基于灰色Verhulst模型的灌溉水利用系数预测研究
——以咸阳市为例

郑招阳，陈新明,2

(1.西北农林科技大学 水利与建筑工程学院，陕西 杨凌712100；2.旱区农业水土工程教育部重点实验室，陕西 杨凌 712100)

我国淡水资源总量非常丰富，高达28 000亿m3，占全球水资源总量的6%，位列世界第四[1]。由于我国水资源人均量只有2 300 m3，仅为世界平均水平的1/4，所以我国也是全球人均水资源最贫乏的国家之一[2]。作为农业大国，我国最主要的用水行业就是农业，据2018年统计我国农业用水已经达到全社会用水比例的61.4%，其中以农业灌溉为主[3]。评价农业灌溉水用水效率与衡量灌区工程建设水平、管理水平、节水灌溉水平的重要指标则是灌溉水利用系数。

灌溉水利用系数是指某段时期内灌入田间被作物所吸收的净水量与灌溉引水总量的比值[4]。以往的研究表明，灌溉水利用系数预测研究的方法分为两大类：一类是仅从灌溉水利用系数的历史数据出发直接建立预测模型，其研究方法主要有回归分析法、动平均法、指数平滑法和灰色系统理论预测法等；另一类则是结合影响灌溉水利用系数的因素构建预测模型，如多元回归分析法[5]、组合预测法等[6]。对于无法建立客观物理模型、作用原理亦不明确的系统，诸如社会系统、农业系统、生态系统和水利系统等，过去难以对其定量描述，但自1982年邓聚龙教授提出灰色系统理论[7]以来，其以发展态势为立足点，充分开发并利用系统数据中的显信息和隐信息，寻找因素间或因素本身的数学关系，在各领域分析事物未知、潜在的关系方面日趋完善成熟，进而衍生发展出多种灰色预测模型并广泛应用。灌溉水利用系数的预测研究由于可追溯的数据样本少且多为短期及中期预测，在仅探究灌溉水利用系数自身的数学关系时，灰色系统理论显然更适合[8]。

根据已有的资料，灌溉水利用系数主要受节水工程措施、技术以及人为调控、管理的影响，鉴于当下全球节水技术和材料的发展进入瓶颈期，加之国家五年计划的宏观调控，可预见在“十四五”期间，灌溉水利用系数变化趋势具有饱和特性并大致按“S型”规律增长。现在灰色系统理论针对“S型”规律变化系统的研究，演化出精度更高、更准确的灰色Verhulst模型及其改进型[9]。灰色Verhulst模型的计算结果是Verhulst模型白化方程的解，而Verhulst模型白化方程则由Verhulst模型的灰微分方程变量连续化类推所得，当白化方程精度足够高时，可视用原始数列建立的灰色Verhulst模型与其真正的微分方程吻合较好。需要注意到的是，在灰微分方程类推得到白化方程的过程中，灰导数、白化背景值的替代及微分方程初值的选取会割裂差分和微分、离散和连续的联系，这是造成误差产生的最大原因[10]。本文预测研究的对象是灌溉水利用系数，其受不同水平年技术水平、政策的滞后效应以及农业发展现状影响较大，正好可分别类比对应灰色Verhulst模型白化方程中背景值和初值之于方程的意义，故针对背景值和初值这两项做优化提高预测精度，构建基于背景值和初值优化的灰色Verhulst改进模型。

根据基于背景值和初值优化的灰色Verhulst改进模型，以农业大市咸阳市为例，结合咸阳市2015年—2020年灌溉资料对该市未来3年的灌溉水利用系数进行预测。最终通过模型的拟合、预测效果验证基于背景值和初值优化的灰色Verhulst改进模型在灌溉水利用系数预测研究上的可行性，预测结果不仅能为咸阳市农业生产和水资源利用提供参考，还将为其他地区的灌溉水利用系数预测研究提供借鉴。

1 材料与方法

1.1 研究区概况

咸阳市东接省会西安，西邻杨凌国家农业高新技术产业示范区，辖1市2区10县，总面积10 246 km2，全市耕地总面积37.03万hm2，有效灌溉面积28.50万hm2。2019年全市实际灌溉面积达到17.04万hm2，相比2018年增加了4.31%。从灌溉用水量上来看，2019年灌溉用水量为51813.16万m3，相比较2018年增加了12.71%[12]。另外，2015年—2020年间，咸阳市每年农田灌溉用水量均超5亿m3，作为农业大市未来数年咸阳市的农业灌溉用水量势必维持在高位，巨大的农业灌溉用水量需要政府做好农业发展规划才能适配本地的水资源状况和农业生产。

1.2 数据来源

本文所用咸阳市2015年—2020年灌溉水利用系数资料由咸阳市水利局提供。本文所用咸阳市2015年—2019年节水灌溉工程面积从陕西省统计局官网下载(http://tjj.shaanxi.gov.cn/)。

1.3 模型构建方法

1.3.1 灰色Verhulst模型原理

灰色Verhulst模型主要用来描述具有饱和“S型”变化规律的过程，其建模过程如下。

构建n个等间距时间原始数据序列x(0)=(x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(n))，其一阶累加得到的序列为x(1)=(x(1)(1),x(1)(2),…,x(1)(n)) ，记作1-AGO，其中：

(1)

定义x(1)的灰导数为：

d(k)=x(0)=x(1)(k)-x(1)(k-1)

k=2,3,…,n

(2)

令z(1)=(z(1)(2),z(1)(3),…,z(1)(n)) 为数列x(1)的紧邻值生成序列，即：

z(1)(k)=αx(1)(k)+(1-α)x(1)(k-1)

k=2,3,…,n;α∈[0,1]

(3)

一般地，灰色Verhulst模型中生成系数α取0.5，此时称z(1)(k)为紧邻均值生成数。

故定义灰色Verhulst模型为：

x(0)(k)+az(1)(k)=b(z(1)(k))2

k=2,3,…,n

(4)

式中：x(0)(k)为灰导数;a为发展系数;z(1)(k)为白化背景值;b为灰作用量。

式(4)对应的白化微分方程为：

(5)

取该微分方程的初值x(1)(1)=x(0)(1)，解微分方程式(5)得灰色Verhulst模型的时间响应式为：

k=1,2,…,n

(6)

(7)

将式(7)改写成矩阵形式，有：

(8)

(9)

U=(ab)T

(10)

Y=BU

(11)

(12)

(13)

1.3.2 基于背景值和初值优化的灰色Verhulst改进模型

从灰色Verhulst模型式(4)连续化得到白化微分方程式(5)的过程及时间响应式式(6)可以看出，灰色Verhulst模型的精度主要取决于参数a、b和初值x(1)(1)。其中a、b值直接受白化背景值z(1)(k)的构造形式影响，经典模型中生成系数α取0.5，实际上α是0到1之间的动态值，但必存在某个α使得灰色Verhulst模型模拟效果最好；而初值x(1)(1)的选取与研究对象及其环境条件相关，也会存在一个最符合条件的初值。由此看见，发展系数α和初值x(1)(1)都是导致连续的白化方程跳变到离散的时间响应式时产生误差的重要原因，也是经典灰色Verhulst模型预测不准确的问题所在。

(14)

(15)

(16)

(17)

式中：

0≤α≤1

0≤x(1)(1)≤2x(1)(1)

式(17)所约束的灰色Verhulst模型即为基于背景值和初值优化的灰色Verhulst改进模型。针对式(17)中未知参数发展系数α和初值x(1)(1)，可分别建立三种灰色Verhulst改进模型：① 只优化发展系数α，初值x(1)(1)取x(0)(1)；② 只优化初值x(1)(1)，发展系数α取0.5；③ 同时优化发展系数α和初值x(1)(1)。最终可分别将三组优化后的发展系数α和初值x(1)(1)代入式(6)中得到改进模型的时间响应式(6)，进一步还原计算得到各改进模型的优化预测值。

1.4 模型检验方法

1.4.1 原始数据建模可行性检验

在建模前需先分析建模的可行性和预期效果，对原始数据序列x(0)进行级比检验，序列级比的计算公式为：

(18)

1.4.2 模型精度检验

灰色Verhulst模型构建完成后，需进行模型精度的检验，以检验模型的效果。一般有三种检验方法：残差检验、方差比检验、小误差概率检验[14]。当三种检验全部通过时，表明模型的效果较好，才可以使用模型进行后续的预测；否则，将要对模型进行残差修正，直到三种检验均通过为止。以下为各检验的评判准则。

(19)

(20)

原始序列x(0)标准差:

(21)

残差序列δ(0)标准差:

(22)

(23)

另有小误差概率P反映模型拟合值在合格残差范围内的个数，能体现拟合值奇异点出现概率，小误差概率越大，说明模型拟合效果越好。其计算公式为：

小误差概率:

(24)

一般情况下要保证C值足够小，即便原始数据的规律不明显，但也可以保证预测值的误差范围不会很大。方差比C和小误差概率P的取值范围与模型对应精度如表1所示。

表1 方差比C和小误差概率P的取值范围

2 结果与分析

2.1 咸阳市灌溉水利用系数变化趋势

根据咸阳市水利局统计资料，咸阳市2015年—2020年灌溉水利用系数变化趋势见图1。利用前文所述灰色Verhulst模型及其改进模型分别对咸阳市灌溉水利用系数进行预测，最后选取拟合效果较好的模型所计算的结果作为预测值。

图1 咸阳市2015年—2020年灌溉水利用系数

2.2 咸阳市灌溉水利用系数拟合与预测结果

2.2.1 灰色Verhulst模型计算结果

基于灰色Verhulst模型的原理，结合图1中变化趋势，又因节水技术现状及国家政策调控，可判定2015年—2020年间乃至今后几年咸阳市灌溉水利用系数呈“S型”规律增长，因此令原始数据序列为x(1)=(0.576 80,0.577 00,0.578 40,0.581 40,0.582 20,0.583 10)，再根据式(18)判定原始数据序列x(1)通过级比检验；原始数据序列的一阶累减序列为x(0)=(0.000 20 , 0.001 40 , 0.003 00 ,0.000 80 ,0.000 90) ；其紧邻均值生成序列z(1)=(0.576 90 , 0.577 70 , 0.579 90 , 0.581 80 ，0.582 65)，此时发展系数α取0.5。再根据式(7)—式(9)构造矩阵Y和B：

k=1,…,5

(25)

由模型A的时间响应式式(25)计算得咸阳市2015年—2020年灌溉水利用系数拟合值依次为：0.576 80, 0.577 96, 0.579 18, 0.580 44, 0.581 75, 0.583 11；在此基础上，取年份k=(6,7,8)代入式(25)则得咸阳市2021年—2023年灌溉水利用系数预测值分别为：0.584 53, 0.586 01, 0.587 55。

2.2.2 基于背景值和初值不同优化组合的灰色Verhulst改进模型计算结果

根据前文提出的背景值和初值优化原理，在咸阳市灌溉水利用系数灰色Verhulst模型基础上优化并构建三种改进模型。

(1) 模型B：只优化发展系数α，初值x(1)(1)取x(0)(1)。发展系数α是紧邻值生成数z(1)(k)计算公式中重要参数，它的取值能极大影响灰色Verhulst模型拟合效果。发展系数α本是一无量纲的参数，但对于灌溉水利用系数预测研究，其能被赋予特殊的现实意义。由于灌溉水利用系数的测算和确定是存在人为调控因素的，而且在式(5)中是由x(1)对应z(1)(k)最终类推得到灰色Verhulst模型白化微分方程，结合z(1)(k)计算公式z(1)(k)=αx(1)(k)+(1-α)x(1)(k-1)可认为发展系数α能反映水平年对明年的影响大小，即本年度的农业生产状况、农业生产计划、水利规划、技术水平、管理水平等对明年灌溉水利用系数的滞后影响。这种影响在小地域范围、短期内可视为维持在相近水平，故建立只优化发展系数α的模型B能一定程度上模拟人为因素对于灌溉水利用系数的影响。

k=1,…,5

(26)

由模型B的时间响应式(26)计算得咸阳市2015年—2020年灌溉水利用系数拟合值依次为：0.576 80,0.577 97,0.579 19,0.580 45,0.581 76, 0.583 12；在此基础上，取年份k=(6,7,8)代入式(26)则得咸阳市2021年—2023年灌溉水利用系数预测值分别为：0.584 52, 0.585 98, 0.587 50。

(2) 模型C：只优化初值x(1)(1)，发展系数α取0.5。初值x(1)(1)是灰色Verhulst模型的时间响应式式(6)的初值，也是灰色Verhulst模型白化微分方程的初始条件，它的取值同样影响着灰色Verhulst模型的拟合效果。初值x(1)(1)不同于发展系数α，其本身就有实际意义，可认为其是短期农业生产计划和水利规划的出发点和参考点，亦是预测研究和定性分析的基准，故建立只优化初值x(1)(1)的模型，使模型对于灌溉水利用系数的预测基准与政府实际的短期规划基准更加吻合。

k=1,…,5

(27)

由模型C的时间响应式(27)计算得咸阳市2015年—2020年灌溉水利用系数拟合值依次为：0.576 77,0.577 93,0.579 14,0.580 40, 0.581 71, 0.583 08；在此基础上，取年份k=(6,7,8)代入式(27)则得咸阳市2021年—2023年灌溉水利用系数预测值分别为：0.584 49, 0.585 97, 0.587 51。

(3) 模型D：同时优化发展系数α和初值x(1)(1)。灌溉水利用系数预测研究不仅受人为因素影响，还会因不同的参考基准而导致预测的变化趋势不同。故同时令发展系数α和初值x(1)(1)为优化设计变量，以式(17)为目标函数，利用MATLAB编程求解得:F=-0.930 622,x(1)(1)=0.576 71,

k=1,…,5

(28)

由模型D的时间响应式(28)计算得咸阳市2015年—2020年灌溉水利用系数拟合值依次为：0.576 71,0.577 92,0.579 16,0.580 42,0.581 71, 0.583 03；在此基础上，取年份k=(6,7,8)代入式(28)则得咸阳市2021年—2023年灌溉水利用系数预测值分别为：0.584 37, 0.585 74, 0.58714。

通过MATLAB编程模拟分别解得四种模型的拟合值和预测值，归纳所有计算结果并绘制咸阳市灌溉水利用系数变化趋势及不同模型结果比较图，如图2所示。

图2 咸阳市2015年—2023年灌溉水利用系数变化趋势及不同模型结果比较

2.3 咸阳市灌溉水利用系数预测模型精度检验结果

本文2.2节中已通过MATLAB编程分别计算获得模型A、模型B、模型C、模型D对应的咸阳市2015年—2020年灌溉水利用系数拟合值，再由式(19)计算得出所有拟合值对应的相对残差。整理汇总原始数据、拟合值及相对残差，如表2所示。

表2 咸阳市2015-2020年灌溉水利用系数不同模型的拟合值及相对残差

分别对四种模型及其计算结果进行精度检验，如表3所示。

表3 不同模型精度检验参数表

从图2和表3可以看出，灰色Verhulst模型及其三种改进模型均通过模型精度检验的指标，且对于咸阳市灌溉水利用系数预测研究的拟合模拟效果较好、精度较高，故采用灰色Verhulst模型及其三种改进模型对咸阳市灌溉水利用系数进行预测得到的预测值都是科学合理可靠的。鉴于咸阳市辖区面积、灌区数量和规模、农业生产结构和规模及水资源状况，可认为咸阳市在农业占生产总值较大的城市中具有代表性，故对于与咸阳市情况相似城市的灌溉水利用系数预测研究，灰色Verhulst模型及其三种改进模型同样适用。

2.4 咸阳市2021年—2023年灌溉水利用系数预测

尽管表3精度检验的结果表明灰色Verhulst模型及其三种改进模型的误差极其接近，但从可决系数R2上看，四种模型对于咸阳市灌溉水利用系数变化趋势的拟合效果还是存在细微差距的。模型D中2015年—2020年灌溉水利用系数拟合值与实际值相关性如图3所示。

图3 模型D中2015年—2020年灌溉水利用系数拟合值与实际值相关性

由图3结合图2可得，模型D拟合值与实际值表现出较好的一致性，拟合效果相对更好，其偏保守的变化趋势与未来数年农田灌溉在农业生产计划和水利规划中的定位是相适应的，而这也符合模型可决系数R2越大，越接近1，则拟合模拟效果越好的设定。再者在保持灌溉水利用系数处于稳定平缓增速的前提下，模型D偏保守的预测结果有利于年度农业生产工作和用水规划的制定实施，能相对减少工作任务和降低难度，最终有利于顺利实现预定目标从而促进长期战略达成。所以灰色Verhulst改进模型D较原始灰色Verhulst模型A在咸阳市灌溉水利用系数的预测中更具实际意义。另外，需要注意到灰色Verhulst模型对于短期预测效果颇佳，对于长期预测的合理性和可靠程度有待提高。预测序列越长系统内灰度也越高，老数据渐渐失去意义，所以一般用灰色Verhulst模型进行3 a到5 a的短期预测[14]。

综上，选择模型D对咸阳市2021年—2023年灌溉水利用系数进行预测，预测结果可为咸阳市农业生产、水资源的利用以及灌区管理提供参考。最终预测结果如表4所示。

表4 咸阳市2021年—2023年灌溉水利用系数预测值

本文在咸阳市灌溉水利用系数近年变化趋势的基础上，通过灰色Verhulst改进模型D对2021年—2023年进行模拟预测得到的结果也基本反映这种趋势。表4显示咸阳市2021年—2023年灌溉水利用系数预测的增长率分别是0.217 67%、0.234 72%、0.239 12%，说明未来三年咸阳市灌溉水利用系数仍保持稳定平缓的增长态势，这也符合咸阳市历年灌溉水利用系数的基本情况。可以预见，尽管未来数年农业生产和水利建设依然会受新冠疫情影响，但在国家和政府全方位统筹布局并对农业、水利设施持续大力度改造的背景下，咸阳市灌溉水利用系数有望在“十四五”末突破0.59，最终趋于饱和进入瓶颈期等待新一轮节水技术突破。

3 结 论

(1) 本文在分析灰色系统理论的基础上，结合灌溉水利用系数的性质及咸阳市灌溉水利用系数的变化趋势，选定灰色Verhulst模型进行预测研究。为提高预测精度和可靠性，通过优化发展系数α和初值x(1)(1)的不同组合形成三种改进模型，最终根据精度检验结果和理论分析，采用同时优化发展系数α和初值x(1)(1)的模型D预测结果作为咸阳市2021年—2023年灌溉水利用系数预测值，分别为：0.584 37, 0.585 74, 0.587 14。

(2) 由于咸阳市灌溉用水利用系数开始进行测算分析时段相对较短，年度统计资料时间序列不长，因此灰色Verhulst改进模型预测的灌溉水利用系数结果并不能严格代表长期的变化趋势，需要进一步考虑多因素的影响建立多元模型来探究各因素与灌溉水利用系数的关系，从而得到更科学合理的预测结果。