随机波动率下障碍期权的Monte Carlo模拟定价

0 引言

Black-Scholes（BS）期权定价模型[1]以无风险利率、资产波动率是常数为假设基础，这一假设基础常常与实际市场价格不符。而随机波动模型，将波动率看成一个随机过程，可以更好地模拟实际市场的价格，应用较多的有Hull-White[2]，Heston[3]等随机波动模型。郁瑞澜，商豪[4]用Heston随机波动模型讨论了沪深300ETF期权定价。梁艳[5]用了Hull-White随机波动模型对亚式期权进行模拟定价。

障碍期权（Barrier Options），指的是期权生效或失效取决于期权到期前是否达到障碍值。障碍期权由达到障碍值后的期权状态，可分为两种：敲出期权与敲入期权。敲出、敲入期权各可以分为四类，其名称和收益函数如表1所示。

表1 敲出、敲入期权的收益函数

张素梅[6]用有限差分法讨论了随机波动模型下的障碍期权定价。霍海峰等[7]在分数次布朗运动下探索了欧式障碍期权的定价。薛广明[8]研究了带跳随机波动率模型的美式障碍期权的定价。本文研究了随机波动模型下障碍期权[9]的定价，给出了股价波动率和标的资产的价格路径，用蒙特卡罗法（Monte Carlo）和对偶变量法[10]得出了下降敲出欧式看跌期权在不同条件下的期权价格，并利用对偶变量法，计算出了随机波动模型下下降敲出看涨期权的价格。

1 随机波动基本模型

在风险中性下，资产和波动率满足如下微分方程（1）：

μ：股票期望收益率，σt：股票波动率与Bt是标准的Brownan运动，Hull-White随机波动模型下的各个参数如下：

本文的障碍期权定价，是在Hull-White随机波动模型下来研究的，则方程组（1）可简化为：

2 Monte Carlo模拟定价

2.1 Monte Carlo模拟的基本原理

大数定律和中心极限定理是Monte Carlo模拟的理论基础。模拟时，计算机多次重复抽取随机变量作为样本，当样本达到一定数量时，随机变量的均值就会接逐渐近于其期望值。

2.2 对偶变量法

2.3 蒙特卡罗模拟障碍期权定价的步骤

2.3.1 随机波动过程的模拟

2.3.2 股票价格路径的模拟

在风险中性条件下，方程组（2）中的标的资产可以写为

2.3.3 期权价格的模拟计算

欧式期权的股票价格终值为：

3 数值模拟结果与分析

3.1 蒙特卡罗法和对偶变量法的模拟结果比较

首先，分别用普通Monte Carlo法和对偶变量法比较下降敲出欧式看跌期权在不同的执行价格、交易时间下的期权价格[12]，参数分别为S0=100，r=0.1，H=90，σ=0.3，模拟次数为5000次，时间离散步数为600。

由表2可以看出：①下降敲出看跌障碍期权价格随着K的增大而增大，随着T的增大而减小，当T=1/4时，不管是Monte Carlo法还是对偶变量法，K=105时的期权价格是之前的K=95和K=100时价格的好多倍，这种差距很明显，但是随着时间的增加，这种差距略有减小；②对偶变量法与普通Monte Carlo法相比，模拟出来的结果更加精确，标准差更小些，但是在时间的运行上，对偶变量法的运行时间比蒙特卡罗法的略长一些，matlab运行时，蒙特卡罗法基本上5秒左右都能得出结果，对偶变量法一般需要6秒左右的时间。因此，为了使得数值更加精确一些，下面的随机波动模型的模拟过程选择对偶变量法。

表2 蒙特卡罗法和对偶变量法比较下降敲出看跌期权

3.2 B-S模型和随机波动模型的模拟结果比较

其次，分别用B-S常波动模型和Hull-White随机波动模型（SV）来计算下降敲出欧式看涨期权的价格，参数分别取S0=100，μ=0，r=0.1，H=90，ρ=0，σ=0.1，Y（0）=0.08，模拟次数为1000次。

由表3可以看出：①下降敲出欧式看涨期权，随着执行价格K的增高，期权价格越来越低，随着时间T的增加，期权价格越来越高；②随机波动模型与常波动的B-S模型相比，随机波动模型模拟出来的期权价格比B-S模型的略低些，说明波动率为常数的时候，有可能高估了期权的实际价格。

表3 B-S模型和随机波动模型下降敲出欧式看涨期权价格比较

4 结论

本文研究了Hull-White随机波动模型，用Monte Carlo法对模型（3）给出具体的数值算法，利用matlab软件求出了下降敲出看跌期权的价格，并利用对偶变量法，通过matlab编程，模拟了随机波动模型下下降敲出看涨期权的价格，通过表2和表3的数值计算，验证了对偶变量法的准确性。