利用数形结合求解不同类型的二次函数问题探索

顾 健

(江苏省海门市东洲国际学校，江苏海门,226100)

数形结合思想是数学学习中的重要思想方法，数与形的巧妙结合往往能使问题迎刃而解.诚如，著名数学家华罗庚所言：数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休.本文谈谈利用数形结合思想求解各种二次函数问题.

1 巧用数形结合求残缺型抛物线问题

“残缺型抛物线”是初中阶段常见的二次函数问题，考查难度不高，但需要同学们根据题目条件和图象发现正确的取值，本文所指的“残缺型抛物线”又叫不完整的抛物线.可以以抛物线的轴对称性和已知条件为依据获得解题思路，进而顺利求解.总的来说是根据已知条件表示出残缺的二次函数图象，再结合抛物线的特点解答相关问题.

图1

例1如图1所示，是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象经过点A(-3， 0)，x=-1是该函数的对称轴，且有以下四个结论：①b2>4ac；②2a+b=0；③a-b+c=0；④5a

A. ②④ B. ①④ C. ②③ D. ①③

思考：本题是要判断二次函数的三个系数之间的关系，已知函数的图象，根据图象的开口方向，图象与x轴的交点个数等判断三者之间的关系，进而得到正确答案.

解：由图象可得：图象顶点位于第二象限，且开口向下，

则抛物线一定和横坐标轴具有两个交点，

故Δ=b2-4ac>0成立，即①正确；

∵顶点位于第二象限，且已知x=-1时，a-b+c>0，∴③不正确；

∵抛物线的图象开口向下，∴a<0，

又∵b=2a，∴5a<2a，即5a

因此正确答案为B选项.

图2

练习1：如图2所示，是抛物线y=ax2+bx+c的一部分，其对称轴为直线x=1，若其与x轴一交点为B(3， 0)，则根据图象可得，不等式ax2+bx+c>0的解集是.

思考：本题依旧属于“……