均匀流场中阶梯圆柱涡激振动试验研究

殷 彤， 及春宁， 宋立群， 袁德奎

(1. 天津大学 水利工程仿真与安全国家重点实验室，天津 300350; 2. 天津大学 机械工程学院，天津 300350)

当水流经过具有陡峭后缘的结构时，会在结构的背流侧发生交替漩涡的生成与泻放现象。与之相联系，结构受到横流向(垂直于来流方向)周期性的流体力作用，激发结构的涡激振动(vortex-induced vibration，VIV)。关于均匀圆柱的涡激振动问题，前人已经取得了大量卓有成效的研究成果，对单个和多个均匀圆柱的振动特性、尾流模式、干涉机理等进行了全面而细致的诠释，读者可查阅综述文献[1-8]。然而实际工程中，圆柱状结构沿轴向的直径往往不等，如海洋工程中常见的加装浮力模块的海洋立管，其外形是直径不连续变化的阶梯圆柱。

对于阶梯圆柱的尾流和涡激振动问题，当前研究主要集中在：①直径的不连续变化对阶梯圆柱尾涡结构的影响[9-13]；②直径比、长细比等因素对阶梯圆柱涡激振动的影响；③阶梯圆柱不等直径段之间的振动激励竞争机制。

Dunn等结合频谱分析与流场图像，发现阶梯圆柱后方沿展向形成了3个脱涡单元，即：小直径段后方的S单元、大直径段后方的N单元(靠近变截面处)和L单元(远离变截面处)。N单元的形成与变截面处的“下洗”运动有关，其脱涡频率比S单元和L单元的脱涡频率低。Morton等依据大直径段的长细比L/D(L和D分别为大直径段的长度和直径)，进一步对阶梯圆柱的尾涡模式进行划分。当L/D≥15时，阶梯圆柱尾流中存在3个脱涡单元；当8

对于弹性支撑的阶梯圆柱，其涡激振动特征与均匀圆柱的明显不同。Ji等[14]发现，当直径比D/d=1.43时(D和d分别为阶梯圆柱的大、小直径)，阶梯圆柱的振幅比均匀圆柱的减小了19%；当直径比D/d=2.0，大直径段振动锁定时，小直径段振动可能处于非锁定状态，并且这种锁定不同步的现象随着直径比的降低而逐渐消失。在不同直径段振动激励竞争机制研究方面，Lie等[15]发现：不同于均匀圆柱只受单个脱涡频率激励，加装浮力块的阶梯立管同时受到两个频率的激励作用。Vandiver等[16]进一步指出：当浮力块覆盖率超过50%时，立管振动响应由大直径浮力块的脱涡频率主导。Rao等[17]提出了用以判断激励竞争结果的预测模型，并认为长细比L/D是影响立管疲劳损伤率的重要因素。孙友义等[18-19]通过数值模拟手段，研究了不同浮力块分布形式下的立管涡激振动疲劳特性，对浮力块配置方案进行优化。

综上可知，已有针对阶梯圆柱的研究成果多关注直径比和长细比对尾流模式的影响，而对阶梯圆柱的涡激振动特性研究较少。在海洋工程应用背景下，相关学者开展了带浮力块细长立管涡激振动特性研究，但对振动机理缺少深入的分析，对直径比和长细比的影响缺少系统的研究。为此，本文作者在低湍流度水槽中开展了均匀来流条件下阶梯圆柱涡激振动的试验研究，探究阶梯圆柱涡激振动的振动特性和激励机制，分析长细比、直径比对阶梯圆柱涡激振动响应的影响。

1 试验装置

1.1 阶梯圆柱模型

阶梯圆柱模型由均匀裸管与外套空心圆管组合而成，如图1所示。均匀裸管总长436.8 mm(其中淹没段长度l=272.8 mm)，外径d=16 mm，质量为71.5 g。裸管为两端封闭的有机玻璃圆管，力学性能良好，在试验条件下可视作刚性圆柱。外接空心圆管由8200树脂材料通过3D打印制成，材料密度为1.12 g/cm3。单个外接空心圆管长度为34.1 mm，内径为16 mm，外径D=20 mm,24 mm,32 mm，直径误差小于0.2 mm。通过改变外接空心圆管的个数，可组成不同长细比的阶梯圆柱。

1.2 试验设施与数据采集设备

图2 试验装置图Fig.2 Sketch of experimental facilities

图3 各测点位置的平均流速和脉动流速均方根值Fig.3 Time averaged velocity and root-mean-square value of fluctuating velocity at different measuring points

试验设备安装如图2所示。振动和测量系统支架由80 mm×80 mm铝型材制成，力学性能良好，并与地面牢固连接。振动和测量系统支架与试验水槽分离，避免水泵对振动信号的干扰。为尽可能减小振动系统的结构阻尼，圆柱模型安装在直线气浮导轨(Newway S40-03075-038381)上。气浮导轨由微孔介质滑块和铝合金导轨构成，滑块与导轨之间形成气膜，无直接接触，滑动摩擦小。滑块通过铝合金连接件与圆柱模型刚性连接。直线气浮导轨由空气压缩机供气，气压波动范围0.55～0.58 MPa。滑块在导轨上的行程为305 mm，滑块和连接件的质量为764.8 g。通过自由衰减试验，测定振动系统在空气中的阻尼比平均值为5.08×10-3，标准差为2.0×10-4。用两根线性弹簧连接滑块与导轨两端，两根弹簧的弹性系数k=27.14 N/m。为减少圆柱末端三维绕流对振动产生的干扰，遵循Fox等[20]的建议，在圆柱模型下方安装圆矩形端板，并通过两个流线型立板与水槽底固定。端板由一个半圆形薄板(直径20 cm)和一个正方形薄板(边长20 cm)拼接而成，板厚2 mm，边缘磨尖。端板上表面距离水槽底部5 cm，以消除水槽底部边界层的影响。圆柱模型放置于半圆形薄板圆心处，与端板之间的间隙小于2 mm。

采用激光测距传感器(Baumer OADM-2016480/S14F)及配套测量与控制系统(NI USB-6008)对圆柱位移进行测量。传感器量程为100～600 mm，分辨率为0.015 mm，线性误差±0.05 mm。传感器安装于导轨一侧，试验坐标系原点位于传感器光源处，x正向为顺流向，y正向为横流向(激光射出方向)，z正向为竖直向上方向。试验中，圆柱仅沿横流向(y向)振动。每组试验以1 000 Hz频率采样120 s，并经20 Hz低通滤波，得到圆柱振动响应。

1.3 试验系统可靠性验证

采用弹性支撑均匀圆柱单自由度涡激振动对试验系统的可靠性进行验证。验证试验中，圆柱模型为长436.8 mm(其中淹没段长度l=272.8 mm)，直径d=40 mm。试验设备与1.2节所述相同。试验采集了不同流速下的圆柱位移时程，得到了无量纲振幅A*随折合速度Ur的变化趋势(A*=A10/d，A10为前10%最大振幅；Ur=U/fn,wd，U为来流流速，fn,w为圆柱在水中的自然频率)。将所得结果与Khalak等[21]、Zhao等[22]的试验结果进行比较，无量纲参数见表1，其中：m*为质量比；ζa为结构阻尼比；m*ζa为质量-阻尼联合参数；A*为无量纲振幅。如图4所示，本文结果呈现明显的三分支特性，最大振幅在上端分支取得，最大振幅和锁定区间范围与Khalak等、 Zhao等的结果吻合良好，证实了试验系统具有良好的可靠性。

图4 无量纲振幅A*随折合流速Ur的变化Fig.4 Variation of the dimensionless amplitude A* with the reduced velocity Ur

表1 弹性支撑均匀圆柱涡激振动试验无量纲参数Tab.1 Dimensionless parameters in the VIV test of a uniform elastically-supported cylinder

2 试验工况

采用控制变量法，以大直径段覆盖率R(R=L/l×100%，L为大直径段长度，l为圆柱淹没长度)和直径比D/d为自变量，设计试验工况如下。

(1)覆盖率：试验组1～6，R分别为0，12.5%，25%，50%，75%，100%。

(2)直径比：试验组4，7，8，D/d分别为1.25，1.5，2。

依据工况要求选择外接空心圆管的直径和长度，各试验组阶梯圆柱，如图5所示。试验参数如表2所示。其中：fn,a和fn,w分别为阶梯圆柱在空气和水中的自然频率；m为滑块和阶梯圆柱的总质量。由于空心圆管的密度很小，不同工况下阶梯圆柱的质量、阻尼比和固有频率变化较小，其对阶梯圆柱涡激振动的影响可忽略不计。然而，由于不同工况下阶梯圆柱的体积有较大变化，因此质量比的变化较明显(m*=6.5～15.2)，这不可避免会影响振动响应的幅值，但影响程度较低。Williamson等指出：随着质量比的增大，圆柱的振幅逐渐减小，锁定区间收窄，并且振幅减小和区间收窄的幅度在低质量比条件下明显，而在中等质量比条件(如本文的质量比条件)下较不明显。

图5 各工况阶梯圆柱示意图(深色为外接空心圆管安装位置)Fig.5 Stepped cylinders in each case (the deep rectangular indicates the installation location of the external pipe)

表2 弹性支撑阶梯圆柱涡激振动试验参数Tab.2 Parameters in the VIV test of a uniform elastically-supported cylinder

3 结果分析

本文对阶梯圆柱涡激振动响应的无量纲化处理中统一采用等效直径D*(D*=RD+(1-R)d)作为参考长度，无量纲振幅定义为A*=A10/D*，无量纲频率定义为f*=f/fn,w(f为阶梯圆柱振动频率)，折合流速定义为Ur=U/fn,wD*(以大、小圆柱直径为参考长度，定义Ur,D=U/fn,wD，Ur,d=U/fn,wd)。对于每个工况，来流流速范围为0.04～0.35 m/s，雷诺数ReD*范围为450～6 000(ReD*=UD*/ν，ν为运动黏滞系数)。

根据圆柱的动力平衡方程

(1)

(2)

式中，ρ为水的密度。

3.1 覆盖率对振动响应的影响

工况1～6中，大、小直径段的直径分别为D=24 mm和d=16 mm，覆盖率R分别为0%，12.5%，25%，50%，75%，100%，其中0%和100%工况可分别视作直径为16 mm与24 mm的均匀圆柱。图6给出了各工况下阶梯圆柱无量纲振幅与频率随折合流速的变化。

图6 不同覆盖率R条件下无量纲振幅A*和无量纲频率f*随折合流速Ur的变化Fig.6 Variation of the dimensionless amplitude A* and the dimensionless frequency f* with the reduced velocity Ur under different coverage rate R

根据已有研究结果，高m*ζa条件下，均匀圆柱的涡激振动具有两个响应分支：初始分支(initial branch)和下端分支(lower branch)，无量纲最大振幅约为0.6，出现在初始分支上[23]。低m*ζa条件下，均匀圆柱的涡激振动具有3个响应分支：初始分支、上端分支(upper branch)和下端分支，无量纲振幅约为1.0，在上端分支取得。从本文的结果来看，R=0%的工况，质量比较大，符合高m*ζa涡激振动的特点；而R=100%的工况，质量比较小，比较符合低m*ζa涡激振动的特点。需要指出的是，与Khalak等的试验(m*ζa=1.08×10-2)相比，R=100%工况的m*ζa(m*ζa=3.71×10-2)仍较大，导致上端分支较窄，最大无量纲振幅略小。

对于阶梯圆柱，当覆盖率较低时(R=12.5%)，振动响应与高m*ζa均匀圆柱的振动响应类似，但下端分支的振幅较大。随着覆盖率的增加(R=25%～50%)，在初始分支和下端分支之间出现过渡分支(transition branch)。在过渡分支上，阶梯圆柱大、小直径段的脱涡频率锁定在振动频率上，振动频率与固有频率相近，无量纲振幅随着折合流速的增大而增大，并在过渡分支末端取得最大振幅。初始分支和过渡分支具有不同的振幅增长率，以R=25%工况较为明显。对比R=25%和50%工况发现，R=50%时，初始分支较窄，过渡分支的振幅增长更快，初始分支和过渡分支之间的界限更不明显。此外，均处于锁定状态的过渡分支和下端分支的振动频率不同，下端分支的振动频率略大，这与在下端分支上大直径段的脱涡频率与振动频率锁定有关。随着覆盖率进一步增大，初始分支进一步收窄，直至消失(R=75%)，过渡分支占据整个振幅上升段。

结构振动频率在初始、过渡和下端分支(锁定区间)上均呈现单频特征，且与结构的固有频率相近，因而振动响应较为规律，振幅较大。在非锁定区间，结构的振动频率存在两个主导频率，其中的一个频率与结构的固有频率相近，另外一个频率与阶梯圆柱的脱涡频率有关，随折合流速的增大而近似线性增大。这样的结果与Khalak等在均匀圆柱涡激振动中得到的结果一致。然而，需要说明的是，对于阶梯圆柱工况(R=12.5%～75.0%)，与脱涡相关的无量纲振动频率f*(f*=fD*/U)低于均匀圆柱的无量纲脱涡频率St(=fsD/U≈0.2)，这与阶梯圆柱后方复杂的三维流场结构引起的较低的脱涡频率有关。当R=0%和100%时(均匀圆柱工况)，与脱涡相关的无量纲振动频率f*与均匀圆柱的无量纲脱涡频率St吻合良好。

进一步对锁定区间内的无量纲振动频率随折合流速的变化进行分析，如图7所示。当R=0%和100%时(均匀圆柱工况)，振动频率具有一个锁定区间，并且R=100%的振动频率高于R=0%的振动频率。这是因为，当R=100%时，圆柱的质量比较低，附加质量效应明显，因此锁定时振动频率较高。这与Khalak和陈威霖等[24-25]的结论一致。然而，当R=12.5%～75.0%时(阶梯圆柱工况)，振动频率出现两个锁定区间，随折合流速的增大，依次为第一锁定区间和第二锁定区间。第二锁定区间的振动频率高于第一锁定区间的，两者之间存在一个过渡区域。第一锁定区间的出现伴随着过渡分支的出现，而第二锁定区间与下端分支对应。本文称此现象为阶梯圆柱涡激振动的“双锁定”(dual lock-in)现象。需要说明的是，R=12.5%工况的第一锁定区间很短(Ur=5.8～6.3)，并未引起可观察到的过渡分支(见图6b)。

图7 不同覆盖率R条件下锁定区间内无量纲频率 f*随折合流速Ur的变化Fig.7 Variation of the dimensionless frequency f* with the reduced velocity Ur in the lock-in region under different coverage rates R

引起“双锁定”现象的原因与阶梯圆柱小直径段和大直径段的脱涡频率随折合流速增大依次与圆柱的振动频率锁定有关。众所周知，在TrSL区间(Re=103～105)内，圆柱的无量纲脱涡频率St(St=fsD/U≈0.2)近乎不变，在相同的流速下，圆柱的脱涡频率与圆柱的直径呈反比，直径越小，脱涡频率越高，反之亦然。对于阶梯圆柱，随着来流速度的增加，小直径段的泄涡频率首先与圆柱的固有频率接近，引起圆柱振幅增大，振动响应进入初始分支。此时，由于大直径段的脱涡频率较低，与固有频率相差较大，因此大直径段的脱涡不引起明显振动。随着流速的增大，振动响应进入小直径段的下端分支，此时小直径段的泄涡锁定在振动频率上。与此同时，大直径段的脱涡频率与圆柱的固有频率接近，引发大直径段的脱涡与振动之间的锁定。大小直径段的锁定同时发生，导致阶梯圆柱的振幅进一步增大。进一步增大流速，小直径段的脱涡与振动脱离锁定，而大直径段的振动进入下端分支，脱涡与振动保持锁定。此时阶梯圆柱的振幅开始减小，振动进入下端分支。再进一步增大流速，大小直径段的脱涡与振动均不锁定，阶梯圆柱的振幅很小，振动响应进入非锁定区间。以上过程可结合图8进行理解。

图8 阶梯圆柱涡激振动分支随流速U的变化Fig.8 Variation of VIV branches of step cylinder with velocity U

除此以外，我们还发现：对于阶梯圆柱，覆盖率R越高，第一锁定频率越低，第二锁定频率越高。这可归因于大直径段脱涡和涡激振动的影响;在第一锁定区间内，由于大直径段的脱涡频率较低，R越高时，大直径段越长，对阶梯圆柱振动频率的拉低效应越明显;在第二锁定区间，小直径段处于非锁定状态，而大直径段锁定。大直径段越长，阶梯圆柱的质量比越低，附加质量效应越明显，无量纲的锁定频率越高。此外，在第二锁定区间内，随着覆盖率的增加，阶梯圆柱的振动频率逐渐由R=0%工况(小直径均匀圆柱)向R=100%工况(大直径均匀圆柱)过渡。

3.2 直径比的影响

Vandiver等的研究表明，当覆盖率R较高时，大直径段主导阶梯圆柱的振动响应；反之，当R较低时，小直径段起主导作用。当R=50%时，大直径段和小直径段存在复杂的竞争关系。为了充分研究直径比对阶梯圆柱涡激振动的影响，本节选取R=50%的工况进行分析。图9给出了覆盖率R=50%不同直径比下(D/d=1.25，1.5，2)无量纲振幅和频率随折合流速的变化。对比可知，直径比对响应分支的影响主要体现在初始分支与过渡分支上，直径比D/d越大，初始分支越短，过渡分支越长。

图9 不同直径比D/d条件下无量纲振幅A*和 无量纲频率f*随折合流速Ur的变化Fig.9 Variation of the dimensionless amplitude A* and the dimensionless frequency f* with the reduced velocity Ur at different diameter ratios D/d

图10所示为锁定区间内不同直径比阶梯圆柱无量纲振动频率随折合流速的变化。对比可知，不同直径比工况下，阶梯圆柱的振动响应均呈现“双锁定”特性，并且随着直径比的增大，第一锁定频率小幅降低，而第二锁定频率则明显增加。其原因与覆盖率对锁定频率的影响类似，此处不再赘述。

图10 不同直径比D/d条件下锁定区间内 无量纲频率f*随折合流速Ur的变化Fig.10 Variation of the dimensionless frequency f* with reduced velocity Ur in the lock-in region at different diameter ratios D/d

3.3 阶梯圆柱涡激振动的受力特性

根据式(1)和式(2)，可计算阶梯圆柱在涡激振动中所受升力的大小。本节以试验组4和6为例，说明升力系数均方根CL,rms、无量纲振幅A*和无量纲频率f*随折合流速的变化，如图11所示。需要说明的是：试验组4的圆柱为D=24 mm，d=16 mm，R=50%的阶梯圆柱，试验组6的圆柱为D=24 mm的均匀圆柱。

图11 升力系数CL,rms、无量纲振幅A*和 无量纲频率f*随折合速度Ur的变化Fig.11 Variation of the lift coefficient CL,rms, the dimensionless amplitude A* and the dimensionless frequency f* with reduced velocity Ur

如图11(a)所示，均匀圆柱的CL,rms在初始分支迅速增加，在上端分支快速减小，最大值在初始分支和上端分支间之间取得。在下端分支，CL,rms较小，随着折合流速的增大而缓慢减小。上述与Khalak等的结论一致。

对于阶梯圆柱来说，与振动响应相对应，升力也呈现出类似的分支特性。如图11(b)所示，阶梯圆柱的CL,rms在初始分支快速增加；随着过渡分支的出现，CL,rms出现增长拐点(a点)，增长的斜率显著降低。在过渡分支上，CL,rms先缓增后快减，最大值在Ur=5处取得(b点)。在过渡分支和下端分支的交接处(c点)，CL,rms出现明显转折。在下端分支上，CL,rms缓慢降低，值较小。对比可知，阶梯圆柱所受升力随折合流速的变化规律在初始分支和下端分支上与均匀圆柱的相似。虽然阶梯圆柱的过渡分支和均匀圆柱的上端分支均处于初始分支和下端分支之间，但两者具有明显的差别。在过渡分支上，阶梯圆柱的小直径段处于下端分支，CL,rms随折合流速快速降低，而大直径段处于初始分支，CL,rms随折合流速快速增加。两种趋势相互作用，造成了CL,rms在过渡分支上先增后减的变化趋势。

4 结 论

本研究在天津大学流体力学试验室的低湍流度水槽中开展了均匀来流中弹性支撑阶梯圆柱的涡激振动试验，通过改变阶梯圆柱的覆盖率和直径比，讨论了其对振动响应、频率和升力的影响，得到的研究结论总结如下：

(1)覆盖率R和直径比D/d对阶梯圆柱涡激振动特性影响显著。当R=25%～75%时，阶梯圆柱的振动响应出现 “过渡分支”。在过渡分支上，阶梯圆柱的大、小直径段均处于锁定状态，但小直径段处于下端分支，而大直径段处于初始和上端分支。在过渡分支上，阶梯圆柱的振幅随折合流速的增大而增大，阶梯圆柱所受升力随折合流速的增大先增后减。随着覆盖率R和直径比D/d增加，过渡分支逐渐变宽，与此同时，初始分支逐渐收窄。

(2)发现了阶梯圆柱涡激振动“双锁定”现象。在锁定区间内，阶梯圆柱的振动频率随着折合流速的增加先后锁定在两个频率上，且第一锁定频率略低于第二锁定频率。第一锁定区间对应过渡分支，而第二锁定区间对应下端分支。随着覆盖率R和直径比D/d增加，第一锁定频率小幅降低，而第二锁定频率明显增加。

本研究仅对阶梯圆柱涡激振动的振动响应和受力特性进行了研究，发现了区别于均匀圆柱涡激振动的振动特性，并给出了初步的机理解释。然而，更深入地认识阶梯圆柱涡激振动的物理规律需要更进一步开展流动显示模型试验和数值模拟，对阶梯圆柱的尾涡结构以及尾流与柱体振动之间的相互作用进行研究。