基于范希尔几何水平理论的平面与平面垂直的教学设计

哈尔滨师范大学教师教育学院 钱月莹

1 范希尔几何思维水平

20世纪50年代，荷兰学者范希尔夫妇提出了几何思维发展理论，并划分为5个水平，被称为范希尔理论.根据学生理解和几何知识把思维水平分为以下5个层次.

水平1：视觉.儿童在面对图形时，可以大致地区分出图形的差异，但不能具体指出图形的类别.

水平2：分析.图形的外观以及相似之处，学生是可以总结出来的，也能据此解决一些简单问题，但不能建立其中的联系.

水平3：非形式化的演绎.通过学习，学生理解图形所具有的性质以及概念等，但不能对此进行逻辑推理.

水平4：形式化演绎.这个阶段的学生建立起知识之间的联系，并能进行推理，了解“定义”“公理”“定理”“性质”的内涵与外延.

水平5：严密性.学生能在不同的公理下严谨地建立定理，以分析比较不同的几何系统，如欧式几何和非欧氏几何系统的比较[2].

根据几何思维的5个水平，范希尔夫妇提出了学生思维水平进阶(即从一个水平到下一个水平的发展)的5个教学阶段.

阶段一：学前咨询.通过交流的形式，教师了解学生储备的基础知识，学生知道本节要学习的重点内容.

阶段二：引导定向.通过简短的问答交流，教师要根据学生的自身发展水平安排本节的教学任务，使学生明白几何学习的方向和方法.

阶段三：阐明.教师利用专业的术语讲解本节的重点内容，学生要调动自身的储备知识理解本节的概念、命题等.

阶段四：活动.教师在此阶段中不断激发学生的学习兴趣，使学生通过解决不同的问题，夯实本节重点内容.

阶段五：整合.学生自己整合本节所学的内容，丰富自身的知识储备，构建完整的公理化系统.

范希尔理论中教学设计的主要目的是促进学生几何思维水平的提高，特别是培养学生空间想象、解决问题等能力[3].

2 “平面与平面垂直”教学设计

本节课主要按照“背景-二面角(定义、表示、度量等)-特例(直二面角)-两平面垂直”的顺序进行安排，并把重点放在两个平面垂直的研究上[4].

2.1 阶段一：学前咨询

学生通过前面的学习已经有了一定的知识积累，在探索中学到的研究思路也为本节课的学习打下了坚实的基础.因此，教师在讲授新课之前回顾“线面平行、面面平行、线面垂直”的研究路径是极其重要的.

问题1通过前面的学习，我们已经研究了几种空间线面位置关系.你认为接下来要研究什么位置关系呢？应该遵循怎样的研究步骤呢？

学生活动：研究平面与平面垂直的位置关系.应该遵循直线与平面垂直的研究步骤.

追问：我们是怎样研究直线与平面垂直的呢？你能总结出这几种位置关系研究步骤的共同点吗？

学生活动：都遵循“现实背景-位置关系的定义、表示-判定-性质”的研究路径.

设计意图：引导学生回顾之前的内容，为接下来要讲授的“平面与平面垂直的判定”作铺垫.在这个过程中，最重要的是研究方法的展现，教师可以通过类比的思想方法带领学生在新课学习中逐步完善知识系统，为“平面与平面垂直的判定”的研究指明方向.

2.2 阶段二：引导定向

问题2在研究空间垂直关系时，线线垂直是研究的基础.在平面几何中，为了研究线线垂直，引入了角的概念，当直线与直线的夹角为90°时，则称两直线垂直.为了定义空间两个平面互相垂直，需要先定义“空间中两平面的夹角”.类比平面几何中线线垂直时夹角的定义，我们应该如何定义空间中两平面的夹角呢？

学生活动：在教师的引导下，学生逐步体会到要研究两个平面相交的位置关系，需引入二面角的概念，进而研究“平面与平面垂直”.

追问：该如何定义二面角呢？

师生活动：教师带领学生思考二面角的研究思路，并向学生展示图书翻页，从生活中的实例出发，由学生自主概括出二面角的概念，教师要规范学生的作图方式及符号表示.

图1

二面角：如图1所示，从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.棱为AB，面为α，β的二面角记作二面角α-AB-β.有时为了方便，也可在α，β内(棱以外的半平面部分)分别取点P,Q，将这个二面角记作二面角P-AB-Q.如果棱记为l,那么这个二面角记作二面角α-l-β或二面角P-l-Q.

问题3在生活中，室内温度较高时，我们会说“把窗户打开点，让风吹进来”，这是指什么角大一些？二面角与平面中的角都是具有大小的，应如何度量二面角的大小呢？

学生活动：学生在教师的引导下回顾平面几何中异面直线所成的角、直线与平面所成的角，都是由“平面角”推出来的.学生有所启发，意识到“二面角”可以转化为“平面角”进行度量.

追问1：二面角的平面角具有哪些性质呢？与“线面角”的平面角有什么关联之处吗？

学生活动：它们具有相同的性质.棱是连接两个半平面的“桥”，平面角的顶点应位于棱上.角的两边分别位于两个半平面内，并且与棱的位置关系是唯一确定的.

图2

二面角的平面角：在二面角α-l-β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角(如图2).

追问2：二面角的平面角有什么性质呢？

师生活动：教师带领学生归纳出以下几点性质.(1)角的顶点在棱上，角的两边分别在两个半平面内，角的两边分别与棱垂直；(2)二面角的平面角大小与点O在棱l上的位置无关；(3)平面角是直角的二面角叫做直二面角，二面角的平面角θ的取值范围是0°≤θ≤180°.学生要对这几点性质反复推敲，增强印象.

设计意图：二面角的概念与角的概念具有很强的类比性，通过生活中的实例引入，将学生的直观认知推向理性认知，带领学生把二面角转化为平面角进行度量，并让学生自主归纳出二面角的平面角的性质，加强学生对知识的理解，构建完整的知识体系.

2.3 阶段三：阐明

问题4类比空间两条直线相互垂直的定义，你能给出平面与平面垂直的定义吗？

学生活动：教师起到辅助作用，让学生类比出平面与平面垂直的定义.

图3

面面垂直：两个相交平面构成的二面角是直二面角，则称这两个平面互相垂直.平面α与β垂直，记作α⊥β(如图3).

设计意图：通过给出二面角的定义及性质，为平面互相垂直的定义作铺垫，引发学生探索性思考，进而使学生感受到数学定义的形成是具有过程性、科学性的，增强学生的逻辑推理能力，开发直观想象能力.

问题5研究了两个平面相互垂直的定义，在此基础上，应该研究什么呢？

学生活动：应该研究平面与平面垂直是如何判定的.

追问1：在盖房子时，工人们都会测量墙面与地面是否垂直.由此，他们会用一根系有重物的线来检测，若细线与墙面是紧贴的，则墙面与地面是垂直的，否则是不垂直的.这种测量方法运用了什么原理呢？

学生活动：学生以小组的形式讨论，得到结论，即如果墙面经过地面的垂线，那么墙面与地面垂直.

图4

追问2：这种结论在长方体中是否也成立呢？如图4，在长方体ABCD-EFGH中，怎样证明平面ABCD垂直于平面ABFE呢？

学生活动：在长方体中也是成立的.平面ABFE经过平面ABCD的一条垂线AE，所以平面ABCD垂直于平面ABFE.

经过师生讨论，总结出两个平面垂直的判定定理：如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直.(即线面垂直⟹面面垂直.)

设计意图：从建筑师傅砌墙的生活实例入手，向同学们抛出要证明的问题，激发学生的兴趣，让学生由表及里，发现数学的核心内容，培养数学思维.

2.4 阶段四：活动

学生对本节知识已有了一定的了解，但把重点内容应用到实例中，以及更深层面的学习，仍存在一些欠缺.因此，要设置例题，夯实学生的基础.

图5

例如图5所示，在正方体ABCD-EFGH中，求证：平面EBD⊥平面ACGE.

证明：在正方体ABCD-EFGH中，AE⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，

∴AE⊥BD.

又∵BD⊥AC，AC∩AE=E，

∴BD⊥平面ACGE.

∵BD⊂平面EBD,

∴平面EBD⊥平面ACGE.

设计意图：本例题与本节课所学的重点知识密切相关.要证明面面垂直，首先要找到线面垂直，这是一个思维转化的过程.发挥学生的主体作用，促使学生体会数形结合在解决数学问题中的重要作用.

2.5 阶段五：整合

问题6通过本节课的学习，你都收获了什么？

追问1：怎样才能测量出二面角的大小？两上平面垂直的定义是什么？怎样用符号和图形表示？两个平面垂直的判定定理是什么？是怎么得到的？

学生活动：小组进行讨论，回答追问1的问题.

(1)二面角，二面角的平面角的定义，两个平面垂直的定义，两个平面垂直的判定定理(线面垂直⟹面面垂直).

(2)数学思想方法：类比、转化、降维.空间位置、数量关系→平面位置、数量关系[5].

设计意图：学生学习完本节知识，可能存在部分概念掌握不全面的情况，需要及时查缺补漏.这个阶段，要让学生自主回答，充分体现学生的主体性，并让学生体会类比、转化等思想方法，培养数形结合、逻辑推理、思维转换等能力.

3 总结

平面几何与空间几何知识，对于学生来说都是较难理解的.学生缺乏直观想象、逻辑推理等能力，只是简单了解公式、定理等，并没有学会其中的思想方法.依据范希尔理论进行“平面与平面垂直的判定”的教学设计，教师能更好地了解学生的思维发展现状，设计出科学合理的教学方案，培养学生的创新能力以及应用意识.