幂等矩阵的性质及应用

◎任芳国 和嘉琪

(陕西师范大学数学与统计学院，陕西 西安 710119)

一、引 言

幂等矩阵是一类常见的较特殊的矩阵，在矩阵理论中具有重要的地位和作用，它的很多优良的性质对解决矩阵问题大有益处.它不但在高等代数中有着重要的应用，在其他课程里，如计量经济学、统计学课程中也有重要应用.幂等矩阵及其相关性质具有鲜明的背景、丰富的理论，但是在通常的高等代数的教材中关于幂等矩阵的讨论是比较少的，因此，本文在前人已有的研究基础上对幂等矩阵的性质做了一些有益的补充和推广，就幂等矩阵的性质给予系统的归纳、分析和证明.

为了本文讨论更方便需要以下定义和引理.

1设∈×，的行向量组的秩或列向量组的秩称为矩阵的秩或者矩阵的非零子式的最高阶数称为矩阵的秩，记作()，并规定零矩阵的秩为0.

2设∈×，集合{|∀∈}称为的值域，记作()；集合{∈|=0}称为的核，记作().

3设∈×，如果的秩等于它的列(或行)数，称是列(行)满秩矩阵，特别地，可逆矩阵也称为满秩矩阵.

4设∈×且()=，如果存在列满秩矩阵∈×及行满秩矩阵∈×，使得=，称矩阵具有满秩分解.

5设∈×.

(1)如果=，称是幂等矩阵.

(2)如果=，称是对合矩阵.

1(Douglas引理)

设∈×,∈×，则()⊆()⟺存在∈×，使得=

由()=(,…,),()=(,…,)，其中,分别是与的第个列向量，如果()⊆()，则向量组,…,可由向量组,…,线性表示，那么存在∈×，使得(,…,)= (,…,)，即=；反之结论成立.

2设,是阶方阵,则()=.(证明略)

3设∈×，(),()∈[]，如果((),())=1，则(())+(())=+(()()).

故由等价矩阵的秩不变可知，

4 设∈×,∈×,∈×.如果是列满秩矩阵，是行满秩矩阵，则()=()=()=().

5

(满秩分解)每一个非零矩阵都有满秩分解.

二、主……

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