下内力值，作为内力的修正与修正前全梁荷载q下的梁的内力求和，即为修正后的连续梁内力情况。同样将结果用原始参数表示，修正后的结构内力结果见式(1)。

2.2.3支座误差验算

修正一次后的支座反力与实际单孔锚索拉力之间仍然存在误差。修正后，推导可得到支座反力最终值。支座反力与锚索锚固力的偏差即为误差值，其推导方法见式(2)。式中：n=a/l。为使得反力调整一次后，结果令人满意，控制调整后反力误差小于等于5%。故反求EB≤5%且EC≤5%时，n的取值范围。

(2)

式中：EB、EC分别为B、C支座的反力误差。

采用图解法：计算不同的n值对应的误差EB、EC，作图4，求n∈(0,1)范围内的EB、EC值。由解法可得：当跨度比n处于范围0.243 4≤n≤0.599 1时，结果误差值EB、EC均在±5%范围内。

图4 误差关于n值的曲线图

2.3 横梁计算

横梁的结构为双悬臂简支梁。相较于竖梁，横梁的计算较为简单。确定计算结构后，常规的使用截面法即可求出内力公式。计算简图见图5。

图5 横梁计算简图

受力按图5简化后，计算内力结果如式(3)，同样将结果用原始参数表示。

(3)

3 最优跨径

在推导得出横、竖梁弯矩的情况下，为使梁的正负最大弯矩接近，合理地在靠山侧、背山侧均匀配筋，充分发挥梁的受力性能，可求出各自的最优跨径。

3.1 竖梁的最优跨径

首先确定最大负弯矩值。由前节式(1)，且最大负弯矩M-为B、C弯矩最大值，最大正弯矩M+为BC跨中弯矩。令n=a/l，当n取不同值时，最大负弯矩不同，其计算方法如式(4)。

(4)

(5)

同时验算n=a/l=0.389 1时，按2.2.3中误差分析结果，n=0.389 1位于0.243 4≤n≤0.599 1范围，修正后误差小于±5%，可接受。

图6 y=F(n)关于n=a/l的变化曲线图

总体上，n=a/l=0.389 1既使竖梁正负弯矩最为接近，又使竖梁的支座反力经过一次修正之后，与锚索锚固力值达到较高的吻合度(误差不到0.1%)，跨度比合理。即对于竖梁而言，最优梁跨比n=0.389 1。

3.2 横梁最优跨径

4 推导结果验证

由于本文推导的内力计算公式计算量庞大，涉及繁琐的化简推导，另采用结构计算软件对相同条件的锚索框架进行计算求证，确保推导的公式的准确可靠。所采用的计算软件为SM Solver 2.5.0。本节分别对手算结果和软件结果进行整理对比。

选择贵州某高速公路硬质岩顺层边坡中所采用的6孔锚索框架为工程依托。竖梁尺寸：跨径l=4 m，悬臂端长度a=1.59 m，双悬臂2跨连续梁(对应坡比1∶0.5，坡高10 m的边坡坡面)；横梁尺寸：跨径l=4 m，悬臂端长度a=2 m，双悬臂简支梁；取锚固力分配与节点修正均完成后的单孔锚索拉力为Pix′=Piy′=377.18 kN。

横梁计算不涉及支座反力修正；而竖梁计算在软件中，考虑同时施加初始全梁均布荷载(坡面反力)和支座处均布荷载(修正荷载)，以达到修正力再次作用的效果，其计算模型见图7。

图7 竖梁全梁荷载+支座反力修正均载计算模型

2种方法下的内力结果见表1、表2。计算结果对比表明：本文推导的倒梁法手算结果公式，能精度很高地计算出框架梁的内力值(误差值≤0.01%)，竖梁中极小的误差来源于有效数字的取值(若有效数字位数足够多，机算结果可以做到分毫不差)。推导过程可靠，实际设计工作中可直接使用，通过修改原始参数(如a、l、q)，批量计算，高效出图。

表1 竖梁计算结果对比表

表2 横梁计算结果对比表

5 结论

1) 对于双轴对称的6孔锚索框架结构，本文给出了采用倒梁法计算推导的较为精准的内力公式。便于编写简单计算表格，可实现工作中的批量计算。公式经笔者赋值计算，并与计算软件SM Solver 2.5.0的结果对比，吻合度高，可靠。

2) 竖梁作为双悬臂2跨连续梁，计算出的支座反力不等于锚索的单孔锚固力，与实际不符，故需进行误差重分配修正。横梁作为双悬臂简支梁，计算出的支座反力等于锚索的单孔锚固力。故不需进行修正。

3) 对于竖梁和横梁，分别存在一个相对最优的跨径比n(悬臂长度与跨径长度的比值)，使得结构弯矩更平均地分配于梁的内外两侧，使其绝对值最小，从而使两侧的受力纵筋配置更优。经过计算推导，对于竖梁，n=0.389 1，对于横梁，n=0.353 6。

4) 在横梁采用最优跨径的情况下，同样存在缺点：竖梁作为横梁的支座，分配不均匀，导致从整体上来看，竖梁的布置沿路线纵向存在“密-疏相间”布置的特点。景观上来说，不如均匀布置的整体效果好。设计者可酌情考虑，对比景观效果与工程造价的取舍问题，再考虑横梁是否采用本文提供的最优跨径比。

竖梁的最优跨径控制的是横梁布置，由于横梁的分布为沿边坡高度方向的竖向分布，且边坡多为台阶式10 m分级设置。故相邻两框架在边坡高度方向上不连续，彼此之间有边坡平台相隔，单个框架只设置在本级边坡内，且布满该级边坡。横梁的布置是否均匀，不影响整体景观效果。对于竖梁，则可以始终应用本文的最优跨径。