基于综合难度模型的高考数学试题评析
——以2020-2022年新高考I卷为例

杨正朝， 吴京霖， 王宽明

(贵州师范大学 数学科学学院， 贵州 贵阳 550025)

0 引言

教育部于2018年颁发了《普通高中数学课程标准(2017年版)》(以下简称“课标”)，这为培养学生数学核心素养、落实立德树人目标提供现实依据.高考作为我国选拔人才的依据，是最具权威、说服力和引领价值的教育评价.2019年，《国务院办公厅关于新时代推进普通高中育人方式改革的指导意见》强调科学设置试题难度，命题要符合相应学业质量标准，体现不同考试功能[1].就试题难度而言，不仅一线教师和教育研究者颇为关注，亦是公众关注的热点话题.

而刻画试题难度的主要形式就是难度模型.近年来，难度模型是数学教育领域的一个热点议题.2002年，鲍建生[2]首先提出数学课程综合难度的概念，在此基础上构建综合难度模型，并用于中英两国初中数学期望课程的对比和分析.2018年，武小鹏等[3]对鲍建生课程难度的综合难度模型进行改良，以便测量试题难度，并将之用于测试中韩两国高考试题的难度差异.王亚妮等[4]基于王建磐、鲍建生的难度模型，从八个难度因素对2020年四套高考卷进行分析对比.由此可见，近年来对试题综合难度模型的研究可谓是如火如荼，俨然成为了数学教育界研究的焦点话题.

自课标颁布以来，2020年首次实行新高考全国统一命题，其从题型和试题形式上做出了重大改变，如增设多选题、设计结构不良题等，体现了鲜明的命题特色.新高考在考试内容改革、题型创新、试卷结构改革以及科学调控难度等方面进行了积极探索[5]，在全面贯彻课标要求的基础上，更新评价理念，落实立德树人根本任务.

1 研究设计

1.1 研究对象

2022年是新高考全国卷启用的第三年，供福建、广东、河北、湖北等省份使用.随着时间的推移，会有越来越多的省份加入新高考的队伍.因此，研究以2020-2022年三套新高考数学I卷(以下简称“2020年I卷、2021年I卷、2022年I卷”)为对象，通过深入探究三套试卷的综合难度，以期为高考数学教学和命题提供参考.

1.2 研究框架

研究基于武小鹏高考试题综合难度模型[3]，该模型共提出了7个难度因素，每个难度因素又划分为四个水平，依次赋值1、2、3、4，具体水平特征及赋值情况如表1所示.

表1 试题综合难度特征及赋值

根据表1框架，对试题难度因素进行水平划分及赋值，所得数据带入公式(1)，计算各因素的难度系数

(1)

其中nij表示第i维度、第j水平的题目个数，dij表示第i维度、第j水平的权重，n表示题目总数.整套试卷的综合难度系数等于各因素综合难度系数的加权平均

(2)

其中ki为各因素的权重.研究基于武小鹏的难度因素权重值：ki=(0.40，1.20，0.83，2.50，0.40，0.83，0.83)，对三套试卷的综合难度进行计算[6].

1.3 示例分析

A.13 B.12 C.9 D.6

【难度水平分析】该题编码为：A1无背景(以纯数学知识呈现)，B1无参数(不含有相关参数变量)，C1简单数值运算(只涉及加、减、乘、除等数值运算)，D1简单推理(包含3步：一是求出椭圆的a，二是运用椭圆定义，三是利用基本不等式求解)，E2两个知识点(包括椭圆知识、基本不等式)，F1顺向思维(按照题设条件直接求解问题)，G2运用(用已学的基本不等式内容解决问题).

2 研究结果

按照表1中对试题难度水平编码的划分标准，对2020-2022年新高考数学I卷三套试卷试题进行逐一赋值，通过统计分析，得出表2数据，并绘制出折线图.

表2 2020-2022年新高考数学I卷难度分析

2.1 背景因素分析

图1展示了三套试卷背景因素的分布情况.由图1可知，在无背景考查上，2022年I卷比重最高，为90.91%；其次是2021年I卷，为86.36%；最后是2020年I卷，是68.18%.从侧面反映了2020年Ⅰ卷涉及有背景水平(生活背景、科学背景)考查最高，达到31.82%；其次是2021年Ⅰ卷，为13.63%；2022年I卷最低，为9.10%.可以看出，新高考I卷在背景因素考查上，比重在减少.

图1 背景因素不同水平变化

2.2 参数因素分析

由图2可知，在有参数考查上，2021年I卷占比最高，达到50.00%；其次是2020年I卷，占比45.45%；最后是2022年I卷，只有36.36%.

图2 参数因素不同水平变化

2.3 运算水平分析

由图3可知，三套试卷对于四个运算水平的考查都很全面，均有所涉及，但是各自侧重点不同.在简单数值运算上，2020年I卷和2021年I卷保持一致，都是31.82%，而2022年I卷则为18.18%；在复杂数值运算上，2022年I卷>2020年I卷>2021年I卷；在简单符号运算上，2020年I卷最高，为36.36%，而2021年与2022年I卷相对较低，均为27.27%；在复杂符号运算上，2022年I卷达到了31.82%，其次是2021年I卷，反观2020年I卷仅有13.64%.从整体来看，2022年I卷更强调考查学生的高阶运算能力，这在一定程度上反映了该套试卷的运算难度较大.

图3 运算因素不同水平变化

2.4 推理能力分析

试题关于推理能力可分为简单推理和复杂推理.从图4可知，相比2020年I卷，2021年和2022年I卷在试题推理能力要求上，得到了增强，都由50.00%上升到了63.64%.

图4 推理能力不同水平变化

2.5 知识含量分析

由图5可看出，三套试卷对知识含量的各水平考查都比较全面，而且各具特色.2021年I卷强调单个知识点的考查，占比为31.82%，2020年I卷重点考查两个知识点，而2022年I卷则强调三个知识点以上的考查.从侧面反映了2022年I卷对学生的综合分析能力要求更高，试题难度相对高一些.

图5 知识含量不同水平变化

2.6 思维方向分析

由图6可知，2020年Ⅰ卷和2021年Ⅰ卷在顺向和逆向思维水平上是一致的，顺向和逆向思维各自占比为81.82%、18.18%，而2022年I卷则增加了逆向思维的比重，体现了对学生发散思维的考查.

图6 思维方向不同水平变化

2.7 认知水平分析

图7体现认知因素在不同水平的变化情况.由图7可知，三套试卷对认知因素的三个水平考查都面面俱到.其中，在理解水平上，2020年和2021年Ⅰ卷均为22.73%，而2022年I卷相对较低，为18.18%；在运用水平上，由高到低依次为：2021年I卷、2020年I卷、2022年I卷；在分析水平上，2022年I卷高达45.45%，其次是2020年I卷(31.82%)、2021年I卷(27.27%).认知水平强调考查学生挖掘隐含条件，并深入分析和综合应用题目条件进行求解的能力，2022年I卷在高阶认知水平考查比重较高，体现了其试题复杂程度高.

图7 认知因素不同水平变化

2.8 综合难度分析

为了更好地表现各套试卷整体难度，研究结合各难度因素权重值ki和综合难度系数计算公式(2)，得出试卷综合难度系数(见表3).基于此，量化绘制出雷达图，以便直观地了解新高考I卷的总体难度情况(见图8).

图8 三套试卷的不同难度因素雷达图

表3 数学Ⅰ卷综合难度系数

依据表3，从试卷的综合难度来看，三套试卷分别为：11.53，11.93，12.29，可知它们之间的难度由高到低排序为：2022年Ⅰ卷、2021年I卷、2020年Ⅰ卷，由于影响试题难度的因素不止上述7个，所以上述难度高低仅供参考.

由图8可知，三套试卷在难度因素上可划分为三个梯度：一是运算水平、知识含量和认知水平，其难度系数均在2.00以上，考查难度较高，从根本上符合课标要求；二是参数因素和推理能力，二者难度系数都在1.50左右；三是背景因素和思维方向，难度系数都偏低，一定量的情境引入和思维考查，能够优化试题结构和形式.除了2020年I卷背景因素以及2022年I卷运算水平的起伏较大以外，从整体来看，高考在试题难度上保持了一定的稳定性和一致性.

3 研究结论

3.1 对比2020年，近两年对“背景因素”的考查有所下滑

近年来，对数学文化的研究已经成为焦点，而背景因素的考查实则是数学文化与数学问题的融合，将数学文化融入学习内容中，能够开拓学生数学视野，激发学习兴趣和好奇心，培育科学精神[7].可见，在高考试题中增设背景因素的考查，是顺应时代要求.

根据上述研究，2021、2022年Ⅰ卷在背景因素考查中，涉及生活背景和科学背景的题目明显低于2020年Ⅰ卷，考查比重有所下滑，背景因素即课标要求的情境.2020年Ⅰ卷试题中，包含较多的实际生活和科学背景，例如，2020年新高考I卷中日晷的几何问题、新冠肺炎疫情感染的指数模型问题、中学实习劳动中的几何问题、环境保护中的统计问题等，情境丰富多样，不仅与学生现实生活有关，而且与学生熟知的科学知识相关.TIMSS和PISA等学业测评中，也极为看重情境设置的测评地位，而且将问题与情境看作评价测试的重要组成部分[8].重视高考数学试题与现实生活、生产劳动、科学技术等情境相结合，能够让数学更加接地气，符合学生实际生活现状，增强学生“学以致用”的意识.《国务院关于深化考试招生制度改革的实施意见》中明确指出，要“着重考查学生独立思考和运用所学知识分析问题、解决问题的能力”[9].因此，在未来，新高考应适度在背景因素上增加考查力度，以提高学生应用数学知识解决实际问题的能力.

3.2 试题加强了数学运算能力的考查

从20世纪60年代“三大能力”(计算能力、逻辑推理能力和空间想象能力)到六大数学核心素养，数学运算不仅是数学教育界的热点话题，而且与个人生活实际息息相关.通过上述分析，能够看到，新高考I卷加强了数学运算能力的考查，尤其是2022年I卷，其运算内容多以高阶的复杂运算为主，运算量较大，使得司空见惯的试题类型，变得愈加困难，印证了高考是在与时间赛跑，良好的数学运算是获取高分的重要保障.如2022年I卷第7题，考查学生构造函数能力，对题干数值进行大小比较，需要学生具备良好的运算和推理能力；还有第21题，第一问求解直线方程的斜率，试题本身难度一般，但是运算量极大，已经可以当作第二问来看待，考查学生牢固的运算基本功.

3.3 在试卷综合难度上，学生需具备综合解决问题的能力

由试卷难度因素表，不难发现，在试卷难度上，2020-2022年I卷呈现逐年递增的趋势，其中2022年I卷难度最大，难度系数达到了12.29.如果说2020年I卷难度偏低，主要原因在于2020年是第一次命制新高考全国卷，侧重基础知识考查，难度相对较低，主要考虑到学生对于新高考较为陌生，那么2022年I卷则是新高考命题从摸索走向成熟的体现.从2022年I卷难度因素变化来看，其运算水平、知识含量以及认知水平的变化尤为明显，具有鲜明的命题特征，这从侧面体现了命题着重考查学生综合解决问题的能力，诠释了高考对学生的考查应是全方位、多角度的，突出人才选拔的优势，使试题更具区分效果.

4 反思及建议

通过上述研究，能够清晰地发现，新高考I卷的试题命制已从最开始的稚嫩走向成熟，并形成一套别具特色的命题机制.对此，为了更好地落实高考教学和命题，提出以下几点建议.

首先，夯实基础，优化知识结构体系.课标强调“四基”培养，重视基础知识和基本技能的习得，这是学生走入社会所必备的，对此，在教学实际中，教师要关注基础知识的讲授，学生要打牢基本功，正所谓“不积跬步，无以至千里”，要重视一点一滴的养成.优化知识结构体系势在必行，学生对知识的理解无法深入，往往取决于知识结构的不完整，教师应该充当引路人，为学生构建完整的知识体系，厘清知识误区.

其次，重视学生数学核心素养的培养.数学核心素养是学生必备的关键能力和必备品格，是进入社会和终身发展的基石，高考作为检测学生能力的试金石，在落实核心素养考查上，肩负着重要的责任，试题应基于数学核心素养命制，因此，在教学中，教师要着重提升学生的数学素养，尤其是数学运算和逻辑推理素养，二者是高考命题的主心骨.

最后，合理规划试题难度.高考作为检测学生学业水平的关键，试题过难，亦或是过易，都无法体现人才选拔的目的.因此，高考命制要结合地区经济发展和教育水平，也可征集社会需求，合理规划试题难度，使其更具说服力.