从图形运动变化的视角,引领《全等三角形》复习

孙传银

(南京市第二十七初级中学，江苏南京，210000)

数学苏科版教材八年级上册第一章《全等三角形》教学，是初中图形教学的重要内容，承接了七年级下册学习的三角形的基础知识内容，也为后面进一步学习其他多边形及其他图形相关知识奠定了重要的知识基础，提供了学习模板和方法参考.本章的学习，无论是知识内容的学习，还是经验和方法的学习，都具有承上启下的重要意义.因此，除了带领学生熟练掌握本章知识内容，完成既定教学目标任务之外，教师还应注重学习方法的指导和学习经验的总结和积累.

为了及时做好学习的归纳和巩固，在学习完《全等三角形的性质》以及《全等三角形的条件》中一般三角形全等的判定之后，笔者尝试安排了一节阶段性复习课，带领学生从图形运动变化的视角，在图形的动态变化中，识别全等三角形，找出全等三角形的对应点、对应边、对应角.经过一次或两次平移、旋转、翻折运动变化之后的图形组合中学生在识别两个全等三角形，并掌握动态变化中全等三角形的相关定理的运用和问题的解决方法.

1 复习教学的策略

1.1 以课程标准为根本依据

《义务教育数学课程标准》对于《全等三角形》相关内容的学习要求是：理解全等三角形的概念，能识别全等三角形中的对应边、对应角；了解三角形的稳定性；掌握基本事实：两边及夹角分别相等的两个三角形全等；掌握基本事实：两角及夹边分别相等的两个三角形全等；证明定理：两角分别相等，且其中一角的对边相等的两个三角形全等；掌握基本事实：三边分别相等的两个三角形全等.体会通过合情推理探索数学结论、运用演绎推理加以证明的过程，在多种形式的数学活动中，发展合情推理与演绎推理的能力.在画图、观察、实验、猜想、交流、说理等数学活动中，初步建立空间观念，不断发展推理能力.

苏科版初中数学教材中，本章课程内容的设计思路是：在引导学生探索结论的过程中，把引导学生合情推理贯穿始终，以发展学生的合情推理能力；注重遵循小步骤、多层次的原则，由易到难、由浅入深地发展学生的演绎推理能力；注重合情推理、演绎推理以及与图形的运动的有机结合，这利于学生更好地发展空间观念.

1.2 从图形运动变化的视角观察图形，引领单元整体复习

在本章内容的新课教学中，学生已掌握了研究几何图形的一些基本思路：概念—性质—判定—特例—应用.本节课是一节阶段性复习课，笔者尝试以图形的运动为主轴，从图形运动变化的视角，构建整体复习架构的教学设计.这不但有利于学生从学习内容、研究思路和研究方法上，统一认识全等三角形，而且有利于实现以全新的视角对全等三角形进行再认识，发展学生的空间观念和几何直观.在结合图形运动变换的基础上，让学生认识和分析图形，对后期其它图形内容的学习，以及对其它图形相关学习方法的掌握，具有借鉴意义和示范性.

2 复习教学设计流程

活动1全等三角形的概念

通过活动1，复习全等三角形的概念：只要能够重合的两个三角形，就是全等三角形.是否全等，与摆放的位置、方向无关.活动1让学生再次感受到，仅仅形状相同，或者仅仅大小相同，都不是全等三角形.

活动2在图形的动态变换中，识别全等三角形

师：请大家拿出课前准备好的两个全等三角形，你能用它们拼出不同的图形组合来吗？在图形经历变换后，你能再指出其中的全等三角形，并准确说出全等三角形的对应顶点、对应边、对应角吗？

这个活动，是建立在活动1：认识全等三角形的基础之上进行的，是对全等三角形对应点、对应边、对应角认识的进一步提升.活动2，旨在让学生结合近几节课学习的经验或自由发挥想象，动手拼出不同的组合方案，在活动中进一步感受：全等三角形在经历平移、旋转、翻折动态变换中的一种或几种变换后仍然能够互相重合，仍是全等三角形.通过这个活动，帮助学生动态地识别全等三角形，在运动变化中认识全等三角形，确定对应点、对应边、对应角，为以后在具体情境中动态识别全等三角形及其对应元素打下基础.

从课堂上学生的反馈来看，思考很积极，没有了之前学习新课时的陌生感，非常踊跃，拼出了许多种图形组合，并积极地展示给大家，也拼搭出了前几节课堂中未曾出现过的一些图形组合.

以下是学生们展示出的一部分图例.

(1) (2)

(3) (4)

(5) (6)

(7) (8)

(9)

在同学们亲自动手操作，拼搭出全等三角形的组合后，笔者要求学生指出它们的对应点、对应边、对应角，并在图中用不同颜色标注对应边、对应角，进一步巩固、复习全等三角形的对应元素.同时，引导学生思考：每一组图形中的2个全等三角形是通过怎样的变换方式变成了这个图形组合.这不仅让学生能够认识静态的全等三角形，更能够在动态变化中识别出全等三角形及对应元素.接着，引导学生将这些全等图形组合按照变换的方式进行如下分类：

按平移变换得到的组合：(1).

按翻折变换得到的组合：(3)(7)(8)(9)，也可以说图形整体具有轴对称性.

按旋转变换得到的组合：(2)(4)(5)(6).

而其中，(4)也可以看成既有旋转变换，又有平移变换.

像这样，从动态的图形变换中识别全等三角形、识别对应元素，有利于学生后面进一步的深入学习.

活动3 全等三角形的性质定理及判定定理的运用

例1如图，点A、B、C、D在一条直线上，EA∥FB，EC∥FD，EA=FB.

求证:AB=CD．

例1是在平移变换中识别全等三角形及对应元素，并运用AAS判定定理证明全等三角形，同时，运用全等三角形的性质定理，得出对应边AC=BD，从而进一步可以说明其中对应的线段AB=CD.

例2如图，在四边形ADBC中，AD∥BC，AD=BC．

求证:AC∥BD．

在例2的教学中，应注重引导学生发现：图例中的两个三角形是经历了旋转变换拼合而成的，识别了旋转变换就更便于识别全等三角形和进一步识别两个三角形中的对应要素，从而轻松地确定证明三角形全等的判定方法，完成证明.

变式1如图，点E、F在CD上，且CF=DE，AC∥BD,AE∥BF.

① 求证:△AEC≌△BFD.

② 你还能证得其他新的结论吗？

在学生回答变式1前，可以适当对学生做一些引导.例如，该图形与例2中的图形是否有关？是在例2的基础上作了怎样的图形运动？通过这样的引导，可以帮助学生理解两个全等三角形旋转变换的实质，便于问题的解决.

变式2如图，AB、CD相交于点E，且E是AB、CD的中点．

求证：① △AEC≌△BED.②AC∥DB．

这里也可以对学生做类似的引导，如变式2与变式1图形是否有关联？另外，因为这个图形的特殊性，除了认为是在变式1基础上继续作平移之外，还可以认为这个图形组合是怎样运动变化而来的？

变式3点E、F在线段CD上，且CF=DE，∠B=∠A，AE∥BF，你能证明AC=BD吗？

变式3的图形，承袭了变式1的运动变化特点，继续将一个三角形平移.

在例2及各变式训练中，应注重引导学生发现：这几组图形都是先经历了动态旋转变换又经历了不同程度的平移变换而生成的.能够在动态中识别出全等三角形，便能较为轻松地找到两个三角形的对应要素，便于后一步分析问题、解决问题.具体说明过程中，分别使用到了SAS、ASA、AAS、SSS等定理判定三角形全等，并进一步运用全等三角形的性质得出全等三角形的对应边相等、对应角相等，进而还可以得出其它一些对应线段的关系.

例3如图，BE=CD，∠1=∠2，则

(1)AB=AC吗？ 为什么？

(2) 连接BC，图中还有其他全等三角形吗？请说明理由.

教学中首先应引导学生思考：这个图形给我们怎样的感觉？学生很快会联想到轴对称，很自然也就联系到了前面说到的图形的翻折变换，再联系到前面我们分析过的图形组合，这就在很大程度上帮助学生把这样一个复杂的图形分解成我们想找到的两个三角形.

而这里的问题(1)，要证明结论AB=AC，应该首先分析AB、AC是哪两个三角形的对应元素？可以证明哪两个三角形全等？从而倒推证明三角形全等需要什么样的条件.通过这样倒序的分析，得出应由已知的∠1=∠2，得出它们的邻补角也相等，即∠ADC和∠AEB相等.显然，这里应注重引导，让学生感受到两个三角形所构成的图形具有轴对称性，也就是它们是翻折运动变化的结果.以此帮助学生在翻折变换的图形中找到主体对象，便于从研究的图形入手，发现解决问题的方法.

问题(2)中，连接BC后，所得图形仍然具有轴对称性.除了原来的图形外，学生还可从中分解出其它的也具有轴对称性的图形组合，同样能够感受到一个三角形翻折变化后的更多不同组合，从而找到全等的三角形.

显然，在问题的分析过程中，从图形动态变化的视角，认识全等三角形的运动变化，熟悉图形的运动变换后的不同组合，可以为我们之后进一步分析问题、解决问题带来很大的帮助.这也可以为学生在以后更进一步、更深层次地研究图形带来帮助.

3 教学思考

本节课中，学生通过亲身经历的操作活动，感受运动变化，详细分析并深刻认识到在平移、翻折、旋转与全等运动变化之间的诸多内在逻辑关系，从而更准确地识别全等三角形的对应点、对应边和对应角，而后运用全等三角形的性质定理和判定定理，建立逻辑体系，发展和提高合情推理与演绎推理的能力.

在平时的新课教学中，可以逐步引导和带领学生不孤立地看待图形，从一个个单独的图形中，分析出其中所包含的运动变化或者是多种图形动态变换的组合，从图形的平移、旋转、翻折的动态变化的视角，把常见的图形作一些分类，以带领学生从更高层面认识这些图形，找到图形和图形运动变化之间的联系.

在初中阶段，图形的平移、翻折和旋转，这些图形的运动变化是发展学生空间观念的重要抓手，也是研究图形的基本方法，是发现和构造不变量和不变关系的重要途径.在关注内在联系的基础上，引领学生细心观察，深入思考，不断培养学生的图形观和运动视觉，从而提高分析问题、解决问题的能力.