斐波那契数列若干性质的台阶法证明*

唐得娇，邓伟升

(1.通海县第一中学，云南 玉溪 652700；2.云南师范大学 数学学院，云南 昆明 650500)

斐波那契数列是组合数学中一个重要和活跃的研究课题，它有许多奇特的性质及应用[1-4]；斐波那契数列性质的证明方法有归纳法、公式法、母函数法及平铺法等[5-7]，但在某些性质的证明中，使用上述方法有的比较困难，有的则比较简单，本文利用台阶法证明了斐波那契数列的若干性质，并赋予其一定的组合意义。

1 斐波那契数列及台阶法

在1202年出版的《算盘书》中,意大利数学家列昂纳多·斐波那契提出了有趣的“兔子问题”[1]：在一年之初把一对兔子(雌雄各一只)放入围墙内，从第二个月起，雌兔每月可产一对兔子(雌雄各一只)，而雌小兔长满2个月后开始产兔，也是每月产一对兔子(雌雄各一只)，若不考虑死亡问题，到年末围墙内共有多少对兔子？

设第n(n=0,1,2,…)个月底，围墙内共有Fn对兔子，则F0=1,F1=1.当n≥2时，第n个月底的Fn对兔子可分为两类：1)第n-1个月的Fn-1对兔子；2)在第n个月出生的兔子，共有Fn-2对；则第n个月底，兔子的对数Fn=Fn-1+Fn-2.由特征根法或生成函数法可得

数列{Fn}n≥0称为斐波那契数列，数列中的项Fn称为斐波那契数.

“兔子问题”可等价描述为“上楼梯问题”：设某人上有n级台阶的楼梯，每步只能上1级台阶或2级台阶，试求上法数gn.显然g0=1,g1=1；当n≥2时，上法可分为两类：1)若第一步上1级台阶，则剩余的n-1级台阶的上法数为gn-1种；2)若第一步上2级台阶，则剩余的n-2级台阶的上法数为gn-2种；因此gn=gn-1+gn-2.由于数列{gn}n≥0与{Fn}n≥0有相同的初始值和递推关系，从而gn=Fn；将……