数形结合思想在小学数学教学中的应用探索

福建省霞浦县沙江中心小学 江 峰

数形结合是小学数学教学中的一项重要数学教学方法。通过数形结合式教学可以促进学生对知识的理解和应用，而且学生利用直观的“形”分析“数”的时候，促使学生对“数”有一个清晰的认识，有利于学生探知到“数”的本质。而在利用“数”研究“形”的过程中，有助于学生逻辑思维的提升。为此，在小学数学教学中应用数形结合思想，可有效促进学生数学能力与素养的发展。

一、由“形”讲“数”

小学阶段的学生认知能力尚处于发展变化中，且对事物的认识和理解都是先从具象到抽象，即需要通过直观的感受或经验来联系抽象逻辑思维进行有序的思考。为此，教师在教学中，可以借助直观的“形”，让学生在形象思维的启发下，通过观察图形的方式来感受理论知识。

1.利用数形结合，学习数学概念。

数学概念是体现数学本质，传递数学精神的源泉。所以，教师在教学理论概念的时候，可通过具象的“形”来突出数学的严谨性，让学生在对概念进行理解的同时，整理出概念的抽象内涵以及外延，这对学生数学理论概念体系的整体构建都有重要的帮助。

例如，在苏教版小学数学“小数”的学习中，学生们学习到了近似数。教师在要求学生表示近似数的时候，其末尾上面的0是不可以去掉的。而小数的性质中，说明了其末尾上的0，不论是添上还是去掉，数字的大小是不变的。但是学生却很容易将两者混淆在一起，为此，教师需要利用例子来引导学生找出近似值6.2与6.20之间的相同点和不同点，教师可以利用数形结合的方式来帮助学生理解两者的区别。如图，教师在数轴中表示出6.2与6.20的取值范围，从而让学生理解为什么6.20末尾的0不可以去掉，而且也能够感受到6.20与6.2相比，前者更加精确。

教师在利用数轴为学生们讲解的时候，学生可直观形象的感受到近似数的理论意义，并且构造出小数近似值的模型，进而对小数位数的精确要求有了本质的理解与认识。

2.利用数形结合，提高解题能力。

由于小学阶段的学生思维以具象思维为主，他们的抽象思维能力还在发育中。所以，在数学教学的时候，教师要将抽象的逻辑关系用具象的图像来表示，以降低问题的难度系数，促使学生进行数学问题的有效转化，让解题思路变得清晰明了。

例如，在苏教版四年级下，学生学习“运算律”的时候，教师向学生出示问题1935×2018-1934×2019，因为此题中的数字较大，如果直接来计算的话很容易出现运算错误。为此，学生可以采用乘法分配律的形式进行运算，但是在教师语言的点拨下，仍旧有部分学生无法理解其解题思路。为此，教师便以此题为背景，通过数形结合思想来进行教学，用图形的方式提高学生对运算定律的理解与应用，进而使问题得到正确的解答。教师利用电子交互式白板向学生构建了下图两个长方形。

已知长方形ABCD与长方形AEFG，AB=2019，BC=1934，FG=2018，AG=1935。由上图可知，AEHD是这两个图形重合的地方，为此，1935×2018-1934×2019此式子所求的结果可以转化成这两个图形的面积差，也就是求解长方形DGHF与长方形EBCH之间的面积的差，从图形中就可以直观的发现，长方形DGHF与长方形EBCH宽的长度均为1，则两个图形的面积之差就应该是2018×1-1934×1=2018-1934=84。学生借助直观图形有效避免了繁琐的运算步骤，同时也在数形转化的过程中，体验到求解问题思路的多样化。

3.利用数形结合，提高探究意识。

在数形结合思想下，学生主要研究的就是数与形之间的关系，并在一些表述抽象、内容复杂或不能够用文字语言解释的问题求解中，就可以使用数形结合来充分展示问题，使原本抽象的问题变得简单直接，这有助于调动学生对数学探索的兴趣，培养学生的探究意识，同时也有利于学生数学思维水平的提升。

例如，学生在学习完分数加减法后，教师带领学生一同探究一个与分数有关的经典问题。求解特殊分数加法算式：

在求解算式之前，教师需引导学生对算式进行分析，从中得出算式中两个相邻项之间存在倍数关系，前一项是后一项的2倍，那么这些存在固定倍数关系的分数在经过无限加后，其最终的答案应该是什么？在对此问题做深入探究的时候，教师便可以引入数形结合思想，启发学生探究意识，促使学生通过图形的帮助，得出算式结果，并感受到在数字运算中应用数形结合思想的便利性和直观性。

如图：

此问题中，教师借助数形结合中由数转形的方式，促使学生探知到了分数加法的奥秘，同时也让学生感受到了数学探究的乐趣。

二、以“数”带“形”

1.利用数形结合，理解数学本质。

小学数学教学中，教师为了强化学生的数学核心素养，会引导学生通过对数的观察感受算法所蕴藏的算理，从而展现计算的整个过程，让学生在观察和思考中理解数学本质。

例如，在小学数学探究性问题中，有一算式为：1+2+3+4+…98+99+100+99+98+…+4+3+2+1=（），在此问题的求解中，教师可利用数形结合思想引导学生用点阵图的形式进行问题的探究和观察，以获取有效的解决方法。

如上图所示，左边图片从高到低依次数，每一层的点数就代表这一层的数，则得出的算式应当为：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1。在将左边图片以顺时针的方向旋转至右图，则得到正方形点阵图，总点数就是10×10=100。将正方形图从低向高沿折线数，就得到算式1+3+5+7+9+11+13+15+17+19。通过观察可知，两题存在一定的求解规律，即都可以采用10×10=100来计算。在此教学中，学生们通过找出数字与图形中的对应关系，进而探究出其中的规律，并从中感受到数学算理的本质。

2.利用数形结合，锻炼逻辑思维。

数学教学中，学生在教师的引导下成功构建表象，然后通过逻辑思维求解形的问题，但是很少有学生能够在求解过程中得出多种逻辑求解思路。但应用数形结合思想后，学生经历了充足的思考，有效掌握了数的特点，并在探究中实现了多维分析与想象。再经过对比分析和有效归纳形成空间观念，同时也提升了逻辑思维能力。

例如，苏教版小学数学“三角形”的学习中，学生们学习到了求解三角形面积的公式，为了能够让学生们理解“同底高相等的三角形其面积是相等的”这一特征。教师展示了下图。

图中，教师要求学生先计算第一幅图的三角形面积，并提出问题“一个三角形的底边长为6，高为4，是否仅存在一个？如果还有其他的三角形它们在方格中又是怎样呈现的呢？”经过学生们的讨论得出后面的几个三角形。并且每一个三角形的绘制都是在对比中完成。通过这一过程的学习，学生们对“同底高相等的三角形面积相等”这一特征有了明确的认识，这也为后续的几何学习奠定了良好的基础，同时也有助于学生数学核心素养的发展。

三、“数”“形”互化

1.通过数形互化，促使学生构建新知。

在苏教版小学数学教材中，应用到数形结合思想的例题有很多，如在分数、小数算法的教学中结合数形对应的方式，促使学生感受并理解算理实质。还有在学习数学理论的时候，应用数形结合，可以帮助学生更好地掌握理论概念，同时在直观的形的表示下，也促使学生加深了对抽象理论的认识，进而使新知的数学体系构建更加完善。尤其在小学高年级的教学中，学生所构建的新知不仅仅是教材中的理论知识，还会有从数学问题的求解与探究中得到的新知。

例如，有些行程问题、容斥问题等就可以利用图形进行问题的分析和探索，在图形的助力下，学生对问题有了深入的认识，并能够自主完成关键步骤的探究和求解，同时也可以有效提炼出其中的新知，成功提高了课堂教学效率。再如，在小学数学学习中，学生学习到了很多数学理论，如数学长度单位、面积单位以及体积单位等。如果学生没有一个较强的数感，对不同单位下的数量没有一个清楚的认识，那么教师就要借助数形互化，帮助学生理解和提高学生的数感，从而完成新知的构建。比如，在教学1cm3的时候，教师可以通过形的对比和数的区分，让学生理解1cm3、1dm3以及1m3的形的不同，使学生 能 够 更 加 清 楚 地 区 分1cm3、1cm2、1cm在数的意义上的不同。首先，教师让每个学生准备一块橡皮泥，还安排学习小组共同准备六张10cm的正方形白板，而教师准备三个卷尺。工具准备完毕后，教师便让学生们用橡皮泥捏一个边长为1cm的正方体，学生们将捏好的形状放在手心，成品极小。接着，教师要求学习小组将准备好的六张10cm的正方形白板拼接成一个正方体。学生们使用胶带粘好后，各组展示成品，其正方体大小与橡皮泥的大小形成了鲜明的对比。白板拼接成的正方体的体积就是1dm3，这容易让学生对1cm3与1dm3在形态上有清晰的认识。最后，教师又要求学习小组用三个卷尺到教室的角落处量出及画出体积为1m3的正方体。学习小组回到座位后，自觉地对比1dm3与1m3的空间大小。为了能够更加形象地展示1m3的空间大小，教师可以形象描述：“如果把人视作方块的话，1m3的空间内能放十几个人。”学生通过想象进而得到了1m3在空间上的大小概念。此刻，学生完成了有关于体积的新知构建。同理，教师为了能够让学生的抽象思维能力得到发展，还要引导学生认识1cm3、1cm2、1cm在数的意义上的不同。教师要求学生继续拿出最初制作的1cm3的橡皮泥，随后要求学生在白纸板上画出边长为1cm的正方形，还有一条长度为1cm的线段。单位的不同所代表的数的意义也不同。如果学生还没有对此有充分的理解，那么教师可以在教室角落画出1cm3的空间，再在地上用粉笔分别画出边长为1cm的正方形，还有一条长度为1cm的线段，对此仍旧存在疑惑的学生可以亲自走到角落、方格内，踩在线段上感受，通过切身的真实感受加深对1cm3、1cm2、1cm数的意义的理解，进而完善关于数学单位的抽象认知。

2.通过数形互化，发展学生数学素养。

应用数形结合思想求解数学问题的时候，通过将精确的数与直观的形有效结合在一起，使问题变得直观简单，让学生对问题的求解思路变得更加清晰，促使学生在求解中实现高效深度思考，推进学生数学素养的发展。

例如，在苏教版教学数学“圆”的学习中，学生们学习到了如何求解圆的面积。在进行面积公式的推导中，教师就可以采用数形结合思想，通过数形互化，促使学生探究出圆的面积公式，同时也让学生的数学思维能力得到有效的发展。

教师利用交互式电子白板展示一个圆形。（1）将此圆平均分解成若干份，通过拼接得到一个四边形，此四边形近似于长方形。已知，此长方形的宽是9cm，求最初的圆的面积是多少？（如下图）

（2）假设该图形中的长方形长是26cm，求此圆的面积为多少？

（3）假设该圆的周长和拼接的长方形周长相比要差10cm，求该圆的面积是多少？

（4）假设拼接后的长方形已知其周长是70cm，那么该圆的面积是多少？

实践证明，在上述四个问题串的练习下，学生对圆的公式有了进一步的认识和理解，同时学生对其面积推导的实质也有了明确的认知。此步骤的探究学习，促使学生在数的引导下成功提升了空间观念，也让学生的数学核心素养及综合能力得到了培养与发展。

总之，“数形结合”思想对小学数学教学的价值不言而喻，所以教师还需积极探索，以借其力量，提升学生学习效益。