有限群的局部化HC-子群①

2022-12-25 10:17周红刘建军
关键词:子群定理矛盾

周红,刘建军

西南大学 数学与统计学院,重庆 400715

本文所讨论的群皆为有限群. 许多学者利用子群的广义正规性来研究有限群的结构,并得到了非常有意义的结果[1-2]. 在这方面,文献[3]引入了H-子群:设H是群G的子群,如果Hg∩NG(H)≤H对任意g∈G都成立,则称H是G的H-子群,并通过H-子群对有限群的结构进行了刻画. 文献[4]对这个概念进行了推广,并定义了HC-子群:设H是群G的子群,如果存在G的正规子群T,使得G=HT且Hg∩NT(H)≤H对任意g∈G都成立,则称H是G的HC-子群. 应用此概念,文献[5-8]研究了有限群G的某些素数幂阶子群是HC-子群时有限群的结构,获得了非常丰富的研究成果.

本文是以上研究的延伸,考虑有限群G的Sylowp-子群P的正规化子NG(P)的HC-子群对群G的影响.

引理1[4]设H和K是群G的子群,

(i)如果H≤K且H是G的HC-子群,则H是K的HC-子群;

(ii)如果N◁_G,使得N≤H,则H是G的HC-子群当且仅当H/N是G/N的HC-子群.

引理2[4]设H是群G的HC-子群,且H是G的p-子群. 如果N是G的正规子群且(p,|N|)=1,则HN与HN/N分别是G与G/N的HC-子群.

引理3设N是群G的正规子群,P是G的Sylowp-子群. 假设P的每个极大子群是NG(P)的HC-子群. 当以下条件之一成立时:

(i)N是P的子群;

(ii)(p,|N|)=1.

则PN/N的每个极大子群是NG/N(PN/N)的HC-子群.

证若N≤P,则由引理1直接验证可得.

现在假设(p,|N|)=1. 令M/N是PN/N的极大子群,则

M=N(M∩P)

|(PN/N)∶(M/N)|=|PN∶N(M∩P)|=|P∶M∩P|=p

故P1=M∩P是P的极大子群. 由已知可得P1是NG(P)的HC-子群,则存在NG(P)的正规子群T,使得

NG(P)=P1T(P1)g∩NT(P1)≤P1

对任意g∈NG(P)都成立. 从而

NG(P)N=(P1N)T

对任意g∈NG(P),n∈N都成立. 于是P1N是NG(P)N的HC-子群. 由引理1可知,P1N/N=M/N是NG/N(PN/N)=NG(P)N/N的HC-子群.

引理4[4]设N是群G的极小正规子群,且H是N的子群. 如果H是G的HC-子群,则H是G的H-子群.

引理5[3]设H是群G的H-子群. 如果H◁_◁_K≤G,则H◁_K.

定理1设p是群G的阶的最小素因子,P是G的Sylowp-子群. 如果P的每个极大子群是NG(P)的HC-子群,且存在H≤G使得H是G的HC-子群,并满足P′≤H≤Φ(P),则G是p-幂零的.

证假设结论不真,且设G为极小阶反例,分以下几步完成证明:

步骤1Op′(G)=1.

假设Op′(G)≠1. 根据引理2和引理3,G/Op′(G)满足定理1的条件. 由G的极小性,G/Op′(G)是p-幂零的,从而G是p-幂零的,矛盾.

步骤2 若P≤K

因为

NK(P)=NG(P)∩K≤NG(P)

所以由引理1可得,P的每个极大子群都是NK(P)的HC-子群,且存在H≤K,使得H是K的HC-子群,并满足P′≤H≤Φ(P),因此K满足定理1的假设条件. 由G的极小性知,K是p-幂零的. 如果NG(P)=G,则由文献[3]的引理2.7得到G是p-幂零的. 故NG(P)

步骤3H≠1.

假设H=1,则P′=1,即P是交换p-群. 由步骤2可知,NG(P)是p-幂零的. 设任意的Q∈Sylq(NG(P)),其中q≠p,那么PQ≤NG(P),因此PQ是p-幂零的且PQ=P×Q,即Q≤CG(P). 因为P是交换p-群,所以P≤CG(P). 由q的任意性得NG(P)=CG(P). 由Burnside定理知,G是p-幂零的,矛盾.

步骤4G′是p-幂零的.

因为H是G的HC-子群,所以存在G的正规子群T,使得

G=HTHg∩NT(H)≤H

对于任意g∈G都成立. 因为

P=P∩G=P∩HT=P∩T

所以P≤T,从而G=T. 由于P′≤H,且P/P′是交换的,因此H/P′◁_P/P′,故H◁_P. 于是

P∩(P′)g≤P≤NG(H)

又因为P∩(P′)g≤Hg,所以

P∩(P′)g≤Hg∩NG(H)

因此

P∩(P′)g=T∩P∩(P′)g≤T∩Hg∩NG(H)=Hg∩NT(H)≤H≤Φ(P)

由文献[9]的Grün定理,可得

P∩G′=〈P∩(P′)g,P∩(NG(P))′|g∈G〉

根据NG(P)的p-幂零性,可得

P∩G′=〈P∩(P′)g|g∈G〉≤Φ(P)

应用文献[10]的Tate定理,G′是p-幂零的.

步骤5

由步骤4,可以假设B是G′的正规p-补,则B◁_G,这与步骤1的结论矛盾,因此G′≤P. 这时

G′=P∩G′≤Φ(P)

故G′≤Φ(G),从而G是p-幂零的.

注1

(i)定理1中的假设“H是G的HC-子群”是必不可少的. 例如,令G=S4且P∈Syl2(G). 因为P=NG(P),所以P的每个极大子群都是NG(P)的HC-子群,且P′=Φ(P)是HC-子群. 但G不是2-幂零的.

(ii)定理1中的假设“p是|G|的最小素因子”也是必不可少的. 例如,设P是A5的Sylow 3-子群. 显然P的每个极大子群都是NG(P)的HC-子群,且P′=Φ(P)是HC-子群. 但A5不是3-幂零的.

推论1设p是整除群G的阶的素因子. 如果对任意的p,都存在G的Sylowp-子群P,使得P的每个极大子群是NG(P)的HC-子群,且存在H≤G,使得H是G的HC-子群,并满足P′≤H≤Φ(P),那么G是超可解型的Sylow塔群.

证当p是群G的阶的最小素因子时,G是p-幂零的. 设K是G的正规p-补,显然K满足假设,由归纳法可知K是超可解型的Sylow塔群. 因此G是超可解型的Sylow塔群.

定理2设F是包含超可解群系U的饱和群系,N是群G的正规子群,且G/N∈F. 如果对N的任一Sylowp-子群P,P的每个极大子群是NG(P)的HC-子群,且存在H≤G,使得H是G的HC-子群并满足P′≤H≤Φ(P),则G∈F.

证假设定理2不真,且设G为极小阶反例. 接下来我们分情况进行讨论:

情形1N是p-群.

假设Φ(N)≠1. 根据

Φ(N)◁_GG/Φ(N)≅(G/Φ(N))/(N/Φ(N))

并应用引理2和引理3,可得G/Φ(N)满足定理2的假设条件. 由G的极小性得G/Φ(N)∈F,故G/Φ(G)∈F,从而G∈F,矛盾. 因此Φ(N)=1.

设L是G包含在N的极小正规子群,容易证得G/L满足定理2的假设条件. 由G的极小性,可得G/L∈F. 不难看出L≤/Φ(G). 由文献[11]的引理2.6,可以假定

N=L1×L2×…×Ls

这里L1,…,Ls皆是G的极小正规子群. 易证G/Li∈F,其中i∈{1,…,s}. 如果s>1,则

G≅G/(L1∩L2)∈F

因此N=L1是G唯一的极小正规子群. 令N1是N的极大子群,根据假设条件,N1是NG(N)=G的HC-子群. 由引理4可知,N1是G的H-子群. 再应用引理5,可得N1◁_G. 由N的极小正规性得N1=1,故N是p阶循环群. 应用文献[12]的引理2.16,可以得出G∈F,矛盾.

情形2N不是素数幂阶群.

由推论1可得,N是一个超可解型的Sylow塔群. 令q是N的阶的最大素因子,Q是N的Sylowq-子群,则

Q◁_G(G/Q)/(N/Q)≅G/N∈F

显然G/Q对其正规子群N/Q满足定理2的假设条件. 由G的极小性得G/Q∈F,根据情形1可得G∈F. 定理2得证.

推论2对于群G的任一Sylowp-子群P. 如果P的每个极大子群是NG(P)的HC-子群,且存在H≤G,使得H是G的HC-子群并满足P′≤H≤Φ(P),则G是超可解群.

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