数轴与有理数相关概念的联系

文／姜国生

数轴是一种重要的工具，尽显数形结合的魅力。数轴与有理数的相关概念有着广泛联系，有的同学可能还不清楚，下面我们来做一些简单梳理。

联系之一：任何一个有理数都可以在数轴上找到唯一的一个点与之对应

例1 （1）画出数轴并标出表示下列各数的点：-1，-3.5，2，0.5。

（2）如图1所示，根据数轴上各点的位置，写出它们所表示的数。

图1

【解析】（1）依据题意，我们可建立如图2 所示的数轴。在数轴上分别标出表示-3.5，-1，0.5，2的点。

图2

任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示，但是，数轴上的任何一个点则不一定表示一个有理数。这个问题我们以后会接触到。

联系之二：利用数轴可以更充分地理解相反数

例2 若A、B两点表示的数是相反数，且这两点相距8个单位长度，请在数轴上标出A、B两点，并指出A、B两点所表示的数。

【解析】因为A、B两点表示的数是相反数，且这两点相距8个单位长度，而表示相反数的两个数的绝对值相等、符号相反，所以点A和点B到原点的距离相等且距离都等于4 个单位长度，由此我们就可以在数轴上标出A、B两点了。如图3 所示，A、B两点所表示的数分别是-4和4，或4和-4。

图3

互为相反数的两个数在数轴上对应的点分别在原点的两旁，并且这两个数到原点的距离相等。可见，互为相反数的两个数总是成对出现的。

联系之三：利用数轴可以说明绝对值的几何意义

例3 有两个点，它们到原点的距离分别是2 和3，请问，这两点之间的距离是多少？并说明理由。

【解析】设点A到原点的距离为2，点B到原点的距离为3。若这两点在原点同侧，如图4、图5，则|OA|=2，|OB|=3，所以|AB|=1；若这两点在原点两侧，如图6、图7，则|OA|=2，|OB|=3，所以|AB|=5。

图4

图5

图6

图7

所以，这两点之间的距离是1或5。

绝对值的几何意义可以由数轴直接知道：数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离，记作 |a|。

联系之四：借助数轴可以比较有理数的大小

图8

在数轴上表示两个数，右边的数总比左边的数大。