“二次函数与面积总复习”教学实录与评析*

内江师范学院数学与信息科学学院 (641100) 程雪莲 赵思林四川省成都市石室中学 (610015) 李贤江

1 引言

二次函数与面积综合问题是初三数学总复习教学的重点内容，也是学生总复习和中考的难点.二次函数可以联系一次函数、反比例函数、方程、不等式、平面几何(含距离、角度、面积等)、最优化等知识或实际问题而形成有一定难度的面积综合问题，对学生灵活运用二次函数知识去分析和解决问题有一定帮助.对一堂初三“二次函数与面积总复习”教学观摩课作了实录，并介绍了一线教师和学科专家的评课.

2 课堂实录

让学生回顾已经学过的一次函数、反比例函数、二次函数的图象与性质，引入新课.

例已知二次函数的图象经过三点A(-1,0)、B(0,5)，C(2,9).

问题1 求过A、B、C三点的二次函数解析式.

师：我们可以怎样求二次函数的解析式？

生1：设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，然后将A、B、C三点的坐标代入，得到一个三元一次方程组，从而解得a=-1,b=4,c=5.故y=-x2+4x+5.

师：这里用了什么数学方法？

生1：待定系数法.

师：很好.解析式还有其他设法吗？(必要时提示：点B(0,5)的特点)

生2：由抛物线在y轴上的截距是5，所以可设其解析式为y=ax2+bx+5.以下从略.

问题2 求△ABC的面积.

师：求解思路是什么？

图1

生3：如图1所示，AC与y轴于点D，则S△ABC=S△ABD+S△DBC=BD·(CG+OA)÷2=BD·(|xA|+xC)÷2.因为BD的长度可以通过确定点D的坐标得到，所以可设直线AC的解析式为y=kx+b，将A、C的坐标代入后可求得y=3x+3，则点D的坐标为(0,3)，所以BD=|yB-yD|=2，故S△ABC=3.

师：还有没有其他方法？

师：非常好.这些方法总是要用到“割”“补”的思想方法，这是处理面积(体积)问题的通性通法.

评析：该问题是一个具有思维价值的问题，能激活学生思维的发散性，有利于培养学生的创新思维.老师的总结很必要、很到位.

问题3 在x轴上是否存在点K，使得B、C、K三点构成的三角形是直角三角形？如果存在，请算出这个三角形的面积；如果不存在，请说明理由.

生7：可以先假设点K存在，并设点K(a,0)，再利用勾股定理解答.

师：问题是没有明确哪一个角是直角，因此需要分类讨论.

图2

生8：如图2，可以分三种情况，再利用勾股定理：

(1)若∠CBK=90°，

BC2+BK2=CK2；

(2)若∠BCK=90°，

BC2+CK2=BK2；

(3)若∠BKC=90°，BE′2+CK2=BC2.

师：对.现在的问题是，如何用坐标把线段BC、BK、CK的长表示出来？(类比问题2的解答)

师：很好.解出来的答案是什么？

(3)无实数解.

评析：该问题的难处在于，需要先构造直角三角形，再用勾股定理，最后用坐标表示出两点之间的距离.

问题4 设抛物线与x轴的另一个交点为L，点Q在抛物线上且在直线BL上方.在对称轴上是否存在一点P，使得以B、L、P、Q为顶点构成一个平行四边形？如果存在，请求点P、Q的坐标，并求该平行四边形的面积；如果不存在，请说明理由.

生9：不存在.因为当BL∥PQ且BL=PQ时，四边形BLQP才是平行四边形.而点P在对称轴上，点Q抛物线上且在直线BL上方.因此，从图形观察可知，同时满足BL∥PQ且BL=PQ的情况不存在.

师：在这种情况下P、Q的确不存在.但还有没有其他可能的情况？比如，BL不是平行四边形的一边.

生10：当BL是BPLQ的对角线时，就有可能了.设P(2,m)，Q(n,-n2+4n+5)，可用平行四边形的对角线互相平分的性质解决.

图3

.

E

F

.

生11：观察发现，E′F′中点坐标是1.

师：还有没有其他方法？

图4

现在如何由中点O′的坐标来求点P、Q的坐标？

师：对.怎样求平行四边形的面积？

生11：可以以BP为底边，过点L向BP作垂线，从而得到BP边的高，不过高的长度不知道怎么求.

师：这个思路比较自然，但高就是点到直线的距离，我们现在还不容易求出来.这时需要同学们另外想办法方法.比如，可否尝试用问题2的思路即“割补”的方法解决呢？

师：对.这里我们再次体会到“割补”方法的巧妙.还需注意在分析时要善于分类讨论，并做到不重不漏.

图5

问题5 如图5，一次函数y=x+2的图象与抛物线交于T、R点，与x轴交于点W，与y轴交于点N.设点S是抛物线弧BR上的一点(不与B、R点重合)，设其横坐标为m，当m取何值时△WNS的面积取得最大值？并求出最大值.

师：这个最值问题怎样解决？

师：这思路很好.但WN边上高用什么方法求呢？

生14：没有.

图6

生15：如图6，可以过点S向x轴作垂线交直线TR于点S′，交x轴于点V，其中S′(m,m+2)，利用S△WNS=S△WSS′-S△NSS′可以求得.

师：△WSS′和△NSS′的面积如何求？

生15：以SS′为底，再找到△WSS′和△NSS′在SS′上的高即可.

师：如何找到SS′上的高？是否可以构造直角三角形？

师：这个题目虽较难，但只要善于采用“构造(直角三角形)”“数形结合”“割补”“面积变换”等思想方法，问题就会迎刃而解.因此，“构造”“割补”“数形结合”“面积变换”是解决二次函数与面积综合问题的几个关键词.

师：本课运用了哪些数学方法？运用了哪些数学思想？

生16：本课运用了观察法、待定系数法、割补法、假设法、反证法等数学基本方法，还用了数学结合、函数与方程、化归与转化、分类讨论等数学思想.

评析：归纳总结有利于开发元认知，有利于学生建构知识网络，提炼数学思想方法，促进数学思维的发展.

3 教学评价

初三复习课应以问题串为载体，体现问题性、综合性、探究性和衔接性.本课师生从问题出发，重视“四能”的培养，师生互动比较充分，学生思维活跃，是一堂成功的探究型复习课.一线教师和学科专家普遍认为本课具有以下特点：

问题性：基于“问题是数学的心脏，问题是教学的心脏，问题是学生学习的心脏[1]”和“问题是思维的土壤”，本课围绕“二次函数和面积”设置问题串，体现了“为问题而教”“为问题而学”“为问题解决而教”“为问题解决而学”的教学理念.问题串的解决需依托数学的核心知识和思想方法，问题之间层层递进，让学生思维经历“由浅到深”“由单一到发散”“由固定到开放”等思维过程.

综合性：综合性问题是学生发展“四能”和核心素养的重要载体.本课帮助学生比较系统地复习了一次函数和二次函数的性质、三角形、平行四边形等基础知识，学习了待定系数法、观察法、割补法、反证法等数学基本方法，运用和领会了数形结合、分类讨论、化归与转化、割补转化等数学思想.5个新颖的典型问题，对学生而言是没有做过的，问题的难度逐步加大，具有较好的区分度，能够使不同层次的学生在问题分析、问题探究与问题解决过程中得到不同的发展.综合情境才能培养学生的数学素养，发展学生的数学思维能力.

探究性：本课注重通过引导学生对一个个问题“抽丝剥茧”，探究如何构造垂线、构造直角三角形，灵活运用分割法求三角形、平行四边形的面积.问题2通过构造三角形，解决面积问题；问题3本身是一个非常典型的探究性问题，通过构造直角三角形、利用勾股定理，用坐标表示两点之间的距离；问题4意在引导学生初步学会探究线段的中点坐标公式；问题5是一个需要构造二次函数，并探究其最值的问题.

衔接性：培养学生的持续学习能力是初中数学教学的重要任务.本课探索的两点之间的距离公式、线段的中点坐标公式，既培养学生的全脑思维有好处(因为这两个公式的发现，需要学生直观的几何思维(右脑)与精确的代数思维(左脑)的结合与转换)，又有利于学生为高中数学学习打下良好基础.

需要说明的是，本课存在容量大、难度高的问题.本课适合安排2课时.问题3和问题4都有与高中解析几何接轨的意图，这是很好的，但要控制难度和运算量，否则让学生吃“夹生饭”就得不偿失了.这种初三复习综合课的设计与实施，需要教师提升MPCK素养和教研创新素养[2].