引入GeoGebra软件的“数学物理方法”教学改革探索

全鹏程，董义道，冯志刚

（国防科技大学空天科学学院，湖南 长沙 410200）

1 “数学物理方法”课程性质

“数学物理方法”[1-4]是一门既古老又新颖的学科，学界一般认为达朗贝尔在1746年《张紧的弦振动时形成曲线的研究》一文中提出弦振动偏微分方程标志着数学物理方法（偏微分方程）的诞生，从第一个偏微分方程一直到今天，各个领域都在诞生很多新颖奇特的偏微分方程，而关于偏微分方程的理论远远还没有完善。当代中国大学“数学物理方法”的教学内容一般包括复变函数和偏微分方程两部分，课程偏微分方程部分主要讲述的是19世纪解决线性偏微分方程的经典数学方法，包括：行波法、分离变量法、积分变换法、保角变换法以及格林函数法。

笔者讲授“数学物理方法”课程针对本校力学专业三年级的本科生，对于力学专业来说，课程的重要性体现在如下三个方面：第一，大学物理上升到力学的阶梯。力学专业是在“大学物理”基本概念的基础上构建完整的理论体系，而“数学物理方法”的课程知识就是构建完整体系必不可少的工具；第二，提升学生的逻辑思维能力；“数学物理方法”以概念定理、数学符号及各种偏微分方程将复杂的物理过程表现出来，一个简单问题的处理往往需要综合运用到很多数学知识，在这过程中就能够训练和培养学生的逻辑思维能力；第三，培养学生利用现有知识体系解决实际问题的能力。“数学物理方法”课程针三大类经典力学问题，讲述模型建立、方程解算以及实际问题预测相关的知识，能在经典力学问题的介绍中培养学生分析和解决实际问题的能力。

2 “数学物理方法”教学过程中存在的问题

2.1 课程内容繁而多，学生容易淹没在数学推导的汪洋大海

“数学物理方法”含有复变函数和数学物理方程（偏微分方程）两部分共十四章内容，每一章节又包含了很多由概念定理、数学符号、各类关系式、方程等形式组成的细小知识点，这些细小知识点经常会在不同章节交织在一起组成一张复杂的知识网。并且由于课程学时多，教学过程持续时间长，很多学生都会对某些知识点的掌握不牢固，而对于一些比较复杂的物理问题，因为涉及使用不同章节的数学知识，笔者经常遇到的一个问题是学生容易卡在某一个细小的数学知识点不可自拔而忽视掉物理问题的全局，甚至在整个课程的学习中产生多米诺骨牌效应──“一步跟不上，步步跟不上”。

2.2 课堂推导过程单调，学生听课过程中感到枯燥乏味

“数学物理方法”这门课程在某种程度上是披着物理外衣的数学，其涉及的物理背景相对来说比较简单，整个课程只涉及三大类物理现象：波动问题、热传导问题和稳定场问题（包括静电势分布问题）。对于物理问题的描述学生一般都较为清楚，但是课程大部分时间是利用偏微分方程的相关知识去解决物理问题，笔者在教学过程中主要是利用板书来推公式、解方程，基本上每次课都会写满四块板书，课件主要是对板书的补充和总结，看上去也基本都是公式和方程。对着密密麻麻的板书和课件学生难免会感到枯燥乏味，很难在两节课时间内都保持注意力集中。

2.3 结果抽象不直观，学生感到困惑的同时失去信心

“数学物理方法”的两部分内容是复变函数和数学物理方程，大量公式定理的讲解都涉及抽象的数学知识，学生不容易直观理解。复变函数的核心是解析函数的相关性质及应用，包括：解析函数、柯西积分理论、无穷级数、解析延拓、复变函数、留数定理以及积分变换，这些知识虽然都有物理上的应用，但是由于学时的限制讲解过程以数学定理的推导和证明为主；数学物理方程的核心是在不同的坐标系中利用分离变量法解偏微分方程，包括直角坐标系、极坐标系、柱坐标系及球坐标系，分离变量法的求解的结果往往都是利用本征函数组成的级数解，一个简单的物理问题的解往往要写成直观上无法理解的级数解，学生也容易感到困惑。

3 引入GeoGebra软件的教学改革措施

3.1 聚焦物理问题的描述与理解，源于物理，用于物理

“数学物理方法”课程虽然涵盖了很多数学知识，但其实课程的内容（尤其是数学物理方程部分）都有很深的物理背景，讲解过程将物理融入数学会大大提高学生对知识的接受度。以格林函数法的教学为例，笔者首先会以静电势的分布为例介绍无界空间的格林函数，其基本思想是将空间电荷分割为无限个点电荷，求出点电荷的电势分布（亦即其格林函数）后再进行叠加积分求出完整的电势分布。这部分的讲解主要是对学生已有物理知识的直接运用，接受起来也比较简单。然后再将这种无限分割求和的思想推广到有界空间，边界的存在物理上会产生感生电荷，数学上对应定解问题的边界条件，因而问题的关键是格林函数边界条件的提法。单纯依靠物理知识并不能解决边界条件的提法，剩下来的时间主要是利用格林第一公式和格林第二公式解决这个问题。最后，再将静电势分布的格林函数法推广到含时间项的物理问题，包括波动问题和热传导问题。格林函数法的核心思想起源于物理上的电势分布，经过延伸也能推广到其他的物理现象，虽然中间也有不少的数学公式推导，但是只要以“无限分割求和”这种朴素的物理思想为牵引，学生基本上都能比较容易理解这一方法并进行延伸。

3.2 穿插名人轶事、应用举例，丰富课堂教学内容

针对课堂枯燥无味，学生厌学情绪严重这一问题，笔者尝试了将和课程内容相关的一些科学趣事和应用举例融入课堂。笔者通常会用2个学时讲解贝塞尔函数应用的例题，该题解答过程比较复杂，以板书推倒为主，需要1.5个学时，剩下的0.5个学时笔者一般会穿插一些科学界的小故事来吸引学生注意力：贝塞尔函数是由德国数学家贝塞尔提出，其从26岁一直到62岁逝世都担任柯尼斯堡天文台台长，期间做出了很多天文学的发现，比如光年的概念就是由贝塞尔首先提出；同时，也会利用GeoGebra软件将结果可视化提高课堂学生的积极性和主动性。

3.3 利用GeoGeBra进行动画设计，让公式开口说话

GeoGebra软件[5]可以呈现一些无法板书或板书不清的复杂情境，甚至呈现三维效果，拓展学生的空间想象能力，更重要的是该软件能动态呈现变化过程，将枯燥无味的数学推导变得形象具体。笔者在教学过程中用到的一些GeoGebra应用实例包括：（1）复数及其代数运算的几何表示；（2）复变函数实部和虚部的几何表示；（3）黎曼面的形象表示；（4）解析函数实部和虚部等值线的正交；（5）多值函数绕支点/非支点一周函数值的变化；（6）傅里叶级数叠加对不同函数的模拟；（7）傅里叶变换与拉普拉斯变换核函数的区别；（8）随机信号时域和频率分布；（9）无界弦上左行波与右行波的动态演示；（10）行波在半无界弦上的反射及半波损失动态演示；（11）两端固定弦行波反射形成驻波；（12）波动方程解的动态演示；（13）热传导方程解的动态演示；（14）二维泊松方程解云图；（15）球函数值分布云图；（16）初等函数保角变换演示；（17）儒可夫斯基变换演示。实践发现将该软件引入数学物理方法课堂教学中，能够使得教学过程更加直观、生动并富有启发性，让学生印象深刻，从而激发学生自主学习的积极性，提高课堂教学质量。同时，笔者编写的GeoGebra程序在课后都会发给学生自主探索，学生在完成学习任务的同时能利用程序处理一些其他生活或者专业中的问题，提升了利用基础数学物理知识分析和解决问题的能力。

4 结语

通过聚焦物理、穿插举例、引入GeoGebra软件可视化对现有的教学模式进行了一定的改革，改变了传统教学模式中存在的一些弊端，将抽象复杂的公式和方程用图形和动画的形式展示出来，很好激发了学生的学习热情，提升了学生对知识重难点的理解，提升了人才培养的质量。