基于单缝衍射原理的梁弯曲法杨氏模量的测量*

滕继慧 崔金玉 孙炳全

(营口理工学院基础教研部 辽宁 营口 115014)

张大伟

(营口理工学院电气工程学院 辽宁 营口 115014)

杨氏弹性模量(简称杨氏模量)是描述固体抗形变能力的重要物理量， 只与材料的性质有关，反映了材料弹性形变与内应力的关系，是工程技术中机械构件材料选择的重要参数之一[1]．杨氏模量的准确测定对研究金属材料、光纤材料、半导体、纳米材料、聚合物、陶瓷、橡胶等多种材料的力学性质以及机械零部件的设计等具有重要意义[2]．杨氏弹性模量的测量实验，国内大部分高等院校将其作为大学物理实验课程中的实验项目之一．因此，杨氏模量的测量实验[3]在当前国内各大高校的大学物理实验课程中的重要性是不言而喻的．它在培养学生掌握基本理论、锻炼操作技能以及提高数据处理能力等方面具有非常重要的作用．杨氏模量的测量方法有多种，传统方法有拉伸法[4]、梁弯曲法[5]、百分表法[6]、干涉条纹法[7]和动态法[8]等．随着科学的进步，有一些新的实验技术引入到实验中，如光纤位移传感器法[9]、摩尔条纹法[10]、霍尔位置传感器[11]、激光全息法[12]和电桥法[13]等．同时，生活中常见物体的杨氏模量也有很多被研究，例如利用杨氏模量测量仪研究头发丝[14]、医用缝合线[15]等．通过这些研究极大的丰富了杨氏模量测定实验项目的内容，促进了教师在实验教学过程中积极探索的精神，同时也提高了学生在实验过程中的积极性．

目前，采用霍尔位移传感器测量挠度的杨氏弹性模量实验装置已经得到广泛的使用．由于该仪器采用的是杠杆机构，是一种接触式的测量方法，测量的精度和操作性均不够理想． 为了提高测量的精度和操作的稳定性，本文中采用波长为650 nm半导体激光器作为光源，利用单缝衍射缝宽与衍射条纹间距的线性关系，测量出黄铜板的杨氏模量，计算出相对误差，根据相对误差结果的范围验证了本文方法的有效性．该实验体现了对所学知识变通转化的思想，提高了学生自己动手设计制作实验设备，锻炼和培养了学生独立思考、分析问题和解决问题的能力．

1 实验原理

本实验采用弯曲法测量杨氏模量实验的单缝衍射装置如图1所示，以激光(波长为λ)照射两刀片间的狭缝，狭缝在空载时的缝宽为Z，在距离狭缝为L的接收屏上将产生衍射条纹．

图1 单缝衍射示意图

图1中x为一级衍射暗条纹到中心的距离．实验装置图如图2所示，在两个支架中间有一个底座上，底座上固定刀片1，且在底座刀片1高度可调节．设支架在梁上的两支点间距为d．在质量均匀黄铜板(厚为a，宽为b)的中央处固定刀片2，使两刀片间距为Z．将固定好刀片的玻璃板水平对称地放置在支架上．两刀片间的距离即为单缝衍射时的缝宽，基于单缝衍射原理的梁弯曲法测量杨氏模量的设备基本完成．

图2 梁弯曲法测杨氏模量实验装置示意图

将质量为M的负载放在黄铜板的中心，忽略黄铜板本身负载的重力作用使黄铜板发生微小弯曲，即自由端上升，而中心点下降，使得两刀片间距变小，根据单缝衍射公式

Zsinφ=kλ

对于较小衍射角有

我们测量一级暗条纹间距(k=±1)则有

式中λ为激光的波长，x为衍射时形成的一级暗条纹到中心的距离，L为单缝到接收屏的距离，Z为单缝的宽度，当在黄铜板上施加不同负载(砝码)后，该公式为

此时xn为施加第n个砝码时形成的一级暗条纹到中心的距离，Zn为施加第n个砝码时单缝的宽度，利用弯曲法测杨氏模量公式

可求得黄铜板的杨氏模量．其中d为两刀口之间的距离，M为所加砝码的质量，a为黄铜板的厚度，b为黄铜板的宽度，ΔZ(挠度)为黄铜板中心由于外力作用而下降的距离，g为重力加速度．

2 实验方法和数据处理

2.1 实验方法

实验装置包括激光发生装置、待测杨氏模量的黄铜平板和刀片组成的单缝衍射图像接收装置．通过调节木块高低可以使两个刀片间距可变，从而形成缝宽可调的单缝，在固定2个刀片时保证两刀片在同一平面上，形成的单缝上下边缘要平行，从而使得单缝衍射出的图案有效．对于单缝的长度，则要求刀片的长度要远小于负载截面的长度，保证负载的重力能够集中作用在刀片上，消除因刀片长度引起的负载重力被分散所造成的误差．衍射图像接收装置包括坐标纸和游标卡尺测量衍射条纹间距．测量装置实物照片如图3所示．

图3 梁弯曲法测杨氏模量的实验装置实物图

实验步骤：

(1)按图2组装和搭建实验设备，打开半导体激光器并预热30 s左右．

(2)首先进行粗调．目测上下两刀片是否水平，是否彼此平行且在同一竖直平面内，以单缝为参照，调节半导体激光器的高度，使激光束、单缝在同一水平直线上，将坐标纸贴在接收屏上并放置在单缝的后方，调节接收屏与单缝的间距，直到看到明显的衍射条纹为止．

(3)其次进行微调．固定好待测黄铜板，调节底座刀片的高度，形成合适的单缝宽度，当激光照射两刀片形成的单缝时，在接收屏上形成明暗相间的衍射条纹．

(4)开始测量．调节单缝的宽度，在接收屏上寻找主极大和次极大，用游标卡尺测量主极大两侧一级暗条纹的间距，即中央主极大的线宽度．

(5)在待测黄铜板上依次加负载0、10、20、30、40、50 g砝码后，测量±1级暗纹间距，并将数据记录到表1中．

(6)用千分尺测量黄铜板的厚度a，游标卡尺测量黄铜板的宽度b，用米尺测量两支点间距d及接收屏到单缝的距离L，并将数据记录到表2中．

空载和负载为30 g和50 g时的衍射图像分别如图4所示，实验测得数据如表1和表2所示．由图4(a)的衍射图样我们可以看出，空载时中央主极大条纹宽而亮，两侧条纹具有对称性，亮纹较窄、较暗．当增加负载时，单缝变窄，中央条纹变宽，各级条纹间距变大，如图4(b)、(c)所示．单缝越窄，条纹间距越大，测量越精确．

图4 单缝衍射图样

表1 一级衍射暗条纹位置及单缝宽度的测量

我们对黄铜的厚度、宽度、支点间距离以及屏距测量3次，测得的数据如表2所示．

表2 黄铜板的几何尺寸及屏距的测量

2.2 实验数据处理

用逐差法对表1的数据进行处理，计算出黄铜板在M=30 g的作用下产生的位移量ΔZ

得到黄铜板的挠度为

ΔZ=0.529×10-3m

根据杨氏模量公式求出黄铜板的杨氏模量为

已知黄铜板样品的杨氏模量的标准值为

E0=10.55×1010N/m2

实验相对误差为

与霍尔位置传感器的弯曲法测量金属杨氏模量的实验相比，该实验优点在于不存在加减码时引起的微小摆动，并且读数简单，待测黄铜板和单缝相连，更具有稳定性、可重复性．实验操作中由于负载对横梁的受力面积较大，不能保证中心点受力，从而使负载对单缝的宽度有影响，造成加载不同负载时黄铜板的挠度测量有误差．

3 总结

本文通过梁弯曲法，利用自制的简易装置来测量微小形变量，既可以测量金属材质黄铜板的杨氏模量，也可以测量合金材料以及其他固体材料的杨氏模量，例如合金金属板和玻璃板等．该实验不但拓展了测量杨氏模量的新方法，同时也加深了学生对于杨氏模量原理的进一步理解．通过自制相关的设备装置，锻炼了学生动手能力、处理分析能力、解决问题的能力，培养了学生利用所学知识进行自主创新的思维．实验中将黄铜板的微小形变量转化为狭缝改变量，利用单缝衍射装置将微小形变量进行测量，实验装置较为简便，实验现象直观明显，原理通俗易懂，操作过程简单．适合一般的理工科大学生用来做学生实验，具有一定的实用价值．