关注统计意义，重构百分数教学

○杨志宇

《义务教育数学课程标准（2022 年版）》将百分数由“数与代数”领域调整到“统计与概率”领域，具体的要求也随之发生变化。

内容要求：结合具体情境，探索百分数的意义，能解决与百分数有关的简单实际问题，感受百分数的统计意义。

学业要求：能在真实情境中理解百分数的统计意义，解决与百分数有关的简单问题。

在日常教学中如何让学生感悟百分数的统计意义？分数、倍和比也可以表达两个数量的倍数关系，为什么还要学习百分数呢？这些问题值得我们深思与探讨。

【教学回放1】

课件呈现软件安装程序进度（已安装14%）、衣服面料的成分（含棉量85%）。

师：你在哪里还见过这样的数呢？

（学生依据自己的生活经验，说生活中常见的百分数。）

师：像14%、85%、50%……这样的数叫做百分数。

师：百分数表示一个数是另一个数的百分之几。

师：谁能结合具体情境说一说这几个百分数分别表示什么意思呢？

【诊断分析】

百分数是两个数量倍数关系的表达，既可以表达确定数据，如软件安装进度、衣服面料的成分等，又可以表达随机事件，如套圈游戏中某学生的命中率、某城市雾霾天数所占比例等。用百分数表达两个数量的倍数关系时，既可以表示部分量与总量的关系，这时百分数小于或等于100%；也可以表示两个独立量的关系，这时百分数可以大于100%。上面教学案例中仅涉及了部分量与总量的关系，在教学中还应关注两个独立量的倍数关系的表达。除此之外，教学中我们往往忽略百分数对随机数据的表达，而这正是百分数统计意义的重要体现。

【教学重构】

课件呈现学生套圈游戏中李明和张强的套中次数，分别是9 次和5 次。

师：谁套圈的水平更高呢？

生：不知道他们套圈的总次数是不是相等，没有办法比较。

课件继续呈现李明和张强的套圈总次数，分别是20 次和10 次。

师：现在大家能判断谁套圈的水平更高了吗？

生：用套中的次数除以套圈的总次数，比较套中的次数占套圈总次数的几分之几就可以了。

师：王勇和刘杰的数据也有了，我们快来看看他们的表现吧。

课件呈现：王勇套了15 次，套中6 次；刘杰套了25 次，套中12 次。

师：他们四人谁的套圈水平更高呢？

生：需要先计算王勇和刘杰套中的次数占套圈总次数的几分之几，再比较。

生：把四个分数转化为同分母分数需要求20、10、15、25 的最小公倍数，这太麻烦了。

生：这是四名同学参加套圈游戏，如果更多同学参加套圈游戏，比较套圈水平的高低就更麻烦了。

课件呈现四人的命中率：李明45%，张强50%，王勇40%，刘杰48%。

师：现在你能看出谁的命中率高吗？

生：不仅能一眼看出张强的命中率最高，而且可以很方便地看出第二名至第四名分别是刘杰、李明、王勇。

师：如果再进行一轮套圈游戏，每个人套圈的总次数不变，他们的排名还会是这样吗？

生：可能会发生变化，每次套中的情况可能不同，但随着套圈次数越来越多，他们每个人的命中率会越来越稳定。

创设真实的生活情境，在解决数学问题的过程中激活学生已有的生活经验和知识经验。比较四名同学在套圈游戏中的命中率，让学生在学习分数的基础上继续学习百分数，感受分数与百分数的共性与区别，体会学习百分数的必要性。最后，教师引导学生思考：“如果再进行一轮套圈游戏，每个人套圈的总次数不变，他们的排名还会是这样吗？”使学生感受百分数对随机数据的刻画与表达，感悟百分数的统计意义，形成初步的数据意识。

上面的命中率是部分与整体的倍数关系的表达，在教学中还应关注百分数表达两个独立量之间倍数关系的作用。

课件呈现：杨老师家七月份用电量是六月份的（ ）。

师：括号中可以填80%、100%、120%中的哪个呢？

生：可能是120%。因为七月份天气炎热，使用空调的时间比较长，所以七月份用电量比六月份高。

生：也可能是80%。暑假期间杨老师可能会外出旅游，这样不在家的天数会比六月份多，所以也有可能是80%。

生：也可能是100%。这样的话，六、七月份的用电量就完全相等了。不过这种情况很少发生。

师：大家能够根据实际情况，合理运用百分数表达两个月用电量的关系。看起来你们已经100%学会了本节课的知识。老师还有一个问题，刚才套圈游戏中的命中率可以是100%吗？

生：可以。每次都套中，命中率就是100%。

师：命中率可能是120%吗？

生：不可能。因为套中的次数最多与套圈的总次数相等，所以命中率不会超过100%。

师：套圈的命中率不会超过100%，但七月份的用电量与六月份相比可以超过100%，这是怎么回事呢？

生：套中的次数是套圈总次数的一部分，不会超过套圈总次数，所以这种情况不会超过100%。

生：七月份用电量与六月份用电量不是部分与整体的关系，而是两个相互独立的量。如果七月份用电量超过六月份，那么七月份用电量和六月份相比就会超过100%。

生活中经常用百分数表达两个数量的倍数关系，这两个量既可以是部分量与总量，也可以是两个独立的量。在百分数学习中，既要创设小于或等于100%的数据，也要设计大于100%的数据，引导学生更加全面地认识百分数。

【教学回放2】

师：分数和百分数都可以表达两个数量的关系，分数与百分数有什么相同和不同之处呢？

生：分数和百分数都可以表示一个数是另一个数的几分之几，百分数在比较时更方便。

生：分数除了表示两个数的关系，还可以是一个具体的数。分数表示一个具体的数时可以带单位名称。百分数仅表示两个数的倍数关系，不能带单位名称。

师：这两个数能改写成百分数吗？

【诊断分析】

由于百分数和分数从意义上有相似之处，在日常教学中教师往往很重视分数与百分数的比较，分析它们的共性与差异。除此以外，倍、比等也可以表达两个数量的倍数关系，百分数的练习设计也应关注这些知识与百分数的关系，沟通知识之间的联系，构建知识网络。

【教学重构】

师：百分数能够表达两个数量的倍数关系。还有什么也可以表达两个数量的倍数关系呢？

生：倍、分数和比。

师：分数与百分数有什么相同和不同之处呢？

……

师：你能把下面的倍或比转化成用百分数表示吗？

课件呈现：某饭店周六的营业额是周五的2倍；一杯蜂蜜水中蜂蜜和水的比是1∶9。

生：某饭店周六的营业额是周五的2 倍。也可以说，某饭店周六的营业额是周五的200%。

生：一杯蜂蜜水中蜂蜜和水的比是1∶9。也可以说，蜂蜜占整杯蜂蜜水的10%。

师：既然倍、分数和比都可以表达两个数量的倍数关系，为什么还要学习百分数呢？

生：在进行数据比较时，百分数更方便。

在比较共性与差异的基础上，加深学生对百分数的理解，引导学生主动构建知识网络，用联系的观点学习数学知识。