分数阶时滞忆阻神经网络的有限时间投影同步

程雨虹，张玮玮，张红梅，张 海

（安庆师范大学 数理学院，安徽 安庆 246133）

神经网络因在图像处理、信号处理[1]、组合优化、联想记忆、模式识别[2]等领域有广泛的应用而成为研究热点。分数阶微积分因其能更准确地描述记忆和遗传的特性[3-6]而被一些学者引入到神经网络中，形成分数阶神经网络[7-15]。人脑作为一个高效的神经网络，一直是人工神经网络模拟的目标。但由于网络规模和突触元件的制约，人工神经网络的功能受到了极大限制。忆阻器[16-17]是电子电路理论中的基本非线性双端电路器件，其主要优点是在单个器件结构中提供非易失性存储器。忆阻器的出现，为人工神经网络在电路上模拟人脑提供了可能。于是，在神经网络中添加忆阻器会使得研究更加有意义。时间延迟可能对神经网络的动态行为产生额外的影响[18]，文献常采用多种时延，如恒定时延[19]、泄漏时延[20]、中立时延[21]和时变时延[22-23]等。神经网络的同步分析也很重要，如反同步[24-25]、相位同步[26]、投影同步[27]、准一致同步[28]等。从应用角度来看，让同步在有限时间内实现显得越来越重要，神经网络的投影同步问题已经取得了相当多的研究成果[29-31]。近年来，对于一般模型在0 ＜α＜1上的有限时间投影同步研究已经很多，但是关于阶数在1＜α＜2的忆阻时滞模型并没有具体的研究。基于此，本文对时滞忆阻神经网络的有限时间投影同步问题进行分析，利用拉普拉斯变换、广义Gronwall不等式、Mittag-Leffler函数和混合控制技术等新方法，给出了在阶数1＜α＜2的情况下的时滞忆阻神经网络有限时间投影同步一些充分条件。下面先给出关于分数阶导数的基本定义和结果。

1 分数微积分的定义和引理

2 模型描述

本文将带时滞的连续分数阶忆阻神经网络作为驱动系统：

其中，σ表示投影系数。

设计控制器为如下形式：

在控制器（5）下，误差系统如下，

向量形式为

误差系统初始条件如下，

定义8在控制器（5）下，如果存在正数T,δ,ε并具有δ＜ε，当且仅当，即对∀t∈J=，有‖e(t)‖＜ε，那么驱动系统（1）和响应系统（2）就实现了有限时间投影同步，其中t0为初始观测时间。此外，TS=T称为有限稳定时间。

注2当投影系数σ=1时，驱动系统（1）和响应系统（2）将实现完全同步；当投影系数σ=-1时，驱动系统（1）和响应系统（2）将实现反同步。

3 主要结果

本节通过使用Laplace变换来确保实现分数阶1＜α＜2的时滞忆阻神经网络的有限时间投影同步，所得结果如下。

定理在假设1、控制器（5）以及1＜α＜2的条件下，驱动系统（1）和响应系统（2）满足

证明在不等式（7）下运用Laplace变换以及Laplace逆变换，可以得到

4 数值模拟

本节通过一个数值例子来验证所得结果的可行性和有效性。

例考虑一类分数阶忆阻神经网络作为驱动系统和响应系统：

得到驱动系统（18）和响应系统（19）实现有限时间投影同步的时间为T≈6.75。

图1 和图2 给出了在σ=-1 时，误差系统（6）的状态轨迹和误差范数轨迹图，表明系统（18）和系统（19）在控制器（5）下实现了反同步。图3和图4给出了在σ=1时，误差系统（6）的状态轨迹和误差范数轨迹图，表明系统（18）和系统（19）在控制器（5）下实现了完全同步。图5和图6给出了在σ=2时，误差系统（6）的状态轨迹和误差范数轨迹图，表明系统（18）和系统（19）在控制器（5）下实现了有限时间投影同步。

图1 σ=-1时误差e(t)的状态轨迹图

图2 σ=-1时误差范数‖ e(t) ‖的轨迹图

图3 σ=1时误差e(t)的状态轨迹图

图4 σ=1时误差范数‖ e(t) ‖的轨迹图

图5 σ=2时误差e(t)的状态轨迹图

图6 σ=2时误差范数‖ e(t) ‖的轨迹图

5 结论

综上所述，本文将带时滞的神经网络系统改为带时滞的忆阻神经网络系统，并将此系统的有限时间投影同步从0 ＜α＜1推广到1＜α＜2，借助拉普拉斯变换和逆变换、广义Gronwall不等式、Mittag-Leffler函数和混合控制技术，给出了阶数在1＜α＜2情况下的时滞忆阻神经网络有限时间投影同步的一些充分条件。数值模拟表明理论结果的正确性和有效性，从而证明了分数阶时滞忆阻神经网络的有限时间投影同步。本文的工作可以用于处理更加复杂的模型。