圆形建筑物倾斜监测中三点圆心法的应用研究

徐 建，曾群意

（西南电力设计院有限公司，四川 成都 610056）

随着社会建设的快速发展，各种圆形高耸建筑（如火力发电厂的烟囱、冷却塔、风机等）越来越多，而它们在建造及运行时均对垂直度有着严格要求，一旦倾斜量超出限值，后果可能是灾难性的。为确保它们处于安全稳定状态，需定期检测其垂直度。

圆形高耸建筑的倾斜监测历来是高精度工程测量的难点问题，特别是像烟囱、冷却塔等直径随高度的变化而不同，且无安装监测标志的建筑物。三点圆心法的提出很大程度上保证了监测成果的精度和可靠性。本文简述了利用免棱镜全站仪监测的原理和方法，推导出测量误差理论计算公式，并对误差公式进行了重点分析论证，阐述了精度变化规律及在使用该方法时应注意的事项。

1 三点圆心法介绍[1]

根据现场实际情况，在圆形建筑周围埋设控制点A和B，使用免棱镜全站仪，利用极坐标测量法可直接测量出同高度观测点坐标，再根据坐标差值计算水平位移分量和位移方向。三点圆心法示意图如图1所示。

图1 三点圆心法示意图

设圆形建筑圆心坐标为（XO，YO），半径为r，同一高度上3个观测点的坐标为P1（X1，Y1）、P2（X2，Y2）、P3（X3，Y3），该圆方程为：

由公式（1）—（3）可计算各个不同高度的观测值的圆心坐标，底部中心坐标可采用设计值或测量值，至此可以较方便地计算不同高度的移量及位移方向。实际工程中常采用增加观测组求均值的方法，或最小二乘平差法剔除粗差，以提高变形测量精度和可靠性。

2 误差公式推导

由于建筑物外壁坐标为极坐标法测量所得，因此讨论测量精度需对极坐标法的测量精度进行分析。极坐标法示意图如图2所示。

图2 极坐标法示意图

图2中A、B为已知控制点，P点为监测点，则根据极坐标测量原理P点坐标的计算公式为：

假定控制点成果测量误差固定，不影响待定点测量精度，对式（4）微分得：

令mβ为仪器测角误差，mD为仪器测距误差，则由式（5）及误差传播定律可得监测点点位误差方程[2]：

整理式（6），可得极坐标法测量精度评定公式如下：

由于圆形建筑物各观测点坐标值相互独立，根据建筑物中心计算公式及误差传播定律可得建筑物中心点位误差方程如下：

整理后得到计算公式如下：

已知：

整理式（7）—（9）后可得：

式（10）中：mD和r分别为仪器测距误差和圆形建筑半径；D12、D23和D13为圆形建筑外壁上3个监测点之间的距离。

一般圆形建筑半径为固定值，因此变形监测精度由仪器测距误差和监测点距离Dij（或相对位置）决定。

3 误差精度分析

设三点构成的三角形边长分别为a、b和c，对应的角度分别为A、B和C。由三角形外接圆性质可知：

将式（11）代入式（10），整理后式（10）可转化为：

即：

由式（13）可以看出，三点圆心法测量误差仅与3个测点的相对位置和仪器测距精度有关。由于三角形内角正弦值为位于0与1之间的值，故：

故上面式（12）和式（13）具有相同的单调增减性，为方便计算，后面讨论极值问题采用式（12）。

由于A+B+C=180°，此项为条件约束项，λ为任意数值。对式（14）进行求偏导数，函数驻点处偏导数为0，则有下列各式：

由式（15）—（17）可以看出，当且仅当A=B=C时有唯一驻点。对式（14）本体函数项进行求二阶偏导数，并代入驻点值，则有下列各式：

由于：

根据三元函数极小值的充分条件可以判定，驻点处为函数的极小值[3]，将驻点代入误差计算公式（13）可得理论最小测量误差：

由于误差计算公式只有一个驻点为极小值，故误差无极大值。假定三角形内角中A角度趋近于0，则：

由函数夹挤定理可知，根据误差计算公式计算的测量误差可在理论上无限大，故需要对三点圆心法适用范围进行探讨。测站视角示意图如图3所示。

图3 测站视角示意图

测站视角α值取决于测站至高耸建筑物的距离D和高耸建筑物半径，目前电厂烟囱的测量的视角一般为160°～176°，按视线1/2处可以返回免棱镜全站仪激光信号，则一个测站测量所得的三角形锐角β为20°，钝角为140°，将各角度数值代入误差计算公式（13）可得只架设一个测站的测量误差：

以烟囱变形监测为例，钢筒烟囱中心线垂直度偏差的限差为H/1 000，且小于等于100 mm，钢筋混凝土烟囱筒身中心线垂直度偏差限值如表1所示。

表1 钢筋混凝土烟囱筒身中心线垂直度偏差限差表[4]

表1（续）

现在免棱镜全站仪TRK模式下的测距精度为±（3+0.000 3%×D）mm[5]，依现有的免棱镜全站仪测程布设测站，测站至烟囱距离不超过500m，按500m计算测距精度为±4.5 mm，代入式（18）可得单测站三点圆心法测量误差为±24.1 mm。小于表1中各高度允许偏差，说明单站测量精度理论上可以满足规程规范要求。

4 结论

通过以上测量理论分析、误差公式推导、精度范围分析和现行规范要求对比分析，对三点圆心法研究后可以得出以下结论：①原理简单，便于监测人员理解和操作，只需根据图形几何关系便可推导出变形量计算公式和变形方向计算公式。②内业计算简单，可采用程序或电子表格自动计算，大大降低了测量人员复杂的内业计算工作。③外业操作简单，仅需要架站一次对圆形建筑各高度采集坐标点，在经济适用性、作业安全性和作业效率方面均较其他方法具有明显优势。④精度可靠性高，无需安装监测点，避免了仪器照准目标时的人为误差，且有多组观测数据，可相互印证。⑤单个测站测量精度理论上可以满足倾斜监测要求，故控制点选择简单。为提高激光信号反射性能和保证测量精度，激光入射角宜小于30°。⑥当测量仪器选定后，三点圆心法测量误差仅与3个测点的相对位置有关，应避免测点之间距离近的情况，保证三角形最小内角不小于20°，测点应较均匀分布于建筑物四周。⑦为保证测量质量，提高成果可靠性。可采用多点测量模式，利用最小二乘原理，平差计算出最优成果解。