借助韦恩图直观理解事件的独立性

程明春

重庆市江津中学校 402260

在概率的学习中，如何判断和理解事件的独立性是一个难点.部分情况可以凭直觉去判断［1］，大多数时候则需要用概率关系去判断.但因为概率关系较抽象，使得学生对事件独立性的理解不够深刻，甚至出现了错误.本文借助韦恩图，让事件独立性直观地呈现出来，并借此去分析互斥事件与对立事件的关系，以及相互独立与两两独立的区别.

相互独立事件

定义［2］：对任意两个事件A与B，如果P（AB）=P（A）P（B）成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立.

反之，若事件A与B独立，即事件A发生与否不影响事件B发生的概率，我们将事件A发生的情况下事件B发生的概率记为，且设P（A）＞0，则P（B）=，即P（AB）=P（A）P（B）.

所以事件A与B相互独立⇔P（AB）=P（A）P（B）.

相互独立事件与互斥事件的关系

命题1：对于事件A与B，若P（A）＞0，P（B）＞0，则有：（1）若A与B独立，则A与B不互斥；（2）若A与B互斥，则A与B不独立.

证明：（1）若事件A 与B 独立，则P（AB）=P（A）P（B）＞0，故AB≠，所以A与B不互斥；（2）若A与B互斥，则AB=，所以P（AB）=0，又P（A）P（B）＞0，所以P（AB）≠P（A）P（B），即A与B不独立.

下面我们思考：如果事件A与B不互斥，那么A与B独立吗?

如图1所示，在韦恩图中，用SΩ，SA，SB，SAB分别表示事件Ω，A，B，AB的面积，于是可以用面积比来表示对应事件的概率.若Ω满足古典概型，则可以用样本点数量nΩ，nA，nB，nAB代替对应的面积.

图1

命题2：当P（A）＞0且P（B）＞0时，A与B独立，等价于A与B不互斥，且在样本空间Ω中事件A发生的概率与样本空间B中事件AB发生的概率相等，即

对立事件的两个易错点

1.将互斥事件理解为独立事件

例1一个袋子中有标号为1，2，3，4的四个球，除标号外没有其他差异.从中摸取一个球，设事件A=“摸到1号球”，B=“摸到2号球”.试分析A与B是否独立.

解析：容易错误地认为，在韦恩图（图2）中，表示事件A与事件B的区域不相交，故觉得它们是独立的.错因在于：A与B在韦恩图中不相交，描述的是在一次试验中A与B不能同时发生，即A与B是互斥关系；而A与B独立，描述的是A的发生与否不影响B发生的概率.在该例中，若A发生，则B必然不发生，即A的发生会影响B发生的概率，所以A与B不独立.

图2

2.将两个事件看成两个试验

例2一个袋子中有标号为1，2，3，4的四个球，除标号外没有其他差异.从中有放回地摸球两次，设事件A=“第一次摸到1号球”，B=“第二次摸到2号球”，试分析事件A与B的关系.

解析：有学生错误地将韦恩图绘制成图2的形式，发现事件A与B不相交，根据命题1，认为A与B不独立.错误的原因是事件A和事件B不是两个试验，而是一个试验的两个组成部分.即不能将事件A与B看成集合｛1，2，3，4｝的子集，而应该看成样本空间Ω=｛（x，y）x，y∈｛1，2，3，4｝｝的子集，其中（x，y）表示“第一次抽到x号球，第二次抽到y号球”.故其正确的韦恩图应画成图3的形式.从中可看出，事件A与B不互斥，且P（A）=，即事件A与B独立.

图3

事件A，B，C两两独立与P（ABC）=P（A）P（B）P（C）的关系

教材中提到：当三个事件A，B，C两两独立时，等式P（ABC）=P（A）P（B）P（C）一般不成立.用以下两个例子来说明该结论.

通过上面两个例子，可以看出事件A，B，C两两独立与P（ABC）=P（A）P（B）P（C）没有蕴含关系.下面结合韦恩图给予一种直观解释.

命题3：当P（A）＞0，P（B）＞0，P（C）＞0时，若事件A，B，C两两独立，则P（ABC）=P（A）P（B）P（C）等价于P（C）=P（CAB），等价于事件C与AB独立，等价于事件C在样本空间Ω中的概率与事件ABC在样本空间AB中的概率相等.

例3中，如图4所示，因为AB=｛（正，正）｝，ABC=｛（正，正）｝，所以P（CAB）=，即事件C与AB不独立，所以P（ABC）≠P（A）P（B）P（C）.

图4

图5

一般地，事件A，B，C两两独立是指P（AB）=P（A）P（B），P（BC）=P（B）P（C），P（AC）=P（A）P（C）；事件A，B，C相互独立是指A，B，C两两独立，且P（ABC）=P（A）P（B）P（C）.从上面的例子可以看出，三个事件两两独立不能推出它们是相互独立的.

数学上有很多较为抽象的概念，通过某种工具或者某种方法让其更直观地表达出来，有利于降低初学者学习概念的难度，有利于初学者理解概念的含义和本质，提高其学习数学的兴趣.