多边形车削刀尖轨迹仿真与误差分析*

丁国龙，刘 欢，王 维，钟瑞龄

(1.湖北工业大学机械工程学院，武汉 430068；2.宜昌长机科技有限责任公司，宜昌 443003)

0 引言

多边形车削被广泛应用于多棱柱零件的外表面加工过程中，如水暖阀门，六角螺母，管接头类工件，扳手的着力面等。传统铣削虽然也能加工这类零件，但铣削加工时间长，效率低，无法在大批量生产中有效执行。而多边形车削在CNC车削中心的运用越来越普遍，且具有效率高，同轴度好，自动化程度高等优点。目前，国内外不少学者对轴类零件的多面体加工问题进行了研究，闫忠江[1]研究了滚筒联接套这类大型多面体零件的铣削加工方法。赵华、刘燕等[2-5]研究了利用五轴机床加工复杂多面体的工艺方案。游海涛等[6]针对多面体数控钻床的加工路径优化问题，研究了钻头走刀路径及避障方法。以上加工方式通用性并不强。

多边形车削可实现轴类零件的多面体加工，且一次加工成型，效率高，符合实际大批量生产的需求。由于多边形车削的特殊加工方式，加工过程一直存在加工原理导致的误差，分析这类误差的形成原因，找到减小误差的方法，对于提高加工精度，实现大规模批量生产具有重要意义。针对上述问题，胡昌军等[7-8]研究了车削过程中的直线度误差，提出正方形修正法。虞世鸣等[9]根据直线度约束条件，推导出动态正多边形的弦长修正原理。黄富贵等[10]研究了在任意方向上评定直线度误差的方法。 闫晓玲[11]针对数控车削过程中存在的误差，给出了控制误差，提高零件加工精度的方法。CAO等[12]研究了车床误差对车削表面轮廓的影响,实现了车削误差的预测。YANG等[13]提出了车削加工建模的方法，研究了几何误差与车床参数对车削表面形貌的影响。上述学者的研究对于多边形车削误差的分析与改善提供了很好的思路和借鉴。

多边形车削的加工方式较复杂，目前在误差模型建立，误差分类与分析等方面的研究仍有不足。本文通过建立刀尖运动轨迹的数学模型，研究了多边形车削的原理。基于对误差产生原因的分析，对车削过程中存在的误差进行了分类：圆角误差与直线度误差。在建立误差理论模型的基础上，给出了消除圆角误差的约束条件。推导出了直线度误差的计算公式，通过构造拉格朗日函数，得到了车床轴心距与直线度误差的映射关系，绘制了直线度误差与车床轴心距的关系曲线，提出了车削加工参数的合理取值范围。通过加工实例，验证了该理论模型的合理与可靠性，为车削误差消除与改善提供了理论指导。

1 刀尖运动轨迹方程求解

1.1 多边形车削的椭圆轨迹法

不同于传统车床，多边形加工车床一般有两个旋转轴，主动轴与从动轴，其中夹持工件的轴为主动轴，夹持刀盘轴的为从动轴。加工多边形时，通过伺服电机保证两轴之间同步运动，并控制主动轴与从动轴的转速比为1：2，这样形成的车刀刀尖轨迹为椭圆。在刀盘上间隔180°安装2把车刀时，加工得到“正方形”成品，如图1所示；间隔120°安装3把车刀时，加工得到“六边形”成品，如图2所示。

图1 正方形车削图 图2 六边形车削图

1.2 数学建模与轨迹方程求解

以正方形加工为例。由于工件和刀盘以不同转速旋转，同时分析两者运动关系较为复杂，而运用反转法，固定工件坐标系，将工件的旋转运动叠加到刀盘上，建立刀具轨迹的数学模型相对简单。具体建模过程如下：

如图3所示，以工件回转中心O1作为坐标原点，建立直角坐标系[O1,x,y]，刀盘回转中心设为O2，车床轴心距为C。工件半径为R1，刀盘半径为R2。工件角速度为ω1，刀盘角速度为ω2，最大切削深度为h。

图3 建立数学模型

设切削初始时刻刀具位置为S0，t时刻刀具位置为S1。设S1的坐标为(x,y)。根据相对运动关系可知，t时刻，工件旋转角度θ1，可转化为刀盘圆心O2绕坐标原点旋转同样角度θ1，即从O2旋转到O3。

由图中几何关系，点S1的横纵坐标表达式为：

(1)

又由于工件和刀盘的转速比一般设为1:2，

ω2=2ω1

(2)

(3)

化简式(1)，得到车刀的轨迹方程为：

(4)

同理可得另一把车刀的轨迹方程为：

(5)

由式(4)、式(5)可知两把车刀的刀尖运动轨迹均为长轴为C+R2、短轴为C-R2的椭圆，且两椭圆的长轴相互垂直。

2 车削过程的动态仿真

为掌握多边形车削规律，分析多边形车削的误差，要根据车刀运动轨迹，进行车削过程的动态仿真。为此须利用MATLAB的计算功能，得到车削后的实际图形。仿真流程如图4所示，具体步骤如下：

图4 运动仿真流程图

步骤1：设定工件半径，刀盘半径及车床轴心距的值，绘制加工前的工件轮廓曲线；

步骤2：编写车刀的外轮廓坐标矩阵，并绘制车刀运动的椭圆轨迹，如图5所示；

图5 车刀轨迹图 图6 “正方形”工件轮廓图

步骤3：定义车刀运动的起始角度θ，与角度增量dθ，通过for循环，不断更新车刀位置坐标，实现车削过程的动态仿真；

步骤4：通过车刀外轮廓与工件轮廓的布尔运算，生成加工后得到的“正方形”工件，如图6所示。

由图6可知，实际加工工件并非标准的“正方形”，工件上的椭圆弧线代替了正方形的四条边，椭圆弧线之间通过圆弧过度代替直角边。本文将这两种“近似代替”导致的误差分别定义为直线度误差与圆角误差。

3 误差原因分析与改善

3.1 圆角误差分析

圆角误差是由于“圆弧近似代替直角边”所形成的，这类误差在理论上通过调整车床轴心距C和刀盘半径R2可以消除。

如图7所示，调整“椭圆”短轴C-R2的值，得到三组不同的车削轨迹，车削轨迹2为临界状态，继续增大C-R2，车削后得到的工件存在圆角。由此可知消除圆角误差的条件为：车刀轨迹交点(x0,y0)位于工件截面内。

图7 圆角误差分析

(1)消去式(4)与式(5)的中间参数θ1，得到椭圆方程的直角坐标系形式，并将两式联立，即可求出交点坐标。

(6)

(2)交点坐标(x0,y0)为：

(7)

(3)由图(7)几何关系可知：

(8)

(4)由此可得消除圆角误差的约束条件为：

(9)

(5)当工件轴的半径R1确定后，只需刀盘半径R2与车床轴心距C满足式(9)，就能消除圆角误差。

3.2 直线度误差分析

直线度误差是由于“椭圆弧线近似代替直线”所形成的。由于车削轨迹是光滑曲线，此类误差从理论上无法消除，只能减小。直线度误差分析如图8所示。

图8 直线度误差分析

(1)由图8几何关系可知，工件的直线度误差E为椭圆短轴与车刀轨迹交点横坐标的差值。计算公式为：

E=C-R2-x0

(10)

(2)由对称性，选取“正方形”工件靠右的边分析，根据曲率公式，该条边的曲率为：

(11)

(3)由于车刀轨迹是椭圆，在两把刀轨迹交点(x0,y0)处，曲率取得最大值，将交点坐标带入轨迹方程即式(4)，可得θ1的隐式表达为：

(12)

(4)将上式带入曲率表达式，可求得交点(x0,y0)处的曲率K。

(13)

(5)显然曲率K是关于轴心距C和刀盘半径R2的二元函数，假设车床的轴心距C允许的最大值为P，最大切削深度为h，并结合消除圆角误差的条件即式(9)，C和R2需要满足下述约束条件。

(14)

(6)则该误差问题转化为，求解二元函数K(C,R2)，在上述约束条件下的条件极值。利用拉格朗日乘数法构造拉格朗日函数可得到极值点的坐标，具体构造函数如下。

F(C,R2,λ)=K(C,R2)+λ(R2+R1-h-C)

(15)

(16)

求解方程组得到极值点坐标。

(17)

(7)在极值点处，曲率K取得极小值，直线度误差也最小，将极值点坐标x0与交点横坐标带入式(10)，可求得直线度误差的理论最小值。

(18)

(8)上式表明多边形车削的直线度误差无法完全消除，但存在极小值。当将车床轴心距调整为最大值P时，直线度误差最小。

(9)为更清楚描述直线度误差E与轴心距C的关系，选取插齿机中的典型轴类零件蜗杆进行分析，实物如图9所示。该蜗杆通过与涡轮相配合，实现插齿刀的旋转运动，蜗杆尺寸如图10所示。

图9 蜗杆实物图

图10 蜗杆零件图

(10)由A-A截面可知，该蜗杆的右端面须加工成“正方形”，公差要求Δh为0.18 mm，则“正方形”每一条边的直线度误差为：

(19)

(11)毛坯的截面半径R1为18 mm，总切削深度h=6 mm，带入式(18)，得到直线度误差E的计算式：

(20)

(12)直线度误差随车床轴心距变化如图11所示。

图11 直线度误差与轴心距关系

(13)如图11所示，当车床轴心距大于55 mm时，直线度误差E小于0.09 mm，公差小于0.18 mm，该蜗杆右端面的精度满足要求。进一步分析曲线走势可知，多边形车削的直线度误差与轴心距负相关，轴心距小于40 mm时，多变形车削的直线度误差会急剧增大。轴心距大于70 mm时，直线度误差小于0.05 mm，误差减小速度缓慢，改善效果不明显，且会导致刀盘半径过大，造成振动加剧，加工精度差等不良影响。因此实际加工过程中，将车床轴心距控制在40～70 mm之间较为合理。

4 结论

(1)提出了多边形车削过程的一种数学建模方法，基于反转法，求解出了车刀运动的轨迹方程。利用MATLAB软件编写车刀运动轨迹，通过布尔运算，得到切削后的工件轮廓。在分析误差产生原因的基础上，给出了消除圆角误差和减小直线度误差的方法。

(2)建立了多边形车削的理论误差模型，结合插齿机蜗杆轴的加工实例，推导误差计算公式，得到直线度误差与车床轴心距的映射关系，给出车床轴心距的合理取值范围。为实际加工过程中，车削误差的减小或消除提供理论指导。