怎样求解二面角问题

赵萍

二面角问题在立体几何中比较常见，常见的命题形式有求二面角的大小、求二面角的余弦值，证明两个平面互相垂直等.此类问题的难度一般较大，需综合运用立体几何知识、平面几何知识、解三角形知识、三角函数知识，才能顺利求得问题的答案.本文结合实例，重点探讨一下求解二面角问题的几种常用方法.

一、定义法

二面角是由从一条直线出发的两个半平面所组成的，而二面角的大小往往是用其平面角的大小来表示，因此在求二面角的大小时，通常要用到二面角的平面角的定义：过二面角的棱上的一点在两个半平面内作垂直于棱的射线，两射线所成的角.然后根据正余弦定理、勾股定理求得二面角的平面角的大小，即可求得二面角的大小.

例1.

解答本题主要运用了定义法，需根据二面角的平面角的定义，在二面角B-PC-A的棱PC上任取一点D，过D分别作DE⊥PC，DF⊥PC，从而确定了二面角B-PC-A的平面角∠EDF，再根据余弦定理求得cos∠EDF的值.

二、垂面法

垂面法是指作一个垂直的平面，根据其中的垂直关系求得问题的答案.在求解二面角问题时，若题目中涉及的垂直关系较多，可过二面角棱上的一点在两个半平面内作棱的垂线；也可将两个半平面内的垂线平移，使其交于一点；还可过一条垂线上的一点作另一个平面的垂线，从而构成一个垂面，则垂面上的两条垂线或其平行线所形成的夹角即为二面角的平面角.最后根据勾股定理即可求得二面角的平面角的大小.

例2.

本题中的垂直关系较多，于是分别过B、D作DH⊥PC，BH⊥PC，得到PC的垂面BHD，据此确定二面角B-PC-D的平面角∠BHD，再在△BHD中由余弦定理即可求得∠BHD的大小，进而求得二面角B-PC-D的大小.值得注意的是，二面角α的范围为：[0，π].

三、三垂线法

三垂线法是利用三垂线定理解题的方法.运用三垂线法求解二面角问题，需先找到平面的垂线，然后过垂线上的一点作平面的斜线，若平面内的一条直线与平面的斜线垂直，那么这条直线与斜线在平面内的射影垂直，根据这些垂直关系就可以确定二面角的平面角，最后根据勾股定理、正余弦定理即可求得平面角的大小.

例3.

根据题意作AH⊥BC，便可知AH為PH在平面ABCD内的射影，由三垂线定理可得BC⊥PH，由此可确定∠PHA是二面角P-BC-A的平面角，再在Rt△PHA中根据正切函数的定义求得∠PHA的大小，进而可得到二面角P-BC-A的大小.

由此可见，求解二面角问题的关键有两步：第一步，根据二面角的平面角的定义、三垂线定理、垂面的性质，确定二面角的平面角；第二步，根据勾股定理、正余弦定理、三角函数的定义求得平面角的大小.

（作者单位：江西省赣州市南康第三中学）