角锥棱镜偏振特性的理论研究

王皎悦 王垚廷 杜 雯

（西安工业大学基础学院，陕西 西安 710021）

0 引言

角锥棱镜是由3个相互垂直的平面镜拼接而成的光学元件，它可将任意角度入射的光线沿原光路反向平行射出，且光线在棱镜内部的光程为一常量，通常其可作为全反镜［1-2］。角锥棱镜因其整体结构特殊，且具有较强的抗失调特性，被广泛应用于激光通信、激光测量、光学变换等光学仪器中［3］。角锥棱镜对光线的偏振态也有一定影响，当偏振光垂直入射到角锥棱镜的有效入射面时，出射光会产生不同于入射光的偏振态［4］。可用琼斯矩阵来描述光线的传播过程，进而对角锥棱镜的偏振特性进行研究［5］。本研究成果对角锥棱镜环形腔激光器的设计和测量工作有着十分重要的作用。

1 角锥棱镜的光学性质

角锥棱镜OABC的结构如图1所示，等边三角形ABC为角锥棱镜的底面，三个等腰直角三角形AOB、BOC、AOC为角锥棱镜的内反射面，分别位于xoy、yoz、xoz平面内。光线从角锥棱镜底面ABC上的S点入射后，经AOB、BOC、AOC上的S1、S2、S3点全反射后，从底面ABC上的S'点射出，设OA=OB=OC=a，顶点坐标分别为A（a，0，0）、B（0，a，0）、C（0，0，a）。

图1 角锥棱镜内部光线追迹矢量图

设N1、N2、N3、N4分别为BOC平面、AOC平面、AOB平面、ABC平面的法向量，用i、j、k分别表示x、y、z轴负方向的单位向量。

BOC平面的平面方程及其单位法向量方程见式（1）。

AOC平面的平面方程及其单位法向量方程见式（2）。

AOB平面的平面方程及其单位法向量方程见式（3）。

ABC平面的平面方程及其单位法向量方程见式（4）和式（5）。

角锥棱镜的空间方程，见式（6）。

设A1、A2、A3、A4分别为SS1、S1S2、S2S3、S3S'光线的方向矢量，则从底面ABC入射到AOB平面上的光矢量A1的计算公式见式（7）。

式中：l、m、n分别为SS1光线在x、y、z轴上的投影长度。入射到AOB平面上的光线反射情况如图2所示，k为AOB平面上的法线，根据几何关系可得式（8）。

图2 AOB平面反射矢量图

则从AOB平面射向BOC平面的S1S2光线矢量A2的计算公式见式（9）。

从BOC平面射向AOC平面的S2S3光线矢量A3的计算公式见式（10）。

从AOC平面射向ABC平面的S3S'光线矢量A4的计算公式见式（11）。

式（8）与式（11）点积可得式（12）。

由式（12）可知，矢量A1与矢量A4的方向相反，也就是说，入射到角锥棱镜底面的光线与通过其内部反射后的出射光线是反向平行的。由此可知，角锥棱镜的位置对出入射光线的方向不会产生影响。

2 角锥棱镜入射和反射光线之间的坐标变化

以光线垂直入射到角锥棱镜底面上的情况为例，将角锥棱镜置于立方体中来研究光线的传输情况，如图3所示，ABCDEFGH为立方体，AIJK为角锥棱镜。光线沿GA方向入射到角锥棱镜底面IJK上，在立方体中建立xyz坐标系，假设光线沿GA入射的方向为z轴、BD方向为y轴，xyz轴符合右手定则。光线在角锥棱镜的3个内表面来回反射，为了便于研究，同时建立描述光线偏振态的spk局部坐标系，以光线入射方向为矢量k的方向，垂直于入射面方向为矢量s的方向，spk矢量符合右手定则。

光线反射到每个面上都会产生一个新的spk坐标系，新的坐标系是经旧的坐标系旋转得到的。当迎着光线传播方向绕k轴顺时针旋转时，角度为负值；绕k轴逆时针旋转时，角度为正值。

光线沿GA方向入射到IJK平面时（见图3），立方体A（Cube A）表示光线第一次入射，令局部坐标系的矢量k为入射光线GA的方向、矢量s为BD的方向。

图3 立方体光线入射图

当光线通过IJK平面折射后，传播方向不变，此时仍沿GA方向入射到ABCD平面上，AE为ABCD平面的法线，因此AEGC为第一入射面，局部坐标系没有发生变化，令k1、s1为光线第一次入射时在spk坐标系中的矢量方向，矢量k1为入射光线GA的方向，矢量s1为BD方向，因此局部坐标系旋转角度为0°。设正立方体ABCDEFGH每个边的长度为单位长度，如图4所示，对角边AC、EG长度为2，入射角∠GAE=α，二者的关系见式（13）。

图4 AEGC平面上的入射角

入射到ABCD平面上的光被反射后，沿C'E'方向继续传播，立方体B（Cube B）表示第一次反射，此时令k2、s2为光线第二次入射时spk坐标系的矢量方向，矢量k2为光线入射到第二个平面C'E'的方向，矢量s2为F'A'方向，如图5所示。此时，出射光线C'E'的琼斯矢量为JR(0°)Ein。

图5 第一次反射的坐标变换图

沿C'E'方向的光线入射到A'B'F'E'平面上，E'H'为A'B'F'E'平面的法线，因此第二入射平面为E'H'C'B'。此时，局部坐标系的矢量k2仍为C'E'的方向、矢量s2变为F'A'的方向。A'B'F'E'平面入射光线局部坐标矢量是由ABCD平面出射光线局部坐标矢量逆时针旋转60°得到的。入射到A'B'F'E'平面的光线被反射后，沿B''H''方向继续传播，立方体C（Cube C）表示第二次反射，此时令k3、s3为光线第三次入射时spk坐标系中的矢量方向，k3变为光线入射到第三个平面的B''H''方向，矢量s2仍为F'A'方向，如图6所示。此时，出射光线B''H''的琼斯矢量为JR(60°)JR(0°)Ein。

图6 第二次反射的坐标变换图

从A'B'F'E'平面反射后的光线沿B''H''方向再射入A''D''H''E''平面上，与光线入射到前两个平面上的传播情况相同。立方体D（Cube D）表示第三次反射，如图7所示，此时出射光线A'''G'''的琼斯矢量为JR(-60°)JR(60°)JR(0°)Ein。

图7 第三次反射的坐标变换图

从A''D''H''E''平面反射后的光线沿A'''G'''方向再入射到IJK平面上，此时要将A''D''H''E''平面出射光的局部坐标系逆时针旋转60°才能与原坐标系重合，如图8所示。此时，通过角锥棱镜3个内表面反射后出射光线琼斯矢量为R(60°)JR(-60°)JR(60°)JR(0°)Ein。

图8 出入射光线局部坐标系旋转图

光线进入角锥棱镜后的整个反射过程可用4个连续的立方体来表示，如图9所示。

图9 立方体内光线完整传播路径图

由图9可以看出，出射光线与入射光线是反向平行的，并且其偏振状态发生改变。

3 角锥棱镜的偏振特性

光线在角锥棱镜中按照AIJ-AIK-AJK的顺序依次反射，用1、2、3分别表示这三个平面，则经过此过程出射光线的琼斯矩阵见式（14）。

由于光线可从任何一个平面开始反射，且反射顺序可按照顺时针和逆时针方向进行旋转，因此按照上述过程，从角锥棱镜底面入射的光线共有6种传播路径，可将角锥棱镜底面划分为6个区域，如图10所示。每个区域的入射光线代表一种传播路径，则每条传播路径所对应的琼斯矩阵见式（15）。

图10 角锥棱镜底面入射区域图

在角锥棱镜中，内表面的反射琼斯矩阵可以写成式（16）。

式中：RP、RS为对角线反射系数，在全内反射情况下||RP= ||RS=1，δp、δS为反射的相位跃迁函数，仅由折射率n与入射角α决定，i为3个反射面。为了便于计算，可将式（16）用复反射系数rp和rs来表示，见式（17）。

以光线在角锥棱镜中按AIK-AIJ-AJK的传播路径为例，整个过程中的琼斯矩阵见式（20）。

将反射矩阵与旋转矩阵带入（20）式，可得式（22）。

为了简单描述，式（22）可表示为式（23）。

由于角锥棱镜内部的光学表面性质相同，且光线由棱镜底面IJK垂直入射，因此棱镜三个内表面反射系数rp1=rp2=rp3=rp、rs1=rs2=rs3=rs，则可计算出式（23）琼斯矩阵中的各个元素，见式（24）。

同理，可计算出其余5种传播路径琼斯矩阵中的各个元素，结果如表1所示。

当光线以54.736°的角度入射到折射率为1.515的角锥棱镜中，光线在3个内表面发生全反射。可计算出rp和rs，见式（25）（26）。

将式（25）（26）带入式（24）中，再利用方程组可计算出琼斯矩阵中的元素，见式（27）。

由此可得，光线以AIK-AIJ-AJK路径传播时的琼斯矩阵见式（28）。

按照同样的方法计算出其余五种传播路径的琼斯矩阵，结果如表2所示。

通过分析式（24）和表1可知，琼斯矩阵J213和J312中的元素J11、J12、J21、J22同时存在rp3和rs3项，此时入射光经角锥棱镜反射后的偏振状态没有发生变化，而其余4种路径琼斯矩阵中的元素缺少rp3或任意一项，此时入射光经角锥棱镜反射后的偏振状态发生变化。通过分析式（28）与表2可得，线偏振光沿AJK-AIJ-AIK和AIK-AIJ-AJK这两条路径在角锥棱镜内表面反射后，出射光仍为线偏振光。当线偏振光沿其余4种路径在角锥棱镜内表面反射后，入射光的偏振状态发生变化，此时出射光为椭圆偏振光。

表1 其余五种传播路径琼斯矩阵中各元素

表2 其余五种传播路径的琼斯矩阵

4 结语

笔者通过对角锥棱镜光学特性和偏振特性进行研究，得出角锥棱镜中出入射光线反向平行这一光学特性。通过立方体光线追迹法得到6种描述光线偏振特性的琼斯矩阵。通过计算6种路径的琼斯矩阵得出角锥棱镜内部存在2条特殊的传播路径，当线偏振光沿此路径传播后，出射光仍为线偏振光，沿其他路径传播后，出射光变为椭圆偏振光。由于角锥棱镜具有良好的光学特性和丰富的偏振特性，其对环形腔乃至激光器的设计具有很大的帮助。