数形双视角下的向量问题探究

马海俊

(襄阳市第四中学)

向量问题是高考必考的题型,它可以单独进行命题,也可以与其他知识进行交会考查.这类问题注重考查知识的基础性、综合性和新颖性,在很大程度上能够较好地考查学生的数学运算、数学抽象和数学建模素养.

1 代数视角

向量问题从代数角度进行命题,主要涉及对向量基本问题进行考查,总体注重基础性,我们应掌握向量的相关计算公式和基本概念,能够熟练地利用公式进行准确的计算.

点评本题能够较好地考查方程思想与学生的运算求解能力,特别需要强调的是利用向量解题时要明确所给等式的等价变换,例如,两个非零向量垂直的充要条件是两向量的数量积为0.

2 几何视角

以形助数能够较好地理解题目,在求解向量问题时,通过数形结合可以较好地对问题进行分析,这类问题常见于向量的线性表示,要熟练掌握向量的加、减运算.

例2已知向量a,b,c在正方形网格中的位置如图1 所示,若网格纸上小正方形的边长为1,则(a＋b)·c＝_________;a·b＝_________.

图1

解析以网格正方形的一条水平线为x轴,竖直线为y轴建立平面直角坐标系,则a＝(2,1),b＝(2,－1),c＝(0,1),所以(a＋b)·c＝(4,0)·(0,1)＝4×0＋0×1＝0,a·b＝2×2＋1×(－1)＝3.

图2

点评例2是图形展示,要求学生能够写出对应的向量坐标,例3则是能够建立了向量与平面几何的联系,再将元素的关系转化为向量问题进行解决,最终通过向量运算解题.

3 数形双视角

数形结合是一种常见的解题方法,也是一种数学思想,它能够较好地使问题直观化、简单化.应用这种思想可以把原来的几何问题转化为代数问题进行求解.

例4已知A(x1,y1),B(x2,y2)是不同的两点,点C(cosθ,sinθ),且则直线AB与圆x2＋y2＝1的位置关系是( ).

A.相离

B.相切

C.相交

D.以上三种情况都有可能

解析因为C(cosθ,sinθ),所以点C在圆x2＋y2＝1上,根据圆的对称性,可知点C取圆上的任意点都可以.

图3

例5正△ABC的内切圆圆心为Q,点P为圆Q上任意一点.若,则m＋n的取值范围为( ).

解析设正△ABC的边长为2,以BC,OA所在的直线为x,y轴,建立如图4所示平面直角坐标系,则A(0),C(1,0).

图4

点评建立合适的平面直角坐标系能够较好地使向量问题代数化.从问题本质上看可以发现这两道题属于几何问题,通过建立平面直角坐标系将原来的几何问题转化成了代数问题,能够使问题简单化.

(完)