滑块底部去材对滚柱导轨副静刚度的影响分析*

谢真炜，梁 医,2，冯虎田,2，刘佳运，裘顺顺

(1.南京理工大学机械工程学院，南京 210094；2.机械工业数控机床功能部件性能测试评价与可靠性技术重点实验室，苏州 215699)

0 引言

滚动直线导轨副是数控机床进给系统中的重要承载功能部件。随着数控机床向着高精度、高效率、高智能的方向发展，滚动直线导轨副也被提出了更高的要求，而想要提高滚动直线导轨副各项性能，就必须设法在其运行过程中对各项参数进行精确测量。国内外的许多机构在此方面已经有所尝试，提出了智能导轨副[1-2]。但这种智能导轨副的设计思路是在导轨上设置传感器，显然获得的数据会受导轨的影响并产生误差。为了获得更准确的测量数据，设想开发一种不同设计路线的智能导轨副，在滑块底部去材并在其内安装传感器和无线通讯模块，实现对导轨副各项参数的实时测量。然而在滑块底部去材必然会对导轨副刚度产生影响，因此必须定量的了解去材对导轨副刚度的影响情况。

对于导轨副的刚度，SZWENGIER等[3]认为其变化主要受导轨副工作时的热变形影响。随着研究的深入，CHENG等[4-6]发现摩擦磨损也对刚度有着不可忽略的影响。在计算机技术广泛应用后，KWON等[7]应用有限元方法确认了滚动体和滚道间的接触刚度才是主要影响直线导轨副刚度变化的因素。目前针对滚动体接触刚度的研究主要分为3个方向：①应用赫兹接触理论对滚动体受力和变形情况进行静态分析[8-9]；②研究滚动体在导轨副内的摩擦行为，通过分析过程中滚动体的微观-宏观接触情况，得出滚动体的动态形变及刚度[10-13]；③结构层面，应用有限元模型研究滚动体的直径、角度等关键几何参数对接触刚度的影响，在此基础上再对结构进行优化以提高接触刚度[14]。综上所述，当前对于导轨副刚度的研究主要集中于滚动体的接触刚度，已经针对滚动体的静态受力、动态摩擦行为、结构参数等方面有了较深的研究，但是未见关于滑块结构去材或材料减少对导轨副刚度的影响研究。

为了研制新型智能导轨副，本文将定量地研究滑块内部去材的深度对导轨副刚性的影响规律和原理。滑块与导轨间的滚动体接触模型采用无阻尼的等效弹簧来替代，根据滚柱的形变量与载荷的关系式拟合得到等效弹簧的刚性系数。开展45型滚柱导轨副刚度试验，通过试验数据修正模型中等效弹簧的参数以确保模型仿真的准确性。最后，运用有限元仿真研究去材深度对导轨副刚度的影响规律和影响方式。

1 直线导轨副有限元模型的初步建立

1.1 建立有限元模型

以45滚柱导轨副为研究对象，在尽可能获得较大的安装空间的前提下对滑块底部进行去材。在分析前对模型进行了简化：根据模型的对称性，取导轨副的一半进行分析；忽略了倒角、端面螺栓孔等对刚度分析影响微小的结构，如图1所示。

模型采用精度较高但计算时间较长的十结点四面体进行网格划分。考虑到导轨副的刚性主要取决于滚动体与滚道间的接触[7]，对滚道处的网格进行了细化，如图2所示。

图1 45型滚柱导轨副图2 网格划分情况

对于模型的加载方式的设置，目前多数研究都是采用直接在滑块上表面添加均布力的方式进行加载[15-16]，但由于滑块上表面刚性不均匀，这种加载方式会导致滑块上表面出现形变不均匀的现象。但在实际应用中，导轨副直接与工作台相连，受载后滑块上表面形变均匀，因此对应的加载方式应在滑块上加一钢板，再在钢板上添加均布力。加载的具体设置如表1和图3所示。

表1 加载设置

图3 加载的具体设置

1.2 建立等效弹簧

对滚柱与导轨和滑块的接触设置是建立滚动直线导轨副有限元模型的难点。首先对滚柱与导轨和滑块的实际接触情况进行分析。在导轨副装配时，各个滚柱的直径会有一定的加工误差，这会导致部分滚柱不与滚道接触，进而导致导轨副刚度下降。为了避免这种情况，生产厂家一般都使用直径稍大的滚动体进行装配，通过过盈配合使所有滚柱都与滚道接触以提高刚度，同时导轨副内部会有一定的预紧力。但在有限元分析时，很难对这种过盈配合进行准确描述。目前存在两种解决办法，一种是给模型中的滚动体施加温度场，利用热膨胀实现过盈配合[15]，但这种方法需要测定滚动体的具体膨胀系数并且计算时间长。第二种是利用经验公式将所有滚动体替代为8根等效弹簧[16-17]，这样能在保证准确性的同时极大节约计算资源。为了提高分析效率，采用无阻尼的弹簧替代滚柱的方法模拟过盈配合。同时，考虑到弹簧只能模拟点接触，而滚柱与滚道间的接触为线接触，模型中使用五根均布且相同的弹簧来等效滚柱与滚道的线接触情况，如图4所示。

(a) 等效前滚柱位置 (b) 等效弹簧的布置

等效弹簧的刚性系数通过滚柱形变量与载荷的拟合曲线获得。滚柱的形变量由Palmgren的经验公式[17]得出：

(1)

式中，δ为圆柱中心与平面间的相对趋近量，mm；μ为材料的泊松比；E为材料的杨氏模量，MPa；F为圆柱与平面的作用力，N；l为圆柱与平面的接触长度，mm。

45直线导轨副的相关结构参数如表2所示。

表2 45型滚柱直线导轨副的结构参数

在导轨副实际工作时，滚柱受到的法向力F不仅仅只有工作载荷，还应包括导轨副在装配时就获得的预紧载荷，所以公式中的F用F+F0代替，其中F表示工作载荷，F0表示预紧载荷。单个滚柱受到的法向预载为：

(2)

式中，i为滚柱列数，取值为4；z为单列滚柱个数；α为滚柱与导轨、滑块的接触角；P为滑块的总预载，取值为30%的额定动载荷。

同时根据等效前滚柱位置图可知，滚柱两侧的接触长度并不相同，对应的变形需要分开计算。设滚柱在导轨和滑块间的总变形量为Δ，滚柱与滑块的接触长度为l1，取值为7 mm，滚柱与导轨的接触长度为l2，取值为6 mm，最终有：

(3)

将所有数据代入公式得：

Δ=1.63572×10-5(F+492.85)0.9

(4)

对所得公式在导轨副额定动载荷范围内(单个滚柱受载0～2 119.2 N)进行线性拟合，获得拟合曲线：

δ=7.089×10-6F+0.0045621

(5)

取线性拟合曲线的特征值的倒数，即每根滚柱对应的刚度K。

K=1.41×105N/mm

(6)

每根滚柱都使用5根等效弹簧进行替代，对应的单个弹簧的刚度系数K0为：

(7)

实际上滚柱存在加工误差，装配后每根滚柱的过盈量会存在不同，受到的预紧力会有差异，因此通过理论计算得出的等效弹簧的刚性系数有可能偏离实际的滚柱刚度，还需用试验对等效弹簧的刚性系数进行修正。

2 导轨副刚度试验与弹簧刚性修正

目前准备采用去材深度15 mm的滑块来嵌入传感器进行试验开发智能导轨副，因此，刚度试验以滑块去材15 mm的导轨副进行试验，并用试验数据修正模型。滑块底部去材情况如图5所示。

图5 底部去材的滑块实物图 图6 直线导轨副刚度试验台

试验使用的设备为滚动直线导轨副刚性试验台，如图6所示。试验时，导轨安装在底座上，通过螺栓将滑块夹具与被测滑块相连，加载压盘与力传感器固连，另一端由于滑块夹具接触，滑块夹具上对称安装4个接触式位移传感器。测量过程中，通过加载压盘对被测滑块施加垂直方向载荷，被测滑块受外部载荷影响产生垂直位移，该位移由接触式位移传感器实时检测，控制台通过算法得到被测导轨副的垂直位移，对采集的加载载荷和变形量进行拟合，取其斜率为垂直静刚度值。试验获得的综合刚度为1638 N/μm。

调整等效弹簧刚性系数并利用试验数值与仿真结构进行对比，得出等效弹簧刚性系数为2.54×104N/mm时，仿真得出的导轨副刚度与实际测得的一致。本文后续的有限元模型中，均采用此参数作为弹簧的刚性系数来等效仿真滚柱与滚道的接触。

3 导轨副刚度仿真及结果分析

针对不同性能指标进行检测时，滑块内需要安装的传感器及通讯模块存在差异，所需的安装空间也将不同，因此需要定量的分析滑块去材深度对导轨副刚度的影响。根据滑块的结构参数和需要安装的传感器及通讯模块的尺寸，分别对滑块去材深度0 mm、5 mm、10 mm、15 mm及20 mm(挖通)的模型进行仿真并选取如图7所示的6个点(TP)进行测量分析。

根据仿真得到各点的位移数据后进行计算处理，得到各点的刚度变化曲线，如图8所示。由于得到的各点的X方向位移十分微小，因此只对各点Y方向的刚度变化情况进行分析。

图7 测量点位置 图8 各测量点Y方向刚度曲线

图中实线为滑块侧面一端各点的刚度随去材深度变化的曲线，虚线为滑块侧面中间各点刚度随去材深度变化的曲线。通过分析各测量点的Y方向刚度曲线变化，发现滑块的各测量点均出现了随去材深度增加垂直刚度下降的情况。其中去材5 mm～15 mm对各点垂直刚度的影响基本一致，去材20 mm(挖通)则对各点垂直刚度的影响较大。各点刚度变化反应了滑块整体的刚度变化，取各测量点刚度下降幅度的均值为总刚度下降幅度，计算可知从滑块不去材到挖通，去材深度每增加5 mm，滑块总体刚度下降幅度分别为2.0%、2.4%、2.9%、4.0%。

同时，由图可知测量点TP5、TP6的刚度要高于其他测量点，即滑块底部的刚度要高于上表面及中部，这需要结合滑块的形变图(以滑块去材15 mm模型的形变图为例)来分析。由形变图(图9)可知，滑块上表面只有凸台上受力，使得凸台间的凹槽部分有拱起的趋势，凹槽部分的垂直位移也就随之减小，这种影响传递到了滑块底部，使得滑块的底部刚度会高于上表面及中部。

图9 滑块去材15 mm模型的形变图

以滑块未去材和去材15 mm的模型为例进行应力的详细分析，对应的应力如图10所示。

(a) 滑块去材15 mm模型的应力图 (b) 滑块未去材模型的应力图

由上述两个模型的应力图可知，滑块受到的应力主要集中在滚道处，滑块上表面的凹槽处出现了一个V型的应力较大的区域。滑块受到的应力集中于滚道处，表明滚道与滚柱的接触刚度是最能影响滑块形变量的因素。上表面凹槽处出现的V型应力区域则是由于滑块上表面的凸台设计，滑块上表面凸台受力后使得凸台中间的凹槽处有拱起的趋势，进而出现了V型应力区域。

通过对比这两个模型的应力图可知，V型应力区域在去材位置附近扩大并且对应的应力增大。这表明滑块去材使得其附近的结构变薄弱，去材处对应的上表面凹槽有更大的拱起趋势，这印证了图9中去材处的上表面凹槽区域形变较大的现象。随着去材处上表面凹槽拱起趋势的增大，对应的凸台部分也应出现较大的形变，但是滑块上表面与钢板接触，上表面形变均匀，所以该部分本应出现的形变被均摊到了整个上表面，最终表现为整个上表面的形变增大，刚度降低。

此外，还发现滑块去材后滚道处受到的最大应力变大了，这表明去材对V型应力区域的影响还会传递至滚道上，最终对滚道上的受力情况产生影响。

4 总结

本文使用有限元方法研究了滑块内部去材对导轨副静刚度的影响规律和原理。

(1)使用多根无阻尼弹簧代替滚柱，建立了带预紧力的45型滚柱直线导轨副简化模型。分析了导轨副的加载方式，使用了更符合实际的带钢板加载。根据滚柱的形变量与载荷的关系式拟合得到了等效弹簧的刚性系数。为了确保模型的可信度，使用试验数据修正了有限元模型。

(2)结果表明从滑块不去材到到挖通，去材深度每增加5 mm，滑块总体刚度分别下降约2.0%、2.4%、2.9%、4.0%。此外，还分析了去材前后滑块的应力图，发现去材主要通过影响滑块上表面凹槽下的V型应力区域来降低导轨副刚度。