基于三维虚土桩模型的大直径桩纵向振动研究

孟坤 崔春义 王本龙 李静波 王坤鹏

摘要：為分析大直径浮承桩纵向振动特性，基于黏弹性连续介质理论同时考虑桩身和桩底土的三维波动效应，提出了一种三维虚土桩模型.首先，采用拉普拉斯变换和分离变量法求解得到桩身和桩底虚土桩的位移基本解；然后，结合桩-土及桩-虚土桩完全耦合条件，推导得出大直径桩桩顶动力阻抗解析解，并通过与已有解答对比分析验证了推导所得解析解的合理性和准确性；最后，利用数值算例分析了桩顶径向位置及三维虚土桩参数对大直径浮承桩桩顶动力阻抗的影响.计算结果表明：大直径桩顶动刚度和动阻尼呈现由桩中心向桩边缘减小的趋势，且桩长径比越小桩顶动力阻抗的这种径向不均匀性越明显；对于大直径桩忽略桩身径向波动效应会过高估计桩顶动力阻抗的振幅和频率，不利于桩基抗振防振设计；三维虚士桩模型不仅对于大直径浮承桩纵向振动问题具有更好的适用性，而且可以通过调整虚土桩参数将其应用于端承桩动力特性分析中.

关键词：大直径桩；纵向振动；连续介质理论；三维虚土桩；解析解

中图分类号：TU473文献标志码：A

Study on Vertical Vibration of Large Diameter Pile Based on Three-dimensional Fictitious Soil Pile Model

MENG Kun1，2，CUI Chunyi2，WANG Benlong2，LI Jingbo2，WANG Kunpeng2

（1. College of Transportation，Shandong University of Science and Technology，Qingdao 266590，China；2. College of Transportation Engineering，Dalian Maritime University，Dalian 116026，China）

Abstract：To investigate the vertical vibration characteristic of a large-diameter floating pile，a threedimensional fictitious soil pile model （TFSP）is presented by introducing a three-dimensional visco-elastic continuum theory and considering the three-dimensional wave propagation effect of the pile and pile end soil. First，the fundamental solutions of pile shaft and fictitious soil pile are derived by using Laplace transform and variables separation methods. Then，combining the compatibility conditions at the interfaces of pile-soil and pile-TFSP，the analytical solution of dynamic impedance at the head of a large-diameter pile is obtained. The rationality and accuracy of the proposed model and corresponding analytical solutions are verified by comparing them with existing research.Finally，the numerical examples are performed to investigate the effect of the radial location of the pile cross-section and parameters of TFSP on the dynamic impedance of a large-diameter floating pile. The results indicate that the dynamic stiffness and damping of the pile head decrease from the pile center to the pile edge，and the smaller the length diameter ratio of the pile，the more obvious the radial heterogeneity of the dynamic impedance of the pile. For large-diameter piles，ignoring the radial wave effect of the pile shaft can overestimate the amplitude and frequency of the dynamic impedance at the pile head，which is not conducive to the anti-vibration design of' the pile shaft. The proposed three-dimensional fictitious soil pile model not only has better applicability for the vertical vibration of the large-diameter floating pile but also can be used to analyze the dynamic characteristics of the end-bearing pile by adjusting the parameters of' the fictitious soil pile.

Key words：large-diameter pile；vertical vibration；continuum theory；three-dimensional fictitious soil pile；analytical solution

随着社会经济的全面发展，现代建筑及各类基础设施呈现大型化和复杂化趋势，其对基础的承载和变形要求也随之提高，桩基作为一种承载力高、抗变形能力强的基础形式得到更为普遍的应用.桩基除了承受上部结构传递的静荷载外，还会受到诸如交通、机械振动等纵向动荷载作用，而桩-土纵向振动理论作为桩基抗振防振设计的基础，受到国内外学者的广泛关注[1-3].

桩-土纵向振动理论模型主要由三部分组成，即桩侧土、桩底土和桩身，已有研究多围绕桩侧土和桩底土模型的改进展开[4].桩侧土模型由简化的Winkler模型[5]，到可考虑径向波动效应的Novak平面应变模型[6]，再到可进一步考虑竖向波动效应的三维连续介质模型[7]，发展已趋于完善.桩底土模型作为界定浮承桩和端承桩的关键，近年来受到越来越多的关注.对于端承桩，采用桩端固定模型即可很好地分析其纵向振动特性[8]；而对于浮承桩，桩底土模型的合理性则会对计算结果产生较大影响[9].Kelvin- Voigt模型[10]是针对浮承桩纵向振动问题应用最为普遍的一种桩底土模型，但其作为一种离散的弹簧- 阻尼器模型无法考虑桩底土波动效应的影响.因此，Muki等[11]和Zheng等[12]将弹性半空间模型引入桩- 土纵向耦合振动分析中，探讨了桩底土波动效应对桩基纵向动力响应的影响.然而，弹性半空间模型仅适用于桩底基岩埋深无限大的情况，鉴于此，杨冬英等[13]和吴文兵等[14]通过将桩底土假设为与桩基等直径的圆柱体提出了一种理论上更为严格的虚土桩模型，该模型既考虑了桩底土波动效应的影响，又不受桩底基岩埋深的限制.

上述研究中，桩身模型均采用基于平面应变假定的Euler-Bernoulli杆模型，该模型对于细长桩纵向振动问题具有很好的适用性.然而，随着上部结构对基础承载力要求的不断提高，桩身直径也随之加大，这样，平截面假定对于此类大直径桩将不再适用[15].吕述晖等[16]和李振亚等[17]通过在桩身一维波动方程中引入泊松比项，考虑桩身横向惯性效应的影响，提出了一种可应用于大直径桩纵向振动问题的Rayleigh-Love模型.然而，Rayleigh-Love模型实际意义上仍是一种一维模型，无法考虑桩身径向波动效应的影响.鉴于此，杨骁等[18]将桩底考虑为固定端，基于连续介质理论建立了三维桩身模型，分析了桩身径向波动效应对端承桩纵向振动特性的影响. 在此基础上，孟坤等[19]进一步利用Kelvin-Voigt模型考虑桩底土对桩的支撑作用，对大直径浮承桩的纵向振动特性进行了分析.

综上所述，在利用桩身三维模型分析大直径桩纵向振动特性的研究中，浮承桩桩底土采用了简化的Kelvin-Voigt模型，无法合理考虑桩底土波动效应的影响.鉴于此，本文基于三维黏弹性连续介质理论，将桩底一维虚土桩模型拓展到三维情况，提出一种可同时考虑桩身和桩底土径向波动效应的三维虚土桩模型.利用拉普拉斯变换和分离变量法，并结合桩-土完全耦合条件，推导得出大直径浮承桩桩顶动力阻抗解析解，进而分析桩顶径向位置及三维虚土桩参数对桩顶动力阻抗的影响规律，所得相关解析解及分析结果可为实际工程中大直径浮承桩的动力设计及现场桩基完整性检测提供理论指导.

1定解问题

1.1简化力学模型

基于三维虚土桩模型的大直径黏弹性桩简化力学模型，如图1所示.大直径桩力学性质采用三维黏弹性连续介质描述，桩侧土和桩底土简化为相互独立的薄层，桩底半径范围内的土体考虑为与桩等截面的三维虚土桩.大直径桩桩长和半径分别为H^P和r₀，三维虚土桩桩长（即桩底土层厚度）为H^FP，基岩上土层总厚度为H.桩顶激振力p（t）均布在半径为r_h的圆形区域内，具体形式如式（1）（2）所示：

式中：Q为激振力幅值；T为脉冲宽度；h为阶跃函数.

本文解析模型基于桩与桩侧土、虚土桩与桩底土以及桩与虚土桩界面完全耦合假定，适用于小变形的振动和波动问题，具体的应用场景包括：1）桩基础结构物抗振防振设计，如大直径浮承桩桩顶动力阻抗计算及影响因素分析；2）低应变反射波法检测桩基完整性，如大直径桩浮承桩桩顶不同位置处速度反射波曲线变化规律对桩基完整性判别的影响.

1.2控制方程

基于Novak平面应變理论建立土体纵向振动控制方程：

大直径桩和三维虚土桩的控制方程则可根据三维黏弹性连续介质模型理论建立：

1.3边界条件

1）土体边界条件.

径向无穷远处土体位移为零：

2）桩边界条件.

大直径桩桩顶作用均布激振力p（t）：

虚土桩桩底位移为零：

桩和虚土桩桩中心处位移为有限值：

桩与虚土桩界面位移、应力耦合条件：

3）桩-土界面耦合条件.

为桩、桩侧土、虚土桩和桩底土的切应力.

2定解问题求解

对桩-土耦合纵向振动控制方程式（3）～（5）进行拉普拉斯变换后可得：

2.1土体振动求解

方程（15）的位移基本解为：

2.2桩-虚土桩振动求解

2.2.1位移基本解

利用分离变量法，令U^P=Z^P（z）·R^P（r），U^FP=Z^FP（z）·R^FP（r），并将其分别代入式（16）和式（17）可得：

进一步地，式（21）和式（22）可分解为常微分方程：

根据式（21）和式（22）可知，α^P和β^P、α^FP和β^FP分别满足关系式（25）（26）：

方程（23）和（24）的基本解为：

式中：C^P、D^P、E^P、F^P、C^FP、D^FP、E^FP和F^FP为待定系数.

将式（27）和式（28）分别代入边界条件式（9）和（10）可得E^P=E^FP=0，因此樁和虚土桩的位移可表示为：

2.2.2振动模态特征值

根据式（29）和（30），可以得到桩和虚土桩的正应力和剪应力表达式：

根据桩-土界面耦合条件，当j=1时将式（19）（29）（20）（32）代入式（13）后可得：

当j=2时将式（19）（30）（20）（34）代入式（14）后可得：

分别联立式（35）～（38）后可得：

根据叠加原理可得桩和虚土桩位移解为：

2.2.3待定系数求解

将式（41）和式（42）分别代入边界条件式（7）和

式中：P（ω）为p（t）的拉氏变换.

根据贝塞尔函数性质可知其具有如下正交性：

式中：

此外，考虑桩与虚土桩界面的耦合条件，将式（41）和（42）代入边界条件式（11）和（12）后可得：

联立式（47）～（50）可求解得到大直径桩位移解

待定系数的具体形式：

式（8）后可得：

2.2.4桩顶动力阻抗

将待定系数代入式（41）可得大直径桩桩顶（z=0）纵向振动位移频响函数：

桩顶动力阻抗则可进一步表示为：

桩顶动力阻抗为复数，其实部代表动刚度，虚部代表动阻尼，具体可表示为：

K_d=K_r+iK_i（55）

根据式（53）可进一步得到桩顶速度频域和时域解：

V^P（z，r，ω）=iωU^P（z，r，ω）（56）

v^P（z，r，t）=IFT［iωU^P（z，r，ω）］（57）

式中：V^p和v^p分别为桩顶速度频域解析解和时域半解析解；IFT为傅里叶逆变换.

3模型验证及参数化分析

在应用本文方法对大直径浮承桩进行抗振防振设计及对桩身完整性进行评价时，桩长、桩径、桩身密度、弹性模量、土体密度、剪切模量等可通过现场或室内试验测量的参数，根据实际工程情况取值；泊松比、材料阻尼等无法实测的参数，可参照已有相关研究取值［21］.

3.1模型验证

3.1.1本文解与已有解退化验证

为更合理地考虑桩底土波动效应的影响，吴文兵等[14]将桩和桩底土简化为Euler-Bernoulli杆，提出了一维虚土桩模型，探讨了虚土桩参数对浮承桩纵向振动特性的影响规律.Liu等[20]将桩底考虑为周端支撑，基于三维波动理论建立了大直径端承桩纵向振动理论模型，并基于此分析了桩身三维波动效应对端承桩纵向振动特性的影响.结合一维虚土桩模型和三维波动理论，本文进一步提出了对于大直径浮承桩适用性更好的三维虚土桩模型.

3.1.2本文解与已有实测案例对比验证

此外，图5给出了相同参数体系下本文桩顶速度时域半解析解与Chow等[22]三维有限元计算结果的对比.综合图4和图5可见，本文桩顶速度时域半解析解与有限元计算结果及现场试验实测结果吻合较好.

3.2桩顶纵向振动特性参数化分析

3.2.1三维桩径向位置的影响

为探讨桩截面径向位置对桩顶纵向振动特性的影响规律，选取桩顶截面动力阻抗曲线上第三个峰值点处动刚度值K_rF₃和动阻尼值K_iF₃，并按式（58）和（59）对K_rF₃和K_iF₃进行无量纲化后分析其沿桩截面径向位置的变化情况.

不同桩径（长径比）情况下，K_r-R和K_i-R随无量纲径向位置F的变化规律如图6所示.由图6可见，K_r-R和K_i-R均为负值，结合式（58）和（59）的定义可知，桩中心处的动刚度和动阻尼值最大，且呈现由桩中心向桩边缘减小的趋势.此外，随着桩径的增大（桩长径比减小），桩边缘处与桩中心处动力阻抗值的差距增大，也就是说大直径桩动力阻抗的径向不均匀性更为明显，因此，本文提出的三维桩身模型对于大直径桩纵向振动问题适用性更好.

3.2.2三维虚土桩参数的影响

三维虚土桩桩长对桩顶动力阻抗的影响如图7 所示.为进一步对比分析本文提出的三维虚土桩与已有一维虚土桩模型的差异，图7同时给出了桩顶动力阻抗随一维虚土桩长度的变化情况，图中H^1DFP即为一维虚土桩的桩长.由图可见，三维虚土桩模型与一维虚土桩模型计算结果差异性主要体现在以下两个方面：

1）基于三维虚土桩模型计算所得桩顶动力阻抗振动幅值和频率均较一维虚土桩模型小；

2）三维虚土桩桩长对动力阻抗的振幅和频率均有较明显影响，具体而言三维虚土桩桩长的增加会使得桩顶动力阻抗振幅和频率减小，不同地，一维虚土桩桩长对桩顶动力阻抗的影响则可忽略.

引起这两种模型计算结果呈现上述差异性的原因可归结为：一维虚土桩模型将实体桩和虚土桩简化为Euler-Bernoulli杆，仅考虑桩身纵向波动效应的影响，而三维虚土桩模型中实体桩和虚土桩控制方程均基于三维连续介质理论建立，可同时考虑实体桩和桩底土层的纵向和径向波动效应.

结合现象与原因不难发现，实体桩桩身径向波动效应会使得桩顶动力阻抗振动幅值和频率减小，也就是说对于大直径桩采用一维杆模型计算其纵向动力阻抗会过高地估计共振幅值和频率，这对于大直径桩的抗振防振设计是不利的.此外，虚土桩的径向波动效应同样会引起桩顶动力阻抗振幅和频率的减小，且此種减小效应随着虚土桩桩长的增加而更加明显.

三维虚土桩（即桩底土层）剪切模量对桩顶动力阻抗的影响如图8所示.由图可见，三维虚土桩剪切

4结论

本文基于三维黏弹性连续介质理论，将桩底一维虚土桩模型拓展到三维情况，建立了一种可同时考虑桩身和桩底土径向波动效应的三维虚土桩模型，并推导得出大直径浮承桩桩顶动力阻抗解析解，进而分析了桩顶径向位置及三维虚土桩参数对桩顶动力阻抗的影响情况，计算分析结果表明：

1）大直径桩顶动刚度和动阻尼呈现由桩中心向桩边缘减小的趋势，且桩长径比越小桩顶动力阻抗的径向不均匀性越明显.

2）实体桩桩身径向波动效应会使得桩顶动力阻抗振动幅值和频率减小，对于大直径桩采用一维杆模型计算其纵向动力阻抗会过高地估计共振幅值和频率，不利于大直径桩的抗振防振设计.

3）虚土桩的径向波动效应使得桩顶动力阻抗振幅和频率减小，且此种减小效应随着虚土桩桩长的增加而更加明显.

4）三维虚土桩模型不仅对于大直径浮承桩纵向振动问题具有更好的适用性，而且可以通过调整虚土桩参数将其应用于端承桩动力特性分析中.

本文所得解析解可通过MATLAB实现公式简化计算，进一步结合其中的GUI控件可建立简单、易用的人机交互界面，以便实际工程中桩基动力设计和现场完整性检测的应用.

参考文献

[1]郑长杰，丁选明，栾鲁宝，等.低应变瞬态荷载作用下基桩动力响应解析解[J].土木工程学报，2019，52（11）：79-85.

ZHENG C J，DING XM，LUAN LB，et al. Simplified analytical solution for the dynamic response of piles subjected to low-strain transient loadings [J]. China Civil Engineering Journal，2019，52（11）：79-85. （In Chinese）

[2]王奎华，刘鑫，吴君涛，等.考虑横向惯性下填砂竹节管桩纵向振动特性[J].湖南大学学报（自然科学版），2020，47（5）：58-69.

WANG KH，LIU X，WU JT，et al. Longitudinal vibration characteristics of sand-filled nodular pipe pile considering lateral inertial effect [J]. Journal of Hunan University （Natural Sciences），2020，47（5）：58-69.（In Chinese）

[3]MENG K，CUI C Y，LIANG Z M，et al. A new approach for longitudinal vibration of a large-diameter floating pipe pile in viscoelastic soil considering the three-dimensional wave effects [J]. Computers and Geotechnics，2020，128：103840.

[4]官文杰，吴文兵，蒋国盛，等.饱和土中非完全黏结管桩纵向振动特性研究[J].湖南大学学报（自然科学版），2021，48（1）：46-58.

GUAN W J，WU W B，JIANG G S，et al. Study on vertical vibration characteristics of incompletely bonded pipe pile in saturated soil[J]. Journal of Hunan University（Natural Sciences），2021，48（1）：46-58.（In Chinese）

[5]MYLONAKIS G. Winkler modulus for axially loaded piles [J]. Geotechnique，2001，51（5）：455-461.

[6]WANG K H，YANG D Y，ZHANG Z Q，et al. A new approach for vertical impedance in radially inhomogeneous soil layer[J].Inter- national Journal for Numerical and Analytical Methods in Geomechanics，2012，36（6）：697-707.

[7]WU W B，WANG K H，ZHANG Z Q，et al. Soil-pile interaction in the pile vertical vibration considering true three-dimensional wave effect of soil[J]. International Journal for Numerical and Analytical Methods in Geomechanics，2013，37（17）：2860-2876.

[8]FAGHIHNIA TORSHIZI M，SAITOH M，ALAMO GM，et al. Influence of pile radius on the pile head kinematic bending strains of end-bearing pile groups[J].Soil Dynamics and Earthquake Engineering，2018，105：184-203.

[9]孟坤，崔春义，许成顺，等.基于虚土桩模型的三维饱和介质中浮承桩纵向振动特性分析[J].岩土力学，2019，40（11）：4313- 4323.

MENG K，CUI C Y，XU C S，et al.Longitudinal vibration characteristics of floating pile in threedimensional saturated soils based on virtual soil pile model[J].Rock and Soil Mechanics，2019，40 （11）：4313-4323.（In Chinese）

[10]卢一为，丁选明，刘汉龙，等.均匀黏弹性地基中X形桩纵向振动响应简化解析方法[J].岩土力学，2021，42（9）：2472-2479.

LU Y W，DING X M，LIU H L，et al. Simplified analytical solution for vertical vibration of X-section pile in homogeneous viscoelastic soil[J]. Rock and Soil Mechanics，2021，42（9）：2472- 2479.（In Chinese）

[11]MUKI R，STERNBERG E. Elastostatic load-transfer to a halfspace from a partially embedded axially loaded rod[J]. International Journal of Solids and Structures，1970，6（1）：69-90.

[12]ZHENG C J，KOURETZIS G P，SLOAN S W，et al. Vertical vibration of an elastic pile embedded in poroelastic soil [J]. Soil Dynamics and Earthquake Engineering，2015，77：177-181.

[13]杨冬英，王奎华，非均质土中基于虚土桩法的桩基纵向振动[J].浙江大学学报（工学版），2010，44（10）：2021-2028.

YANG D Y，WANG K H. Vertical vibration of pile based on fictitious soil-pile model in inhomogeneous soil [J]. Journal of Zhejiang University （Engineering Science），2010，44 （10）：20212028. （In Chinese）

[14]吳文兵，王奎华，杨冬英，等.成层土中基于虚土桩模型的桩基纵向振动响应[J].中国公路学报，2012，25（2）：72-80.

WU W B，WANG K H，YANG D Y，et al. Longitudinal dynamic response to the pile embedded in layered soil based on fictitious soil pile model[J]. China Journal of Highway and Transport，2012，25（2）：72-80.（In Chinese）

[15]KRAWCZUK M，GRABOWSKA J，PALACZ M. Longitudinal wave propagation. Part I—Comparison of rod theories [J]. Journal ofSound and Vibration，2006，295（3/4/5）：461-478.

[16]吕述晖，王奎华，吴文兵.考虑横向惯性效应时黏弹性支承桩纵向振动特性研究[J].振动工程学报，2016，29（4）：679-686.

LU SH，WANG KH，WU W B. Longitudinal vibration of viscoelastic bearing piles considering transverse inertia effect[J]. Journal of Vibration Engineering，2016，29（4）：679-686.（In Chinese）

[17]李振亚，王奎华.考虑横向惯性效应时非均质土中大直径桩纵向振动特性及其应用[J].岩石力学与工程学报，2017，36（1）：243-253.

LI Z Y，WANG K H. Vertical vibration of a large diameter pile embedded in inhomogeneous soil considering the transverse inertia effect and its applications[J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering，2017，36（1）：243-253.（In Chinese）

[18]楊骁，刘慧，蔡雪琼.端承粘弹性桩纵向振动的轴对称解析解[J].固体力学学报，2012，33（4）：423-430.

YANG X，LIU H，CAI X Q. Axisymmetrical analytical solution for vertical vibration of end-bearing viscoelastic pile[J]. Chinese Journal of Solid Mechanics，2012，33（4）：423-430.（In Chinese）

[19]孟坤，崔春义，许成顺，等.考虑径向波动效应的黏弹性支承桩纵向振动阻抗研究[J].振动工程学报，2019，32（2）：296-304.

MENG K，CUI C Y，XU C S，et al. Vertical dynamic impedance of floating pile considering the radial wave effect[J]. Journal of Vibration Engineering，2019，32（2）：296-304.（In Chinese）

[20]LIU X，NAGGAR M H E，WANG K H，et al.Theoretical analysis of three-dimensional effect in pile integrity test[J]. Computers and Geotechnics，2020，127：103765.

[21]MENG K，SU H F. Analytical model of large-diameter viscoelastic floating pile and application in pile low-strain integrity testing [J]. Soil Dynamics and Earthquake Engineering，2022，158：107296.

[22]CHOW Y K，PHOON K K，CHOW W F，et al.Low strain integrity testing of piles：three-dimensional effects[J]. Journal of Geotechnical and Geoenvironmental Engineering，2003，129（11）：1057-1062.