对一道2022年全国高考试题的探究与思考

张 鹄

(湖北省武汉市第二中学 430010)

孔 峰

(湖北省武汉市教育科学研究院 430022)

2022年高考数学全国乙卷理科第21题是一道函数与导数的压轴题．题设中函数结构简洁明了，是由基本的指数函数与对数函数模型整合而成；设问内容更是司空见惯，是师生常见的切线方程求解和已知零点个数求参数的问题类型．为此，笔者就该题的解答情况对即将进入新高三的学生进行了问卷，发现大部分学生对第(2)问不知从何处入手分析．这让笔者在思考，如何帮助学生透过试题表象找准切入点，进而对“冰冷美丽”的试题进行一番“火热”的思考．下面，以美籍匈牙利裔著名数学家波利亚的“怎样解题”表为指引，开启我们的探究思考过程．

1 基于“怎样解题”表的试题探究

1.1 理解题目

题目1已知函数f(x)=ln(1+x)+axe-x，其中a∈R．

(1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；

(2)若f(x)在区间(-1,0)和(0,+∞)内各恰有一个零点，求a的取值范围．

问题1题目1第(2)题是一个什么问题？

预设 这是已知函数零点个数求参数范围的问题．

问题2条件是什么？

预设f(x)在(-1,0)和(0,+∞)内各有一个零点．

1.2 拟定方案

问题3你以前见过它吗？或者你见过以稍有不同的形式呈现的类似题目吗？你知道与它有关的题目吗？

预设 我们见过一道与它类似的题目，即2017年新高考全国Ⅰ卷理科第21题：

题目2已知函数f(x)=ae2x+(a-2)ex-x．

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)若函数f(x)有两个零点，求a的取值范围．

问题4题目2的第(2)题与题目1的第(2)题有关，你能利用题目2的求解方法解答题目1的问题吗？

预设 形式上类似．不过，题目1限定了零点存在的区间，即两个断开的区间．