狭缝节流空气轴承-转子系统稳定性分析

于贺春，张国庆，岳金珂，王文博，王仁宗，张素香，时金虎

(中原工学院机电学院，河南郑州 450007)

0 前言

空气静压主轴具有回转精度高、能耗低、温升小等优点，是现代机床的核心部件之一。随着加工精度、加工效率等要求的不断提高，现代加工制造对空气静压主轴的精度和转速要求也不断提高。

轴承-转子系统的研究常使用线性摄动法和轨迹法。摄动法无法展现转子在整个系统中的运动轨迹，只适用于转子在平衡状态下的微小扰动;而轨迹法是通过对动力学方程和流体方程直接求解，得到转子轴心轨迹，进而对整个系统稳定性进行分析。CASTELLI和ELROD首先提出了轨迹法，通过研究长径轴承，得到不同系统工况下转子轴心轨迹变化，并将分析得到的数值与摄动法的计算结果相比较。LUND等为了研究轴承的动态特性，提出八系数法,为轴承-转子系统的动态特性分析提供了便利，将8个不同方位的刚度阻尼系数作为轴承的动态参数表征轴承的稳定性。韩东江等采用轴心轨迹、分岔图以及频谱图等方式，呈现了系统不同振动下的动力学特征，给出了定性的理论分析以及相应的控制方法。张永芳等通过组装技术获得固定瓦-可倾瓦动压气体轴承非线性气膜压力的分布。HASSINI和 ARGHIR认为旋转状态下的转子在其平衡位置不断摄动形成其轴心轨迹的变化，每一个位置的气膜力都可使其产生线性的动态变化，采用连续逼近法对轴承-转子系统的运动轨迹进行分析。CHEN和WANG分别利用有限差分法和龙格-库塔方法求得轴承的瞬态雷诺方程和系统动力学方程，通过计算发现系统会随着转子速度与质量的变化出现倍周期现象。MIYANAGA 和TOMIOKA利用线性摄动理论，研究了人字槽气体轴承弹性基座的支承刚度和阻尼的变化，得出弹性基座可以提高轴承稳定性的结论。陈东菊等通过扰动法对轴承动态特性系数进行求解，将结果引入建立的轴承-转子动态振动模型中，求得了主轴的振动误差曲线；通过对数据进行频域处理，得到非线性对主轴径向误差的影响，并通过实验对结果进行分析。任佟等人通过微扰动法和分离变量法对气体轴承的气膜阻尼系数建模、求解并分析，将气膜阻尼系数引入轴承转子系统进行动力学建模及计算，并将实验与计算结果进行对比。张强和张霞妹通过研究轴承-转子系统，计算了轴承承载力、临界转速以及振型，并通过改变轴承的平均间隙和偏心率对转子系统的临界转速进行研究。

综上所述，目前多采用线性方法或摄动方法结合刚度阻尼系数对系统的稳定性进行分析，很少考虑气膜力与转子非线性运动的相互影响。为探究不同狭缝轴承参数对系统稳定性的影响规律，本文作者利用Gambit软件建立径向支撑的双排连续性狭缝轴承-转子系统的动态耦合模型，考虑轴承与转子之间的非线性影响。构造系统的稳态环境，对稳态下的轴心轨迹变化和气体流场进行分析；对系统载荷方向的轴心轨迹变化进行瞬时响应分析，探究不同轴承参数下系统受到载荷作用后的转子位移在载荷方向的变化曲线，从而利用时域参数分析不同轴承参数下系统的稳定性。

1 系统耦合方法分析与模型建立

1.1 流固耦合控制方程

主轴内的轴承和转子在工作过程中相互影响，转子自身的惯性力和气膜惯性力会使转子产生非线性运动，转子轴心轨迹的变化会使气膜流场分布特性发生改变，因此可以利用双向流固耦合方法对狭缝节流径向轴承支撑的转子系统进行求解。图1所示为系统耦合计算流程。

图1 系统耦合计算原理

通过联立流体方程与固体方程，可以得到系统的耦合控制方程。流固耦合遵循基本守恒定律，在流固耦合交界面上，流体f与固体s之间变量的传递保持守恒，耦合方程满足公式(1)：

(1)

式中:为应力，Pa；为位移，m；为热流量，W;为温度，K。

1.2 动网格技术

动态网格(动网格)技术是一项网格更新技术，可以改变流场区域内网格体积大小以及网格的出现和产生，并控制网格质量。流场中的任意网格体积上的一般标量的守恒方程为

(2)

式中:为体积，m；∂为体积运动边界；为网格运动速度，m/s；为流体密度，kg/m；为流体速度矢量，m/s；为边界截面积，m；为耗散系数；为标量的源项。

1.3 系统耦合参数确定

以双排狭缝节流径向空气轴承支撑的转子系统为研究对象，如图2所示，轴承参数如表1所示。

图2 耦合模型系统简图

表1 狭缝轴承部分参数 单位:mm

在同一坐标系下对系统进行简化，轴向为模型的方向，径向受载荷力方向为方向。转子模型轴颈长60 mm，轴颈表面与气膜内表面重合。

1.4 网格划分及定义边界条件

(1)网格划分

在耦合计算过程中,由于流场自身的变化和转子的运动会使气膜间隙处网格产生大的变形和重构。在划分网格过程中，要在保证网格计算精度的基础上，减少网格数量，且与转子耦合处的网格一一对应。不同流场区域网格节点数如表2所示。

表2 流场网格节点数

利用Gambit软件对简化后的流场模型进行网格划分。由于轴承长度与气膜间隙尺寸相差较大，为保证网格质量，将流场分为气膜间隙区和狭缝区，如图3所示。可知：气膜间隙区网格密度由狭缝至气体出口方向逐渐减小；狭缝区网格密度由狭缝入口到狭缝出口逐渐增大。

图3 流场网格划分

(2)定义边界条件

定义边界条件:①气体在运动过程中保持温度恒定；②根据文献[17]的计算结果，文中采用层流方式对轴承进行分析；③忽略加工误差对壁面的影响，转子表面绝对光滑；④系统供气压力为0.5 MPa，轴承的出口边界为压力出口，出口压力与环境压力相等；⑤设置流场内部表面和转子外表面为耦合面，气膜间隙两侧出气表面定义为变形壁面；⑥对转子施加轴向位移约束，排除转子轴向窜动对结果的干扰。

2 狭缝节流轴承-转子系统耦合计算

2.1 系统流固耦合参数设置

利用ANSYS Workbench中System Coupling模块对流体域和固体域的计算结果进行数据交换。根据流体网格大小对计算步长进行调整，设置耦合计算步长为5×10s。

2.2 系统流固耦合稳态环境准备

系统的进气孔压力为0.5 MPa，转子转速为10 000 r/min，耦合作用下的转子轨迹如图4所示。可知：转子在自身惯性力和气膜力的作用下逐渐趋于某一稳定位置；初始时，轴承与转子之间的气流流动较为混乱，转子受气流冲击产生不规则运动，当气体流动稳定且转速增加到一定稳定值后，转子的运动趋于稳定，最终在这一位置附近进行涡动。

图4 耦合作用下的转子轨迹

图5所示为转子运动稳定后，气膜间隙流场分布情况。此时转子不受外界因素影响，只在自身惯性力和轴承气膜力作用下运动，气膜内流场分布均匀，转子运动较为平稳。

图5 稳态环境下气体压力分布

2.3 系统的位移分析

图6所示为狭缝轴承-转子系统受到阶跃载荷后的转子位移和承载力变化曲线。系统在稳态环境下运动，当=2.5 ms时，转子在方向受到阶跃载荷作用，转子运动轨迹发生改变，气膜承载力随之发生改变，转子在载荷作用下到达新的平衡位置。

图6 耦合作用下的转子位移及承载力变化关系

由图6(a)中可知：转子位移量增加至最大值7.8 μm后减小，最终趋于平缓，稳定在7.1 μm左右；气膜承载力增大至465 N后减小，趋于平缓后稳定在359 N左右，位移最大值与承载力最大值同时出现；当>3.75 ms时，转子的位移变化和气膜承载力变化趋于平稳，系统达到稳定状态。由图6(b)可知：系统稳定状态下转子的位移变化和气膜承载力变化相反；当转子位移增加时，气膜间隙减小，气膜承载力增加，反之亦然，此时系统状态为动态平衡。

2.4 系统的流场分析

图7所示为转子在移动过程中轴承内的气体压力分布情况。可知:当=2.5 ms时，转子未受载荷作用，流场压力在同一轴向位置的圆周方向均匀分布，转子在自身惯性和气膜力作用下处于平衡状态；当=2.75 ms时，转子受到方向上350 N阶跃载荷，转子在载荷作用下与狭缝轴承产生偏心,随着转子位移的不断增加，气膜的高压面积不断增加，承载力也不断增加;当=3.0 ms时，转子的位移量最大，气膜高压面积达到最大，此时气膜承载力大于载荷，转子向反方向移动;当>3.75 ms后，载荷与承载力达到平衡，气膜的高压区面积不再发生明显变化，系统处于新的动态平衡。

图7 耦合作用下的气体压力分布

2.5 狭缝节流轴承-转子系统时域分析

利用时域分析研究转子在载荷作用下的运动规律，在瞬态响应阶段，狭缝轴承-转子系统受到阶跃载荷作用，发生振荡，经过一段时间，系统达到新的稳态状态。

转子在载荷作用下运动，一定时间内，转子位移首次达到稳态的时间为上升时间；转子位移首次达到最大值的时间为峰值时间；上升时间与峰值时间的大小反映了系统的快速性。在二阶欠阻尼系统中，最大峰值与稳态值差值与稳态值的比值为系统最大超调量，利用式(3)可得出最大超调量和阻尼比之间的关系：

(3)

阻尼比决定系统的振荡特性，越大，系统稳定性越大。越小，值越大，振荡幅值越小，当增大到一定程度时，系统的响应曲线单调上升。

(1)二阶欠阻尼系统

图8所示为在=2.5 ms时施加阶跃载荷作用下狭缝间距为30 mm的转子的位移变化曲线。可知：当>2.5 ms时，转子在方向上不受载荷作用；转子在方向上的位移分为2个阶段：瞬态响应阶段和稳态响应阶段，其波动规律符合二阶欠阻尼系统响应。

图8 t=2.5 ms施加阶跃载荷转子在x、y方向位移曲线

(2)二阶过阻尼系统

图9所示为在=2 ms时施加阶跃载荷作用下狭缝间距为10 mm的转子的位移变化曲线。可知：转子在方向的位移增长率绝对值逐渐减小，位移变化曲线为二阶过阻尼系统响应曲线，此时>1，系统持续处于瞬态响应阶段，不发生振荡，且无最大超调量。

图9 t=2 ms施加阶跃载荷转子在x、y方向位移曲线

3 耦合计算结果与分析

3.1 狭缝间距对系统瞬态参数的影响

在系统供气压力和所受载荷(在=2.0 ms时施加)恒定的情况下，依次改变狭缝轴承的狭缝间距为10、20、30、40、50 mm，计算承载力，结果如图10所示。

图10 瞬态响应下承载力变化(不同狭缝间距)

由图10可知：承载力峰值和承载力的变化率随狭缝间距增加逐渐减小，承载力到达峰值的时间随着狭缝间距增加而逐渐减小。

图11所示为不同狭缝间距下转子位移变化网格图。

图11 瞬态响应下y方向位移变化(不同狭缝间距)

由图11可知：转子位移稳定值随着狭缝间距的增加，先减小后增加，即相同供气压力下，转子位移变化反映了系统的承载力变化，即随着狭缝间距增加，系统承载力先增加后下降；狭缝间距在20、30、40 mm时，转子位移先增大后减小，最终趋于稳定，而狭缝间距在10、50 mm时，转子位移先增加后减少，未达到稳定状态；当狭缝间距为10、50 mm时，系统的位移变化曲线为二阶过阻尼系统响应曲线，此状态下系统瞬态响应时间增加，系统无振荡，阻尼比>1。狭缝间距在20、30、40 mm时，转子位移曲线为二阶欠阻尼响应曲线。

3.2 狭缝深度对系统瞬态参数的影响

系统其余参数不变，依次改变轴承的狭缝深度为3、5、7、9、11 mm，轴承承载力随时间变化曲线如图12所示。可知：随着狭缝深度增加，承载力最大值逐渐下降，即高压气体经过狭缝节流器，与周围壁面接触，流入气膜间隙后，能量随着接触壁面的增加而逐渐减小，导致承载力在瞬态响应期间的变化不同，当系统达到稳态后，系统所受外界的载荷相同，轴承的承载力相同。

图12 瞬态响应下承载力变化(不同狭缝深度)

图13所示为不同狭缝深度下的转子位移变化网格图。可知：随着狭缝深度的不断增加，转子位移先增加后减小，由于不同狭缝深度下的气膜承载能力不同，导致转子在瞬态响应阶段的位移变化量不同，且最终转子的稳定位置也不相同。

图13 瞬态响应下y方向位移变化(不同狭缝深度)

不同狭缝深度下系统时域响应参数如表3所示。可知：随着狭缝深度逐渐增加，转子位移的上升时间和峰值时间逐渐增加，最大超调量逐渐下降。因此，增加狭缝深度会使系统的响应快速性下降。狭缝深度增加使系统增大，系统振荡特性减小，系统稳定性提高。

表3 不同狭缝深度下系统瞬态响应参数

3.3 狭缝宽度对系统瞬态参数的影响

系统其余参数保持不变，改变狭缝宽度，系统承载力变化如图14所示：狭缝宽度增加会使轴承的承载力发生改变，随着狭缝宽度的不断增加，波动过程中的轴承承载力最大值逐渐增加，承载力最大值与稳态值的比值不断增加。

图14 瞬态响应下承载力变化(不同狭缝宽度)

图15所示为瞬态响应过程中，转子在载荷方向下的位移变化网格图。可知：当狭缝宽度为0.008 mm时，转子位移一直增加，前4 ms内未达到稳态，系统未产生波动；狭缝宽度在0.01～0.016 mm时，转子位移有最大值，且随着宽度的增加，位移绝对值的最大值逐渐增加。稳定状态下，轴承位移的绝对值随着狭缝宽度的增加先减小后增加。

图15 瞬态响应下载荷方向位移变化(不同狭缝宽度)

狭缝宽度为0.008 mm时，转子位移没有最大值，为过阻尼系统，>1。表4所示为狭缝宽度为0.01～0.016 mm的瞬态响应参数变化。可知：上升时间和峰值时间在狭缝宽度为0.012 mm时最小，此时位移峰值最大，位移最大值和稳态值的比值最大，系统的反应速度最快；超调量先增加后减少，即先减小后增加，<1。因此，随着狭缝宽度的增加，系统先减小后增加,系统稳定性先减小后增加。

表4 不同狭缝宽度下系统瞬态响应参数

4 结论

(1)通过流固耦合计算方法可以得到系统动态耦合下轴承的流场压力分布与转子的轴心轨迹变化，可知系统转子轨迹在稳态时呈不断波动状态，流场压力分布变化与转子运动轨迹相互影响。

(2)通过时域分析法可以得出，不同系统对相同载荷下的稳态和瞬态反应各不相同，不同狭缝参数下的位移变化曲线有2种表现形式：欠阻尼系统和过阻尼系统。在一定范围内，增加两狭缝之间的距离可使系统阻尼比和稳定性先增加后减小；增加狭缝深度可使系统阻尼比和稳定性逐渐增加；增加狭缝宽度可使系统阻尼比和稳定性先减小后增加。系统稳定性增加，系统对外界反应的快速性会下降。