罗尔定理中辅助函数的构造法

郭元春 陈思源 马晓燕

1.西安思源学院基础部 陕西西安 710038；2.西安思源学院高等教育营销研究中心 陕西西安 710038

微分中值定理在微积分学中占有十分重要的地位，是用函数局部性质推断整体性质的有力工具。罗尔定理是微分中值定理中最为基础的一个，定理内容：若函数f(x)满足在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，且f(a)=f(b)，则存在某个中值ξ∈(a，b)，使得等式f′(ξ)=0。利用罗尔定理证明中值等式问题的难点就是辅助函数的构造。刘文武、张军、肖俊等人[1-3]采用逆向思维法对该类问题做了相应的研究。逆向思维法是从结果出发分析中值等式的特点，选择适当的方法构造辅助函数。

微分中值等式问题常见的形式是：已知函数f(x)满足在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，且f(x)满足某些附加条件，求证存在某个中值ξ∈(a，b)，使得等式F(ξ，f(ξ)，f′(ξ))=0。该等式左边看作是某个函数g(x)在点ξ处的导数，即g′(ξ)=0。由拉格朗日中值定理可知，g(x)=C是满足该等式的最简单的函数。显然这个隐函数是原微分方程的通解，因此，在微分中值问题中，一般把通解中的积分常数令为辅助函数。本文采用逆向思维法，对微分中值问题中构造辅助函数的常见题型作归纳和总结。

一、利用分离变量法构造辅助函数

(一)证明的等式是关于ξ，f(ξ)，f′(ξ)的微分方程

例1[4]:设函数f(x)在闭区间[0，π]上连续，在开区间(0，π)内可导，证明：在开区间(0，π)内至少存在一点ξ，使得f′(ξ)sinξ=-f(ξ)cosξ。

证明：令F(x)=f(x)sinx，显然，F(x)在闭区间[0，π]上连续，在开区间(0，π)内可导，且F(0)=F(π)，故由罗尔定理知，在开区间(0，π)内至少存在一点ξ，使得F′(ξ)=0，而F′(ξ)=f′(ξ)sinξ+f(ξ)cosξ，也就是说，在开区间(0，π)内至少存在一点ξ，使得f′(ξ)sinξ=-f(ξ)cosξ。

显然，F(x)在闭区间[η，1]⊂[0，1]上连续，在开区间(η，1)⊂(0，1)内可导，且F(η)=e-η2f(η)，F(1)=e-1f(1)，即F(η)=F(1)，由罗尔定理知，在开区间(η，1)⊂(0，1)内至少存在一点ξ，使得F′(ξ)=0。

又F′(ξ)=-2ξe-ξ2f(ξ)+e-ξ2f′(ξ)=e-ξ2[f′(ξ)-2ξf(ξ)]，且e-ξ2≠0，故f′(ξ)-2ξf(ξ)=0。也就是说，在开区间(0，π)内至少存在一点ξ，使得f′(ξ)sinξ=-f(ξ)cosξ。

(二)证明的等式是关于f(ξ)，f′(ξ)，g(ξ)，g′(ξ)的微分方程

例2[5]:设f(x)和g(x)在上[a,b]连续，在(a,b)内可导，且f(a)=f(b)=0，g(x)≠0证明在(a,b)内至少存在一点ξ使得f′(ξ)g(ξ)+2f(ξ)g′(ξ)=0。

证明:令F(x)=f(x)g2(x)，显然，F(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且F(a)=F(b)，故由罗尔定理知，在开区间(a,b)内至少存在一点ξ，使得F′(ξ)=0，而F′(ξ)=g(ξ)[f′(ξ)g(ξ)+2f(ξ)g′(ξ)]，又g(x)≠0，故在开区间(0，π)内至少存在一点ξ，使得f′(ξ)g(ξ)+2f(ξ)g′(ξ)=0。

应用实例：若函数f(x)在闭区间[0，1]上连续，在开区间(0，1)内可导，并且f(0)=0，如果x∈(0，1)，f(x)≠0，证明在(0，1)内至少存在一点ξ使得f′(ξ)f(1-ξ)=f(ξ)f′(1-ξ)。

二、利用一阶线性方程的通解构造辅助函数

应用实例：设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)=0，则在(a，b)内至少存在一点ξ，使得2f(ξ)=f′(ξ)。

证明：令F(x)=e-2xf(x)，显然，F(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，且F(a)=F(b)=0，故由罗尔定理知，在开区间(a，b)内至少存在一点ξ，使得F′(ξ)=0，而F′(ξ)=-2e-2ξf(ξ)+e-2ξf′(ξ)=e-2ξ[-2f(ξ)+f′(ξ)]，又e-2ξ≠0，故在(a，b)内至少存在一点ξ，使得2f(ξ)=f′(ξ)。

例5：若函数f(x)在闭区间[0，1]上连续，在开区间(0，1)内可导，且f(0)=f(1)=2，证明在(0，1)内至少存在一点ξ使得f′(ξ)+f(ξ)=2。

证明：令F(x)=ex[f(x)-2]，F(x)在闭区间[0，1]上连续，在开区间(0，1)内可导，且F(0)=F(1)=0，故由罗尔定理知，在开区间(0，1)内至少存在一点ξ，使得F′(ξ)=0。而F′(ξ)=eξ[f(ξ)-2]+eξf′(ξ)=eξ[f(ξ)+f′(ξ)-2]，又eξ≠0，故在(0，1)内至少存在一点ξ，使得f′(ξ)+f(ξ)=2。

在利用一阶线性方程的通解公式构造辅助函数时，一定要仔细观察中值等式的特点，找到P(x)，Q(x)，求出通解。

三、利用降阶的思想构造辅助函数

(一)利用可降阶方程降阶一次后得到的解构造辅助函数

形如y″=f(x，y′)的方程称为不显含y的可降阶微分方程[6]，该方程的特点是方程中同时含有y′，y″，且不显含y。在计算时可令y′=p(x)，则y″=p′(x)，原方程可化为一阶方程p′=f(x，p)，利用分离变量法或一阶线性齐次方程的通解公式可得φ(x，p)=C，从而可构造出辅助函数。

例6：设函数f(x)在[0，1]上二阶连续可导，且f(0)=f(1)=2，证明：至少有一点ξ∈(0，1)，使得2f′(ξ)+ξf″(ξ)=0。

证明：由于函数f(x)在[0，1]上二阶连续可导，故f(x)在闭区间[0，1]上连续，在开区间(0，1)内可导，并且f(0)=f(1)=2，故由罗尔定理知，至少存在一点η∈(0，1)，使得f′(η)=0。对F(x)=x2f′(x)，在[0，η]上连续，在(0，η)内可导，且F(0)=F(η)=0，再次利用罗尔定理，可证至少有一点ξ∈(0，η)⊂(0，1)，使得2f′(ξ)+ξf″(ξ)=0。

(二)利用分部积分法构造辅助函数

例7 设f(x)和g(x)在上[a,b]连续，在(a,b)内可导，在(a,b)内g(x)≠0，g″(x)≠0，且f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0，证明在(a,b)内至少存在一点ξ使得f″(ξ)g(ξ)-f(ξ)g″(ξ)=0。

分析：该微分中值等式属于二阶微分方程，但只含有两个函数的二阶导数f″(x)，g″(x)，不含f′(x)，g′(x)，为了使用降阶的思想

f″(x)g(x)=f(x)g″(x)

两边同时对x积分，得：

证明 令F(x)=f′(x)g(x)-f(x)g′(x)，显然，F(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a，b)内可导，且F(a)=F(b)=0，故由罗尔定理知，在开区间(a，b)内至少存在一点ξ，使得F′(ξ)=0，而F′(ξ)=f″(ξ)g(ξ)-f(ξ)g″(ξ)，故在(a，b)内至少存在一点ξ，使得f″(ξ)g(ξ)-f(ξ)g″(ξ)=0。

以上分析了罗尔定理证明微分中值等式问题的几个典型例题，都是从导数和积分的互逆性出发，通过微分方程求解的方法或不定积分法等逆向思维法构造辅助函数。在平常的教学过程中，可以借助此类题型提高学生的逻辑思维能力和逆向思维能力，逐步培养学生综合应用微积分知识解决实际问题的能力。