例析曲线的公切线及其应用

张 平

(广东省珠海市实验中学)

相切体现了曲线间的一种特殊位置关系.两条曲线相切,既可以通过代数知识进行描述,也可以通过几何图形进行刻画;既可以考查学生的数学抽象素养,也可考查学生的直观想象、数形结合思想等.在近年高考试题中,涉及两条曲线的公切线问题的题目屡见不鲜.本文结合相关高考试题对此类问题进行分类剖析,力求揭示此类试题的考查形式,探索它们的题型特点,归纳其求解策略,以期帮助读者启迪思维,提升解决此类问题的能力.

1 公切线的基础知识

1.1 公切线的定义

若直线l与曲线y＝f(x),y＝g(x)均相切,则称直线l是曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)的公切线.

1.2 公切线的基本性质

若直线l与曲线y＝f(x),y＝g(x)分别相切于点P(x0,f(x0)),Q(x1,g(x1)),则有如下性质.

性质1若点P与Q重合,即

性质2若点P与Q不重合,则

2 以公切线为背景的客观题型

2.1 求参数的值

例1若一直线与曲线y＝elnx和曲线y＝mx2相切于同一点P,则实数m＝_________.

2.2 求公切线方程

例2(2020年全国Ⅲ卷理10)若直线l与曲线和 圆都相切,则l的方程为( ).

点评从例1和例2可以看出,此类问题的核心是切线的切点,解题的基本思路:设出切点坐标,借助函数知识求得切线的斜率,表示出切线方程,利用公切线方程的同一性得到切点的横坐标间的方程或方程组,通过解方程或方程组得到答案.例1主要利用性质1,属于简单题;例2在利用性质2 的同时,还考查了直线与圆的位置关系的判断方法、圆上在某点处切线方程的结论,在解法上提供了更多的选择性,方法更加多元,与2022年全国新高考Ⅰ卷数学第14题有异曲同工之处.

2.3 求参数范围

例3若曲线y＝x2与y＝alnx(a≠0)存在公切线,则实数a的取值范围为( ).

解析方法1设公切线与曲线y＝x2相切于点,则该切线方程为设公切线与y＝alnx(a≠0)相切于点Q(x1,alnx1),则该切线方程为,从而

例4已知直线l是曲线C1:y＝x2与曲线C2:y＝lnx(0＜x＜1)的一条公切线,若直线l与曲线C1相切于点P,则点P的横坐标的取值范围为( ).

点评求参数范围类问题的解题思路:借助两曲线的公切线方程得到与目标参数相关的方程,将原问题转化为方程在特定区间上有解的问题.一类是通过分离参数转化为求解相应函数的极值、最值或值域问题,如例3;另一类是利用函数的单调性与零点存在性定理等知识,转化为估算方程的根所在的区间问题,体现了函数与方程的思想.

3 利用公切线解综合题

3.1 利用公切线解零点个数问题

例5(2017年全国Ⅰ卷理21,节选)已知函数f(x)＝ae2x＋(a－2)ex－x.若f(x)有两个零点,求a的取值范围.

解析设t＝ex＞0,则x＝lnt,由f(x)＝0 可得a(t2＋t)＝2t＋lnt,f(x)有两个零点等价于曲线y＝a(t2＋t)与曲线y＝2t＋lnt在t∈(0,＋∞)上有两个交点.易知y＝2t＋lnt在t∈(0,＋∞)上为增函数,则必有a＞0.

设曲线y＝a(t2＋t)与曲线y＝2t＋lnt相切于点P(t0,y0),则曲线y＝a(t2＋t)在点P处的切线方程为,即y＝.同理,y＝2t＋lnt在点P处的切线方程为),即y＝可得易知方程t0＋lnt0－1＝0只有一个根t0＝1,从而a＝1.结合图1知曲线y＝a(t2＋t)与曲线y＝2t＋lnt在t∈(0,＋∞)上有两个交点时,0＜a＜1,即若f(x)有两个零点,a的取值范围为(0,1).

图1

例6(2021 年全国Ⅱ卷文20,节选)设函数f(x)＝a2x2＋ax－3lnx＋1,其中a＞0.若y＝f(x)的图像与x轴没有公共点,求a的取值范围.

解析由y＝f(x)的图像与x轴没有公共点知a2x2＋ax－3lnx＋1＝0 在(0,＋∞)上无解,即a2x2＋ax＝3lnx－1在(0,＋∞)上无解.

设g(x)＝a2x2＋ax,h(x)＝3lnx－1,由a＞0知h(x)与g(x)均为(0,＋∞)上的增函数,

则g(x)与h(x)分别为(0,＋∞)上的凸函数与凹函数.设曲线h(x)与g(x)相切于点(x0,y0),则该切线方程为

图2

点评

利用零点个数求参数的范围一直是高考压轴题的命题热点之一.解决此类问题的基本思路:通过合理构造或分离参数得到新的目标函数,通过研究新目标函数的图像与性质进而求解问题.从例5与例6的解法看,合理利用分离函数的方法,转化为两条曲线相切(或公切线),通过对特殊位置的研究,再结合参数变化对图像的影响,进行求解,无疑是一种全新的解题思路与策略.

3.2 利用公切线解恒成立问题

例7(2020年新高考Ⅰ卷21,节选)已知函数f(x)＝aex－1－lnx＋lna.若f(x)≥1,求a的取值范围.

解析由f(x)≥1,得aex－1＋lna≥lnx＋1,显然a＞0.设g(x)＝aex－1＋lna,h(x)＝lnx＋1,则h(x)与g(x)均为(0,＋∞)上的增函数,h″(x)＝,则h(x)与g(x)分别为(0,＋∞)上的凹函数与凸函数.设曲线h(x)与g(x)相切于点(x0,y0),则该切线方程为y－(lnx0＋1)＝.或该切线方程为y－(aex0－1＋lna)＝aex0－1(x－x0),即y＝aex0－1·x＋(1－x0)·aex0－1＋lna,从而且lnx0＝(1－x0)·aex0－1＋lna,则x0－lnx0),即2lnx0＋.设m(x)＝,则m(x)为(0,＋∞)上的增函数且m(1)＝0,从而x0＝1,则a＝1.结合图3 可知 当a≥1 时,aex－1＋lna≥lnx＋1 恒成立,即f(x)≥1恒成立,故a的取值范围为[1,＋∞).

图3

例8(2015年山东卷理21,节选)设函数f(x)＝ln(x＋1)＋a(x2－x),其中a∈R.若∀x＞0,f(x)≥0成立,求a的取值范围.

解析由对∀x＞0,f(x)≥0成立,可知∀x＞0,ln(x＋1)≥－a(x2－x)成立.设g(x)＝ln(x＋1),h(x)＝－a(x2－x),易知要使∀x＞0,f(x)≥0 成立,必有a≥0.又g(0)＝h(0)＝0,且g(x)在(0,0)处的切线方程为y＝x,h(x)在(0,0)处的切线方程为y＝ax.当a＝1时,y＝x是g(x)与h(x)的公切线,且当a＝1 时,f(x)＝ln(x＋1)＋(x2－x),从 而f′(x)＝此时f′(x)＞0在(0,＋∞)上恒成立,从而f(x)在(0,＋∞)上单调递增,则当x＞0 时,f(x)＞f(0)＝0 恒成立.结合图4可知,当0≤a＜1且x＞0时,g(x)的图像恒在h(x)的图像上方,即当0≤a≤1时,∀x＞0,不等式ln(x＋1)≥－a(x2－x)恒成立,即f(x)≥0恒成立.从而a的取值范围为[0,1].

图4

点评解恒成立问题的基本思路是将目标不等式通过合理变形转化为给定区间内函数的最值问题加以解决,但此法求解过程中常常需要对参数的范围进行分类讨论,对学生的思维能力、运算能力等要求较高.例8通过对目标不等式进行变形得到两个函数y＝h(x)与y＝g(x),再结合它们函数的图像寻求y＝h(x)与y＝g(x)的公切线,从而将原问题转化为两个简单的不等式问题,巧妙通过数形结合,快速求解,大大降低了运算量.

3.3 利用公切线证明函数不等式

例9(2013 年全国Ⅱ卷理21,节选)已知函数f(x)＝ex－ln(x＋m).当m≤2时,证明:f(x)＞0.

解析当m≤2,x∈(－m,＋∞)时,ln(x＋m)≤ln(x＋2).设g(x)＝ex,h(x)＝ln(x＋2),则y＝g(x)与y＝ln(x＋2)均为定义域内的增函数.易知g(x)＝ex在点P(0,1)处的切线方程为y＝x＋1,y＝ln(x＋2)在 点Q(－1,0)处的切线方程为y＝x＋1,即直线y＝x＋1 为g(x)＝ex与h(x)＝ln(x＋2)的公切线,如图5所示.

图5

易证ex≥x＋1,x＋1≥ln(x＋2)且等号不能同时成立,从而当m≤2时,ex＞ln(x＋2)≥ln(x＋m),所以当m≤2时,f(x)＞0恒成立.

例10(2018年全国Ⅰ卷文21,节选)已知函数f(x)＝aex－lnx－1.证明:当时,f(x)≥0.

解析要证当时,aex－lnx－1≥0,即证当时,aex≥lnx＋1.

设g(x)＝ex－1(x＞0),h(x)＝lnx＋1,则g(1)＝h(1)＝1,即函数y＝g(x)与y＝h(x)有公共点P(1,1),易知y＝g(x)与y＝h(x)在点P(1,1)处的切线方程均为y＝x,即直线y＝x为y＝g(x)与y＝h(x)的公切线.如图6所示.易证ex－1≥x,x≥lnx＋1,则ex－1≥lnx＋1.当时,aex≥,从而aex≥lnx＋1,所以当时,f(x)≥0成立.

图6

点评函数不等式的证明也是高考压轴题的常客,题型可分为不含参数的不等式证明与含参数的不等式证明两类,难点在于如何将目标不等式通过等价变形转化为比较容易研究其图像与性质的函数,或可借助放缩法等桥梁进行传递的函数,对学生的分析思考能力、转化与化归能力、逻辑推理及数学运算能力都有很高的要求.

可以看出合理利用两条曲线的公切线对解决一些与导数相关的综合题往往会有“惊人之举”,解题过程简洁,运算难度降低,展示了较高的创新意识.其一般解题策略归纳如下:

1)将题目所给函数合理转化为两个“简单函数”间的关系,一般情况下,若所给函数含有参数,通常分为含参数与不含参数两个函数;

2)研究这两个“简单函数”的图像特征,尤其是在给定区间上的单调性或图像的凹凸性;

3)找出这两个“简单函数”的特殊位置关系,即相切或存在公切线,并利用特殊位置确定参数的值或函数的大小关系;

4)根据参数值变化对函数图像的影响,结合题目要求得出正确答案.

数学解题是数学学科中最常见活动之一,学生要善于解题,教师更是如此.教师通过对试题的解法研究与归类整合,让学生从繁重的学习任务中解脱出来,成为“站在教师肩膀上的人”,这样不但能提升学生学习的效率,同时还能培养学生良好的学习习惯与探究精神,让学生在未来的道路上能走得更稳、更远.

(完)