科技前沿背景下中学数学建模教学初探
——以“汽车泊车路径规划问题”为例

林 健

(深圳中学)

科技发展日新月异,数学建模教学亦当与时俱进.本文以前沿科技中的自动泊车技术为背景,将“汽车泊车路径规划问题”引入数学建模教学.学生在经历数学建模的全过程中积累数学活动经验,激发数学学习兴趣,发展数学核心素养,开阔眼界与格局.笔者经过课堂实践证明,这是一次数学建模教学的有益探索.

1 课堂案例

1.1 创设情境，提出问题

问题情境:汽车泊车是困扰很多司机的一大难题,特别是在较狭窄的停车场.美国密歇根大学在2006年发表的一篇论文,通过对交通事故数据库和保险公司的事故统计资料进行调查分析,结果表明泊车导致的事故已经占到各类交通事故总数的44%,其中有65.3%的泊车碰撞是在倒车的过程中造成的.为解决泊车难的问题,很多车企推出了自动泊车技术,那么自动泊车是如何实现的呢? 探测器可以探测汽车的初始位置、停车位大小、障碍物位置,那么如何设计汽车泊车路径呢?

通过播放视频、展示论文等方式,教师引出实际问题情境,科普最新科学技术,并鼓励学生思考如何设计汽车泊车路径.

1.2 背景介绍，建模准备

背景1认识汽车

展示小汽车照片(如图1),介绍小汽车参数.

图1

问题1根据大家的生活经验,司机转动方向盘,小汽车的哪个车轮发生转动?

小汽车的方向盘是带动前轮转动,所以前轮是转向轮、后轮和车身一直保持平行.

背景2Ackermann转向几何原理

为避免汽车转向时路面对汽车产生附加阻力和轮胎过快磨损,要求转向系统能保证在汽车转向时使所有车轮均作纯滚动.德国的工程师提出著名的Ackermann转向几何原理:只有四个车轮路径的圆心交会于后轴的延长线上的瞬时转向中心,汽车所有车轮方能作纯滚动? 也就是说:汽车车身上的任意一点的运动轨迹都是指向同一个圆心的圆,该圆心在汽车后轴的延长线上.

问题2汽车两个转向轮的转向角相同吗? 它们之间有什么关系呢?

图2

背景3介绍车位

常见的车位包括垂直车位和平行车位(如图3).

图3

问题3如果你是司机,你会如何操作实现倒车入库呢?

学生思考、交流、讨论、分享,为后续建立数学模型奠定感性基础,培养学生的直观想象能力.

总结:转动方向盘,汽车车上的所有点均作圆周运动,圆心为前轮垂线和后轴延长线的交点.方向盘转动的角度不同,圆周运动的半径会随之改变.以上大家描述的倒车方法都是定性的,而自动泊车是需要提供一条准确的路径,所以接下来我们建立数学模型,定量地研究泊车路径的规划问题.

1.3 分组合作，建立模型

实际问题非常复杂,在建立数学模型时应明确主要问题,抓住主要矛盾,对一些次要矛盾暂时做简化处理,即作出一些比较合理的假设,使问题得以简化.

问题4从数学角度看,泊车路径规划问题的实质是什么? 我们可以如何简化模型?

小组内讨论交流,教师在各个小组间走动,适当提示并回答各小组问题.讨论结束后请若干小组上台分享,教师补充完善.

如图4所示,将汽车简化为长方形,四个轮胎简化为相等的线段.假设汽车初始位置车身与车位边沿保持平行,前后方车位都停满车,通车道的另一边规定泊车边界.

图4

泊车要求:

1)车辆在泊车过程中不能与泊车边界以及前后车位边界发生碰撞;

2)如图5所示,泊车完成时,车辆与车位左、右侧边界平行,且距离相等.

图5

汽车在满足上述泊车要求的情况下停入车位后可以通过前进或者后退调节汽车尾部与车位底部的距离,这是非常容易实现的,所以我们可以不考虑这个过程.

1.4 教师引导，求解模型

任务1上网收集或实地测量汽车及车位的相关参数(如图6).

图6

学生先前提出了多种泊车方法,为了便于求解,我们取两种简单的泊车方案:垂直泊车采用单圆弧法,平行泊车采用两段圆弧法.在平行泊车中,为了腾出更多的空间用于倒车入库,汽车泊车的最终位置为车尾到达车位底部.此处可以提示学生作图非常关键,可以利用几何画板软件或者尺规作图辅助找到几何关系.

任务2在垂直泊车方案中,请根据自己收集的汽车和车位数据,确定P1和P2的位置及圆弧半径.

图7

任务3在平行泊车方案中,请根据收集的汽车和车位数据,确定P1和P2的位置及两段圆弧半径.

图8

学生独立完成全部模型求解的难度较大,可以先分小组研究,然后让部分学生上台分享,激发灵感.学生通过相互讨论,不断完善,教师根据学生的情况适当引导.

对于垂直泊车,学生根据教师的以下引导完成模型求解.

引导1可以建立平面直角坐标系(如图9),将复杂的几何关系转化为代数运算.

图9

设初始位置P(xP,yP),则P1(R1,yP),P2(0,yP－R1).

引导2小汽车有一个重要的参数是“最小转弯半径”,指的是什么呢?

“最小转弯半径”指的是汽车方向盘转到极限位置时,外侧转向轮的中心在地面滚过的轨迹圆半径,也就是图9中的O1B1,O1B1的最小值Rmin,可利用几何关系求出后轴中心转弯半径R1的最小值rmin.

引导3泊车过程中汽车哪些位置存在碰撞风险?

可能碰撞点1:汽车尾部可能与车位底部相碰;

可能碰撞点2:汽车右侧边缘D1(D2)可能与前方车位的左顶点M相碰(如图10);

图10

可能碰撞点3:汽车左前顶点C1(C2)可能与泊车边界相碰.

引导4三个可能的碰撞点处都不能发生碰撞,这就是约束条件,能否将它们转化为数学关系呢?

约束条件可以转化为线段的大小关系.

可能碰撞点1:|OP2|＞lr,即yP＞R1＋lr;

可能碰撞点2:|O1M|＜|O1D1|,即

引导5因为R1取最小值时操作最简单,只要向右打死方向盘即可,取R1＝rmin,此时能否成功泊车?

代入收集的汽车和车位数据,综合三个可能碰撞点可求得yP的取值范围,即当汽车初始位置的纵坐标yP满足该范围时可以泊车成功.

引导6如果汽车初始位置的纵坐标yP不满足上述范围,该如何实现倒车入库呢?

将yP代入以上不等式组,若关于R1的该不等式组有解,则可通过改变转弯半径R1实现倒车入库;否则无法成功泊车.

对于平行泊车,教师可按下述步骤引导学生完成模型求解.

引导7两段圆弧是什么关系?

根据Ackermann转向几何原理,汽车圆周运动的圆心O1和O2应该都落在后轴延长线上,所以O1,O2,P2三点共线,因此两段圆弧相切.

由|O1O2|＝R1＋R2,可得

图11

引导8和垂直车位类似,平行泊车中,汽车哪些位置存在碰撞风险呢? 写出对应的数学关系.

可能碰撞点1:汽车右侧边缘A1(A2)可能与前方车位的左顶点M(如图10)相碰;|O1M|＜|O1A1|,即

可能碰撞点2:在第二段圆弧中,汽车右前顶点B2(B)可能与前方车位的左顶点M相碰;|O2M|＞|O2B|,即

可能碰撞点3:第一段圆弧中,汽车左前顶点C1(C2)可能与泊车边界相碰|O1N|＞|O1E|,即

引导9R2越小,碰撞点1和2发生碰撞的可能性是越大还是越小?

利用代数知识,我们很容易发现R2越小,碰撞点1和2越不容易发生碰撞,所以我们可以取R2＝rmin,此时约束条件变为

关于R1的不等式组有解,则可实现基于两段圆弧的平行泊车.

1.5 回归现实，检验模型

数学建模的结果最终要回归现实生活,现实是复杂的,我们需要带着批判思维重新审视我们的模型.

1)各小组根据互相提供的小汽车参数、车位数据及小汽车初始位置设计汽车泊车路径.

2)小组讨论:在实际自动泊车的路径规划中运用上述数学模型可能存在哪些问题?

学生经过小组讨论提出各种可能存在的问题:

a)规划的路径较为简单,且规定泊车过程中汽车不能触碰前后车位边界的要求过于严苛,导致遇到较大尺寸的汽车或者小尺寸的车位时,无法设计泊车路径;

b)该数学模型的前提是汽车转向时不发生侧滑,但在实际泊车中较难实现,导致汽车无法按规划的路径行驶;

c)实际应用中,距离探测存在误差,造成规划的路径出现偏差.

1.6 课堂小结，延伸拓展

1)课堂小结

问题1通过该课题的研究,你对数学建模有了怎样的认识? 请谈谈你的体会.

数学建模就是根据实际问题建立数学模型,对数学模型进行求解,然后根据结果去解决实际问题.

问题2根据你的体验,请总结完整的数学建模过程.

完整的数学建模过程如图12所示.

图12

2)课后延伸

思考1对于较大尺寸的汽车或者较小尺寸的车位,如何规划泊车路径呢? 请继续优化我们的方案.

思考2除垂直车位和平行车位外,还存在斜车位.查找资料或实地观察,了解斜车位的相关信息,设计针对斜车位的泊车路径.

2 科技前沿背景下中学数学建模教学开展思路

数学建模教学选取的问题情境应贴近生活、生动有趣,有广度、有深度,以科技前沿为背景设计数学建模教学,既能充分调动学生的研究兴趣和探索欲望,又能极大开阔视野与格局,提高科学素养.对于开展思路,笔者有以下建议.

2.1 留心生活，关注前沿

数学建模的很多案例来自于生活,“汽车泊车路径规划问题”就来自于笔者“开车容易泊车难”的生活体验.同时笔者比较关注科技前沿,对自动泊车技术有所了解,因此萌生出研究该背景下的数学建模教学.

2.2 查阅资料，先行研究

根据生活经验和查阅大量的文献资料,笔者发现“汽车泊车路径规划问题”非常适合作为高中生的数学建模课题.笔者在参考部分文献的基础上,先行完成对“汽车泊车路径规划问题”的研究.广大教师应当与时俱进,保持终身学习的良好习惯.我们希望培养学生的数学核心素养和探究能力,广大教师应该率先具备这些素养和能力.

2.3 结合学情，优化案例

教师应该结合高中生的知识水平和能力水平对数学建模案例进行适当改进,比如简化问题情境、预备理论知识、借助软件工具等.“汽车泊车路径规划问题”涉及的数学知识包括三角函数、平面几何、解析几何、不等式等都是《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)》中界定的内容,数学能力包括运算能力、空间想象能力、逻辑推理能力等,这些也都在高中生的能力范围内.

2.4 分解任务，层层递进

对于复杂问题,学生较难独立完成,教师可采用问题引导式的教学方法,引导学生抽丝剥茧,层层递进,在亲身体验中积累数学活动经验.

2.5 回归现实，拓展留疑

数学建模最终需要回归现实生活并反思结果,对于尚未解决的问题可以留给学生课后继续研究,教师也可进一步拓展,抛出更多问题,开阔学生视野,呵护学生的好奇心和求知欲.

(完)