自由演化量子态的一种在线估计算法

黄 吉，丛 爽，张 坤

(中国科学技术大学 信息科学技术学院，安徽 合肥 230026)

0 引言

量子状态估计(Quantum State Estimation，QSE)是获取和处理用于重构量子状态的量子测量值的过程，状态估计问题可以转化为优化问题，并通过数值方法解决[1]。QSE是量子态闭环反馈控制的基础，旨在实现高精度的量子状态控制。一个n量子位系统可以通过密度矩阵ρ∈Cd×d(d=2n)来完全描述，它是一个半正定且矩阵迹为1的厄米矩阵[2]。QSE最常用的方法是基于强测量(投影测量)[3]，但这会导致要估计的量子系统坍塌[4]，因此强测量被认为不适合实时地进行QSE。

弱测量为量子状态估计提供了另一种选择。当测量对被测系统影响不大时，这种测量被称为弱测量，连续弱测量(Continuous Weak Measurements，CWM)最早由Silberfarb等人提出[5]。与QSE需要指数级数量的同一密度矩阵ρ的全同复本不同，由于弱测量具有的不完全破坏特性[6]，CWM可以应用于自由演化中的量子系统。因此，使用CWM在线测量不断演化中的量子系统更加方便。

传统的优化算法是离线的，它们需要在每次迭代时遍历整个数据集，因而不适合实时大量的数据处理。为此开发出了随机优化技术，每次迭代只需处理一小部分可用数据[7-8]。这些方法可以应用于在线学习，例如跟踪动态系统的状态。这也正是本文中采取的方法。

在线量子状态估计方面，已有研究有用于估计不变量子系统的在线学习算法[9-10]，单量子比特系统的在线状态估计方法[11]等，其中后者是通过CVX(即MATLAB的凸优化工具箱)[12]来解决对于每一个弱测量的优化问题。但是，CVX本质上是一种离线优化工具包，它通常仅限于中小型数据量的优化。

本文旨在解决从连续弱测量中在线估计不断演化的量子系统状态问题。通过结合交替方向乘子法(Alternating Direction Method of Multipliers，ADMM)和在线邻近梯度法(Online Proximal Gradient，OPG)，针对量子约束下演化中的量子状态估计的优化问题，提出一种新型在线量子态估计算法。ADMM是处理可分离目标函数和结构化正则项问题的有效工具，可以解决分布式和并行数值优化问题[13]；OPG是一种典型的基于邻近梯度法的在线优化算法[14]，文献[15]中介绍了结合这两类方法的一种在线学习算法。本文提出的算法应用于估计演化中量子系统的密度矩阵，并在1、2、3和4量子位系统中进行了实验。

1 开放量子系统连续弱测量模型

量子系统的在线估计过程如图1所示，它由两个步骤组成(符号q-1表示单位延迟运算符)。第一步为连续弱测量过程，其包括：(1)在探测系统P和目标系统S之间引入耦合关系，以形成一个耦合系统；(2)使用测量算符M在每个采样时间进行弱测量，从而获得具有随机噪声的测量值y，其中包含真实密度矩阵ρ的信息。在线估计的第二步为在每个瞬间k同时重建量子态和测量噪声，同时使用先前估计的值，从而形成跟踪状态演变的自适应滤波器。本文提出的估计器的目标是有效地在线估计动态量子系统的状态。

图1 在线量子态估计过程

下面描述开放量子系统的演化模型。假设探测器P的初始状态为，目标系统S的初始状态为，因此，对于耦合系统S⊗P，n量子 位开 放 系 统 的 演 化 耦 合 态可 以 表 示 为：其中⊗代表张量积；Δt是 较 短 的 作 用 时 间 间 隔；U(Δt)=exp(-iξΔt H/ħ)是 联合演化算子，ξ表示系统S和P之间的相互作用强度，是普朗克常数(设置为等于1，对应于时间标度[16])，H=H0+uxHx代表系统的总哈密顿量(H0是自由哈密顿量，Hx是受控哈密顿量，ux是外部调节值)。通过推导弱测量前后系统S状态之间的关系[17]，可以得到间接作用于二级量子系统的弱测量算子为：其中L†表示L的共轭转置，L=ξσ是Lindblad相互作用算 子，σ表 示 泡 利 矩 阵，可 以 选 择 为{σx，σy，σz，I}之一，并且是2×2的单位阵。弱测量算子m0(Δt)包含系统的总哈密顿量，因此弱测量过程捕捉了系统的演变。所以，基于m0(Δt)和m1(Δt)，对n量子位开放系统S，其演化算子Ai(Δt)∈Cd×d(i=1，2，…，2n)可以构造为[18]：

由此得到n量子位开放系统S的离散演化方程：

其中k=1，2，…，N表示采样时间。 方程(2)是量子系统连续微分方程[18]的一阶近似形式其中符号∑代表量子系统与外部环境之间所有相互作用的总和。

通过观察演化方程(2)，可以得到测量算子的离散演变方程如下[18]：

其中，对每个采样时间k都有Mk∈Cd×d。

实际系统中的测量值是通过估计作用于量子态ρ的算子M获得的，即y=tr(M†ρ)。为了直接估计最新的量子态ρk(文献[5]中，要估计的状态始终是初始状态ρ0，而ρk是间接获得的)，构造了与实际系统输出一致的测量关系[17]，可得到其测量序列如下：

其中，vec(X)表示将矩阵X按列向量排列，ei表示随机测量噪声，k-l+1是当k≥1时测量窗口的起点，l为滑动窗口的大小，tr(·)表示矩阵的迹，它是矩阵对角线数值的总和。

在实时系统操作期间，整个数据集不是预先可用的，而是以流方式获取测量。本文提出的在线估计算法使用第k个测量yk以及先前的估计值来获得，可以将其视为状态演化ρk的在线跟踪滤波器。

2 基于OPG-ADMM的量子态演化在线估计算法

2.1 OPG-ADMM

具有线性约束的可分离目标函数优化问题为：

其中x∈Rn和z∈Rm是优化变量，A∈Rp×n，B∈Rp×m，c∈Rp，f(x)和g(z)均是凸函数，χ和■都是闭合的凸集。

出于在线估计的目的，本文利用OPG-ADMM计算框架来解决文献[15]中提出的问题(5)。该算法包括两个步骤：

(1)对式(5)引入增广拉格朗日函数：

其中λ∈Rp是拉格朗日乘子，α＞0是惩罚参数，惩罚项用来松弛收敛条件，并且使用完全平方来获得增广拉格朗日函数的完备形式。这样，原始的优化问题就被分成两个关于f(x)和g(z)的单独子优化问题。

(2)利用OPG方法作为f(x)和g(z)优化问题的更新规则，即对两个子函数分别进行线性化迭代并执行邻近梯度更新。

在第k个时刻，OPG-ADMM分别求解关于x和z上的两个单独子问题，然后更新拉格朗日乘子λ。迭代公式如下：

2.2 在线量子态估计

为了减轻在线处理的计算负担，同时充分利用弱测量值，从而达到更高的估计精度，采用了包含多个测量值的滑动窗口。需要注意的是，测量值的滑动窗口是动态的，并且包含最新的测量值：

其中，参数l是滑动窗口的大小。当获得的测量值小于l时，窗口的大小等于系统演变的瞬时数，否则，窗口的大小将固定为l。滑动窗口的更新策略是先进先出(FIFO），它允许将在线测量流合并到模型中，同时逐步删除旧的测量值。当滑动窗口测量值饱和(即具有长度l)时，该算法有望达到高估计精度，并随后继续跟踪状态演变。从测量序列式(4)可以直接看出，在给定窗口中测量值可以写为bk=Akvec(ρk)+ek，其中：

在此设置中，bk用于估计ρk，特别地，当获得的测量值数大于或等于l时，Ak保持不变。

在线量子态估计问题可以表述为一系列凸优化问题：

通过调用OPG-ADMM作为问题(13)的数值求解器，在线量子态估计问题可以分为两个子问题。也就是，使用采样矩阵Ak、测量值bk以及先前获得的与估计时间k-1相关的估计值，估计出时间k处的密度矩阵和对应于第k个测量窗口的噪声。和的子问题分别按顺序执行，然后更新拉格朗日乘子参数。其中，参数k表示连续测量和算法估计更新的采样时间，通过对式(13)执行OPG-ADMM的单次迭代，来设计适合实现的在线迭代算法。对于采样时刻k，算法的单次迭代如下：

其中ηk＞0是步长参数，Pk0是邻近参数。

在下文中，明确提供了解决两个优化问题的有效方法，用于更新(14a)、(14b)中的原始变量和，而λk的更新只需要按照(14c)，不再赘述。

其中，λmax是Ak的最大特征值，c是一个大于0的常数，本文实验中选取c=0.1。

根据式(9)来看，当k≥l时，Ak≡(vec(Ml)，…，vec(M1))†是一个固定矩阵，因此，用于ηk的最大特征值只需要计算l次，l为滑动窗口的大小。由于Pk使得(14a)中二次项抵消后，剩余的邻近端项表示为观 察 此 邻 近 项 可 以 看 出，它要求新的估计值“接近”前一个估计值，使得本算法具有动态跟踪效果，满足了实时在线估计的能力。

定义中间变量：

可以得到简化形式：

约束问题(18)是一个半正定规划，可以使用内点法解决，通过特征值分解，可以设计一个直接求解方法[19]。对厄米矩阵酉矩对角化其中U∈Cd×d是一个酉矩阵，是一个对角矩阵，其包含的所有特征值。此 时，问 题(18)的 最 优 解其 中从 下式获得[19]：

由于问题(19)的最优解是对角矩阵，因此问题可以归结为单纯形约束的投影问题，可以在有限步长（最多d=2n个步长）内有效计算。

在线量子态估计(OSEQ)的优化算法总结如下(其中α、γ和τ是三个正常数，并由它们负责算法的参数调节)：

① For k=0：N Do；

② Ak=Ak-1，ηk=ηk-1；

综上所述，在方铅矿磨矿浮选流程中，必须选择合适的磨矿条件，确保适宜的矿浆电位，使矿物表面生成尽可能多的疏水性元素硫，同时，减少亲水性物质的生成，这样才能保证较高的浮选回收率。

⑧ 由式(14c)更新λk；

3 仿真实验

本节通过仿真实验验证所提出算法的在线量子态估计性能。第一个实验探讨了状态演化参数对在线算法的影响，第二个实验评估了在线OSEQ算法在估计精度和计算效率方面的性能。

保真度用于衡量估计精度，定义如下：

3.1 系统参数对在线OSEQ算法的影响

在本实验中，测试了在线OSEQ算法在不同系统参数下的准确性。对于单比特量子系统，其演化轨迹可以在Bloch球上画出。

单比特系统的密度矩阵为ρk=[a11，a12；a21，a22]，其三维坐标变换公式为xk=2×real(a21)，yk=2×imag(a21)，zk=real(2×a11-1)，其 中real(·)和imag(·)分 别 代 表 虚数的实部和虚部。对于在线估计，自由演化的次数设置为N=100，测量噪声的信噪比设置为60 dB，在线OSEQ算法的参数设置为α=2，γ=0.1，τ=10，c=0.1，滑动窗口的大小设置为l=13，这足以重构1量子位系统的密度矩阵。正如第1节所述，开放量子系统的参数包含：(1)L，Lindblad算符；(2)ξ，系统相互作用的强度；(3)ux，外部控制输入。

图2描绘了演化量子态和状态估计的轨迹，Bloch球体中的实线和虚线分别是真实的量子态轨迹和在线OSEQ估计的状态轨迹，圈圈和星星分别代表真实状态和估计状态的初始值，可以分为三种情况讨论：

(1)当ξ设置为0，此时L=0，目标系统S是理想的没有能量耗散的封闭量子系统，在这种情况下，系统S的演化轨迹是Bloch球表面上的一个圆，在线OSEQ算法仅仅经过三次迭代，估计精度就超过了95%，如图2(a)所示。当L≠0时，自由演化的量子态逐渐耗散到最大混合态，即Bloch球的球心，此时密度矩阵为[0.5，0；0，0.5]。

图2 不同系统参数下量子态的在线估计

(2)固定ux=2和L=ξσz，当系统的相互作用强度ξ分别为0.5和0.7时，系统的演化轨迹分别如图2(b)和图2(c)所示。可以注意到，系统演化速度随着相互作用强度的增加而增加，然而，对于这两个相互作用强度，在线OSEQ算法在仅仅6次迭代之后就达到了99%以上的估计精度。

(3)对于ξ=0.5和L=ξσz，存在和不存在外部控制输入的在线估计结果分别如图2(b)和图2(d)所示，可以发现当ux=0时无法实现在线估计，因为在这种情况下不可能获得有效的测量值。

3.2 多比特演化量子系统的在线状态估计

在本实验中，通过在线量子态估计的精度和速度来验证在线OSEQ算法的有效性。将本文中提出的算法与文献[11]中提出的CVX-OQSE算法(使用CVX获得了优化问题(12)的解决方案)进行了比较。分别对1、2、3和4量子位系统进行仿真实验。

系统参数设置为：ξ=0.7，ux=1，N=500，SNR=30 dB。在线OSEQ的参数选择为：γ=0.1，τ=10，c=0.1。对于n=1，2，3，4，分别选择α=2，10，12，15，并将滑动窗口的大小设置为l=13，16，30，100(对于1、2、3和4量子位系统，决策变量的数量分别为4、16、64和256，因此需要增加窗口大小)。

图3显示了不同量子位系统中在线OSEQ和CVX-OQSE的保真度fidelity(k)随采样时间的变化(由于CVX-OQSE无法在测量噪声下估计4量子位系统的密度矩阵，因此在图3(b)中没有4量子位保真度曲线)，其中实线、长虚线、点虚线和短虚线分别代表1、2、3和4量子位系统的保真度时间序列。表1列出了在线OSEQ和CVX-OQSE所需的精度和时间，其中精度指的是最终的保真度。

图3 不同比特量子系统中的量子态在线估计

表1 在线OSEQ和CVX-OQSE所需估计时间和精度比较

从图3和表1中可以得出结论：在线OSEQ可以有效且稳定地在线估计量子态。在1、2、3和4量子位系统中，在线OSEQ的估计精度逐渐提高并趋于稳定，稳定的估计精度分别为100%、100%、99.99%和99.87%。CVX-OQSE只能在1量子位系统中实现稳定地估计精度，而且需要高出三个数量级的运行时间(这可能会限制实际应用)。在线OSEQ在每个采样时间仅采用一个更新步骤(对于原始变量和对偶变量)，而CVX-OQSE则通过内点法来解决优化问题，这需要更多的迭代次数，所以认为在线OSEQ是一种很有前途的实时量子态估计方法。

表2分别记录了在线OSEQ在1、2、3和4量子位系统的在线估计过程中达到95%以上估计精度所需的样本数和估计时间。从该表可以明显看出，达到95%以上估计精度所需的采样次数(即实现稳定跟踪的延迟)也会增加，这是可以预见的，因为待估计的变量数量以指数4n形式增长，因此需要采样更多信息来准确估计密度矩阵。

表2 在线OSEQ达到95%以上保真度所需的样本数和估计时间

4 结论

本文设计了一种新的在线量子态估计方法，该方法可以利用在量子态演化同时获得的含随机噪声的测量值，对量子态进行在线估计。为了获得精确跟踪状态演化的自适应滤波器，本文中：(1)采用滑动重叠窗口的方法以流形式处理数据；(2)将状态估计转换为半正定规划问题；(3)基于OPG-ADMM设计了一种具有可调节性、跟踪性的高效迭代解决方案。随后大量仿真实验验证了该方法为多量子比特系统的状态估计提供了优秀的解决方案，具有很大的研究价值与开发潜力。