平面运动刚体上爬行小虫的运动图像

顾志琴,梁佩佩

(江苏航空职业技术学院, 江苏 镇江 212134)

文献[1]给出了定轴转动圆盘转过的角度与小虫相对圆盘参考系转过的角度之间的积分关系式.如果刚体放置在光滑水平面上,小虫在刚体上爬行时,刚体转过的角度与小虫相对刚体参考系转过的角度关系如何;如何根据小虫相对刚体的运动轨迹或转过的角度,确定刚体质心和小虫相对地面的运动轨迹,这些问题都值得去研究和讨论.本文将对这一问题进行比较详细的分析和讨论.

1 角动量和转角公式

首先,我们考虑刚体形状为板状.质量为m1的板状刚体放置在光滑水平面上,质量为m2的小虫(看成质点)在板状刚体上爬行.在水平面内,刚体和小虫系统只有相互作用的摩擦力.在一般情况下,刚体在摩擦力作用下做平面运动, 可用质心运动定理和绕质心轴的转动定理对刚体进行描述;对质点可用牛顿定律描述.当我们把刚体和小虫作为系统研究时,不仅可以避开未知的摩擦力,还可以利用刚体和小虫系统对竖直轴的角动量守恒,去处理我们需要解决的问题.

如图1所示,C为刚体质心,P为小虫,O为刚体和小虫系统的质心,r1、r2分别为刚体质心和小虫相对O点的位矢,r′为小虫相对刚体质心的位矢.由图1和质心定义可知

(1)

(2)

图1 小虫位于板状刚体上

(3)

式中Ic为绕过刚体质心垂直于板面竖直轴的转动惯量,ω为刚体的转动角速度,其方向沿竖直方向; 式中2、3两项中位矢和速度均在水平面内,矢积的方向沿竖直方向, 因此系统角动量只有沿竖直方向的分量.将式(1)、(2)代入式(3)得

(4)

图2 角坐标间关系

因为刚体和小虫系统在水平面内不受外力作用,外力矩为零,系统的角动量守恒.由初始条件得

(5)

上式为刚体转动角速度与小虫在转动坐标系中角速度间关系,负号表示刚体转动角速度与小虫在转动坐标系中角速度方向相反,等式两边同乘dt得

(6)

如果已知小虫相对刚体的运动轨迹,并能将r′表示为θ的函数,根据式(6)就可以积分求出α,进一步求出φ.当小虫相对刚体由A点运动到B点轨迹为曲线时,刚体转过的角度为

(7)

刚体转过的角度与小虫相对刚体的轨迹有关.式(7)与文献[1]中小虫在定轴转动圆盘上爬行情况的式(8)比较,两者具有相同的表达形式.质量为m2的小虫在板状平面运动刚体上爬行,可看成折合质量为μ的小虫在定轴转动的板状刚体上爬行,转轴垂直于板状刚体通过其质心C.

当小虫相对刚体沿直线轨迹AB爬行时,过C点作AB或其延长线的垂线,假设C点到AB直线或其延长线的垂直距离为d.垂线与C点连接小虫P的直线CP间夹角为β,规定小虫P偏离垂足点在爬行方向一侧的β角为正,小虫偏离垂足点在爬行反方向一侧的β角为负,垂线与C点连接轨迹两端的直线CA、CB间夹角分别为β1和β2.由图3可知

图3 小虫相对刚体沿直线轨迹AB爬行

上式对直线上任意点都成立,代入式(6)积分并利用初始条件可得,小虫由A点出发爬行到直线AB上任意位置时刚体转过的角度为

无论垂足点是在直线AB上,还是在直线AB的延长线上,或者在AB的反向延长线上,上式都成立.小虫由A点出发爬到终点B,刚体转过的角度为

(8)

上式表示刚体转过的角度与d、β1和β2有关,相同长度的直线轨迹可以在刚体上有很多不同位置,它们具有相同的d、β1和β2.由图3可知tanβ1和tanβ2都与d成反比,因此由式(8)不难得出结论:小虫相对刚体的直线轨迹AB通过刚体质心时,刚体不能发生转动.

根据式(1)、(2)和图2可知刚体质心在地面坐标系中的位置坐标为

小虫在地面坐标系中的位置坐标为

现在将板状刚体换成三维刚体,刚体仍置于光滑水平桌面上,小虫可以相对刚体做三维运动.小虫和刚体系统受到的外力只有自身重力和水平面对刚体的支持力,刚体仍然做平面运动,刚体只有对竖直轴Oz的角动量,表达式与板状刚体相同;小虫对Oz轴的角动量与小虫在垂直Oz轴平面内的速度分量和小虫到Oz轴的垂直距离有关.将图1中P点理解为小虫在刚体质心C所在水平面的投影,O点理解为系统质心在刚体质心C所在水平面的投影,刚体为板状情况下导出的公式均成立.

2 应用举例

例1如图4 所示,质量为m1、边长为l的匀质正n边形线框置于光滑水平面上,有一只质量为m2的小虫P在线框上的一个顶点,初始时框与虫均静止,求小虫沿线框爬行一圈回到出发点时线框转了多少角度？

图4 小虫沿正n边形线框爬行

(9)

式中负号反映小虫沿框架逆时针爬行时框架顺时针转动.小虫沿框架每条边爬行l距离时,框架转过角度相同,小虫沿框架爬行一周回到起点,框架转过的角度为

(10)

质量为m1、边长为l的正n边形线框通过其质心的竖直轴的转动惯量为

(11)

(12)

例2如图5所示,质量为m1、半径为R的匀质圆盘置于光滑水平面,有一只质量为m2的小虫P在圆盘圆心C处,初始时圆盘与小虫均静止.当小虫沿着圆盘上半径为R/2的圆形轨道一直爬行时,求小虫和圆盘圆心相对地面的轨迹.

图5 圆盘和小虫的初始状态

解：如图6所示,Cx′y′为转动坐标系,Oxy为地面坐标系,初始时Cx′y′与Oxy重合.小虫相对圆盘爬行一段时间后,圆盘转过角度α,质点在转动坐标系中位置为(r′,θ),小虫相对轨迹方程为

图6 圆盘和小虫在运动中

(13)

(14)

(15)

φn=α+θ+(n-1)α*=

(16)

(17)

小虫做第n圈爬行时,小虫在地面坐标系中的位置坐标为

(18)

小虫做第n圈爬行时,圆盘质心C在地面坐标系中位置坐标为

(19)

小虫和圆盘质心C在地面坐标系中的轨迹如图所示,实线为小虫P的轨迹,虚线为圆盘质心C的轨迹.图7对应m1=2m2, 圆盘半径R=1 m,小虫顺时针爬行,根据式(13)、(16)、(18)、(19)用matlab软件编程画出;图8对应m1=m2,圆盘半径R=1 m,小虫逆时针爬行,根据式(13)、(17)、(18)、(19)用matlab软件编程画出.

图7 m1=2m2，小虫顺时针爬行时， 小虫和圆盘质心相对地面的轨迹

图8 m1=2m2，小虫顺时针爬行时，小虫 和圆盘质心相对地面的轨迹

3 结束语

刚体放置在光滑水平面上,小虫在刚体上爬行的问题,可以作为阅读材料推荐给学生.文中公式的推导过程和应用举例,可以帮助学生进一步熟悉角动量的计算、认识角动量守恒定律的重要性,熟悉在几种不同的坐标系中线量(位矢、速度)之间、角量(角坐标、角速度)之间、线量与角量之间的关系.