导数法在函数求参数范围问题中的应用分析

李强强

(甘肃省甘谷县第二中学)

求参数的范围是高中数学中常见的问题,主要分为以下三种类型:一是已知函数的单调区间求参数的范围,二是已知具体的实数根求参数的范围,三是已知函数的切线求参数的范围.本文主要从这三类问题展开阐述,分别总结运用导数方法解答不同类型问题的思路和步骤,使问题的解答更加有条理,思路更加清晰.

1 已知函数的单调区间求参数的范围

这一类问题常常会在已知条件中给出单调区间,以此求解参数的范围.解题思路大致分为如下三步:

1)对函数f(x)求导得到导函数;

2)分析函数的单调性,并根据函数的单调性列出不等式或不等式组;

3)解不等式或不等式组.

例1函数f(x)＝x3－15x2－33x＋6在[2m－7,2m＋7]上有三个单调区间,求参数m的取值范围.

分析解答该题,首先求导得到导函数,其次分析已知信息:函数在[2m－7,2m＋7]上有三个单调区间,不难发现区间[2m－7,2m＋7]包含导函数的两个极值点,求解得到的不等式组即可确定参数的具体范围.

解由题意可得f′(x)＝3x2－30x－33＝3(x＋1)(x－11),可知x1＝－1,x2＝11是f(x)的极值点,解得2＜m＜3.

变式若函数f(x)＝x3＋ax2＋3x＋1恰好有三个单调区间,则实数a的取值范围是________.

分析已知函数f(x)有三个单调区间,可推断f′(x)＝0有两个不相等的实数根,即根据Δ＞0可求出参数a的取值范围.

解由题意可得f′(x)＝3x2＋2ax＋3,因为函数f(x)恰好有三个单调区间,所以3x2＋2ax＋3＝0有两个不相等的实数根,所以Δ＝4a2－36＞0,解得a＞3或a＜－3.

2 已知实数根求参数的范围

已知实数根求参数的范围问题也有相对应的解题思路.解题过程大致分为如下四步:

1)对函数f(x)求导得到其导函数;

2)根据导函数推断函数f(x)的极值点;

3)根据所给实数根分析函数极值点的位置,列出不等式组;

4)解不等式组得到参数的取值范围.

例2如果函数y＝x3与函数y＝6x2－9x＋m有三个不同的交点,求实数m的取值范围.

分析分析题意可得两函数相等时有三个解,即x3＝6x2－9x＋m有三个不相等的实数根,构造函数f(x)＝x3－6x2＋9x－m,其次求出函数f(x)的导函数,令f′(x)＝0可求出极值点为x1＝1,x2＝3.只有当f(x1)＞0,f(x2)＜0时,函数f(x)与x轴有三个不同的交点,即不等式组为解该不等式组可得到参数的取值范围.

解由题意可得x3＝6x2－9x＋m有三个不相等的实数根,令函数f(x)＝x3－6x2＋9x－m,则f′(x)＝3x2－12x＋9,令f′(x)＝0,即3x2－12x＋9＝0,解得x1＝1,x2＝3,所以f(1),f(3)分别是f(x)的极大值和极小值,由f(1)＞0,f(3)＜0可得解得0＜m＜4,即m的取值范围为(0,4).

变式已知a为实数,函数(a2－1)x,若方程f(x)＝0有三个不相等的实数根,求a的取值范围.

分析该变式的解题思路与例2相似,首先对已知函数求导,其次根据导函数求出原函数的极值点.由题意可知,极大值大于0,极小值小于0,据此列出不等式组并求解,即可得到参数a的取值范围.

解对f(x)求导得f′(x)＝x2－2ax＋a2－1＝(x－a－1)(x－a＋1).

由题意可得,f(x)＝0有三个不相等的实数根,所以f(a－1)＞0,f(a＋1)＜0,即

解得－2＜a＜2 且a≠±1,所以a的取值范围为(－2,－1)∪(－1,1)∪(1,2).

3 已知函数的切线求参数的范围

与切线相关的求参数范围问题也能用导数的方法求解.解题的大致思路如下:

1)厘清题意,找到切线对应的具体函数解析式f(x);

2)求导得到对应的导函数f′(x),令f′(x)＝0,求出极值点;

3)根据函数的极值列出对应的不等式或不等式组并求解.

例3已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx在x＝x0处取得极小值－4,使其导数f′(x)＞0的x的取值范围为(1,3),若过点P(－1,m)可作曲线y＝f(x)的三条切线,求实数m的取值范围.

分析首先根据题意求出具体的函数解析式.由于f(x)在P(－1,m)有三条切线,故求出切线方程并将点P代入,则所得方程式有三个不相等的实数根,根据该方程式建立新函数g(x),求导并列出不等式组,进而求解不等式组,即可得到参数的取值范围.

解f′(x)＝3ax2＋2bx＋c,由题意得f′(x)＞0的解集为(1,3),所以x＝1为f(x)的极小值点,x＝3为f(x)的极大值点,所以解得a＝－1,b＝6,c＝－9,则f(x)＝－x3＋6x2－9x.

设切点Q(t,f(t)),则y－f(t)＝f′(t)(x－t),即

因为切线过点P(－1,m),所以

令g(t)＝m＝2t3－3t2－12t＋9－m,则

令g′(t)＝0,解得t1＝－1,t2＝2,要使得方程g(t)＝0有三个不相等的实数根,则只需所以实数m的取值范围为(－11,16).

变式函数在x＝0处取得极值－1,若过点(0,0)可作曲线y＝f(x)的三条切线,求a的取值范围.

分析求解思路与例3相似,首先根据已知条件推断得到具体的函数解析式,其次求出f(x)在(0,0)对应的切线方程,由于函数在该点上有三条切线,则将点(0,0)代入切线方程得到的方程有三个不相等的实数根.再建立函数,求导并确定极值点,根据极值点列出不等式即可求出参数的取值范围.

解f′(x)＝x2＋2ax＋b(a＜0),由题意可得f′(0)＝0,f(0)＝－1,解得b＝0,c＝－1,所以

设切点为(x0,y0),则切线方程为

当x∈(－∞,0)时,g′(x)＞0,函数g(x)单调递增;当x∈(0,－a)时,g′(x)＜0,函数g(x)单调递减;当x∈(－a,＋∞)时,g′(x)＞0,函数g(x)单调递增;所以g(0)是极大值,g(－a)是极小值,方程有三个不相等的实数根,所以g(－a)＜0,解得a＜,即a的取值范围为

以求参数的范围为考点的问题还有许多,解题时需要挖掘问题中的条件,把不熟悉的问题转变为熟悉的问题,进而求出问题的答案.

(完)