复合函数巧求导 精设结构妙成章
——对二次曲线切线方程原创性方法的论证

2022-12-04 14:48武汉大学附属中学杨宏齐齐黎明
中学数学 2022年21期
关键词:二次曲线切点过点

武汉大学附属中学 杨宏齐 齐黎明 袁 明

1 预备知识

图1

2 关于圆的切线方程

(1)过圆上一点的切线方程

已知圆C方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,若P(x0,y0)在圆上,则过点P的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2;若P(x0,y0)在圆外,过P作圆的两条切线PA,PB,则切点弦AB所在直线的方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.

图2

如图2,P(x0,y0)为圆C上一点,过点P的切线为l,则CP⊥l.

设直线l:(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)+c=0,又l过点P(x0,y0),且点P(x0,y0)在圆C上,则(x0-a)2+(y0-b)2+c=0,所以c=-r2.

故过圆上一点P(x0,y0)的切线l的方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.

(2)过圆外一点的切点弦方程

图3

如图3,P(x0,y0)为圆C外一点,过点P作圆C的两条切线PA,PB,其中A(x1,y1),B(x2,y2),可知直线PA,PB的方程分别为

(x1-a)(x-a)+(y1-b)(y-b)=r2;

(x2-a)(x-a)+(y2-b)(y-b)=r2.

又因为点P(x0,y0)在直线PA,PB上,所以,

(x1-a)(x-a)+(y1-b)(y-b)=r2,

(x2-a)(x-a)+(y2-b)(y-b)=r2.

由此可知点A,B均在直线(x-a)(x0-a)+(y-b)(y0-b)=r2上.

所以切点弦AB所在直线的方程为

(x-a)(x0-a)+(y-b)(y0-b)=r2.

特别地,当圆心在原点,圆C的方程为x2+y2=r2时,有以下两个结论:

①若点P(x0,y0)在圆C上时,则过P(x0,y0)的切线方程为xx0+yy0=r2;

②若点P(x0,y0)在圆C外时,过P可作两条切线PA,PB,则切点弦AB所在直线的方程为xx0+yy0=r2.

3 关于椭圆的切线及切点弦所在直线方程

(1)过椭圆上一点的切线方程

受过圆上一点切线方程推导的启发,可以先通过求导求切线的斜率,进而得到切线的法向量,切线方程设出精巧结构,便于后面代点.

由点(x0,y0)在切线上,可得m=1.

因此,过椭圆上一点P(x0,y0)的切线方程为

如果点P(x0,y0)在坐标轴上,很容易检验符合上式.

(2)过椭圆外一点的切点弦方程

4 关于双曲线的切线及切点弦所在直线方程

5 关于抛物线的切线及切点弦所在直线方程

所以可取切线的法向量为(p,-y0),切线方程可设为px-y0y+c=0.

所以,过抛物线上一点P(x0,y0)的切线方程为

y0y=p(x+x0).

若P为顶点(0,0),切线符合上式.同理可以推证抛物线切点弦所在直线方程为y0y=p(x+x0) .

例1过点P(1,-2)作圆C:x2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B,则直线AB的方程为( ).

解析:切点弦AB所在直线的方程为x·1+y·(-2)=1,即x-2y-1=0.故选:D.

变式(2021秋·开福区校级月考)已知圆x2+y2=25,则过圆上一点A(3,4)的切线方程为( ).

A.3x+4y-25=0 B.4x+3y-24=0

C.3x-4y+7=0 D.4x-3y=0

解析:切线方程为x·3+y·4=25,即3x+4y-25=0.故选:A.

(1)证明:直线AB过定点;

第(2)问略.

以二次曲线为背景,通过深入研究切线及切点弦问题[1],培养学生发现问题、提出问题、解决问题的能力.根据上述几点结论,让学生感受切线及切点弦问题[2]的丰富内涵以及突破高中数学中切线及切点弦问题的多种途径.

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