简单随机游动格林函数的估计①

梁 静

(淮南师范学院金融与数学学院，安徽 淮南 232001)

0 引 言

O.Schramm在[1]里引入SLE(随机Loewner发展)，三角形网格中的点渗流[2]，环删除随机游动SLE[3][4]，一致生成树[3]，以及调和测度[5]，均已运用SLE描述其极限情形。众所周知，简单随机游动的尺度极限是布朗运动，且在二维平面内是共形不变的。我们需要的是误差不依赖于边界的光滑性，可以将结果推广到更加广泛的领域内。[6]中给出了误差的范围，本文在其基础上通过表示出作为领域内径的幂更精确的误差，给出了简单随机游动的格林函数的优化估计。

1 预备知识

在这一节中给出本文涉及的一些定义、记号以及一些基本事实，更详细的请参见[7][8][9[10]等。

D是一个边界包含曲线的领域，gD(x,y)表示布朗运动的格林函数。如果x∈D，则称gD(x,·)为D{x}上唯一的在∂D上极限为0的调和函数。gD(x,y)=-log|x-y|+O(1)

一个D∈D*(D*为包含原点的若当领域)上布朗运动的等价格林函数可表示为gD(x,y)=E*[log|BTD-y|]-log|x-y|，对于不同的点x,y∈D，其中TD=inf{t:Bt∉D}。特别地，如果0∈D,gD(x)=Ex[log|BTD|-log|x|]x∈D

假设Sn为Ζ2上的简单随机游动，A为Ζ2上的一个子集，

τA=min{j≥0:Sj∉A}，

则

表示A上的随机游动的格林函数。

GA(x)=E*[a(SτA)]-a(x)x∈A

引理1(强逼近)存在常数c<∞，在概率空间(Ω,F,P)上分别定义一个二维布朗运动B和二维简单随机游动S且B0=S0，使得

引理2(Beurling反射定理)存在常数c<∞，使得如果γ:[a,b]→C是条满足|γ(a)|=r,|γ(b)|=R,0

2 简单随机游动格林函数的估计

(3.1)

其中gA(x)=gA(0,x)=-log|fA(x)|为A中布朗运动的格林函数，且

为了证明此定理，需要以下结果

(3.2)

由文献[9]及命题1可得命题2

(3.3)

引理3 存在常数a，使得对每个n，在同一个概率空间(Ω,F,P)上可以定义一个布朗运动B和简单随机游动S，使得如果A∈An，1

τA′=inf{t≥0:dSt(x)≤2clogn}

考虑以下事件

引理4 存在常数c，使得如果A∈An，|x|≤n2，那么

证明：对于任意n，如引理3中定义B，S。令

注意到

对于log|SτA|同理可得

如果x=0，有关系式

GA(x)=1+GA(e)=a(1)+GA(e) |e|=1

代入即可得定理1。