基于大概念背景下高中数学概念教学的实践与思考
——以《平面与平面垂直的判定(一)》的教学片断为例

江苏省溧水高级中学 (211200)

李宽珍

1 问题的提出

所谓大概念，并非数学学科中所体现的概念或法则，而是指在进行数学教学的过程中，能够有效呈现数学核心内容所规定的核心教学任务的概念.由于高中数学概念比较抽象，对学生的认知要求较高，并且数学概念又是发展学生思维、培养数学核心素养的关键因素，但在实际教学中，概念教学仍然得不到一线教师的重视.大多数教师认为，概念教学不需要浪费太多的时间和精力，其教学过程往往“重结论，轻过程”、“重记忆，轻理解”.基于大概念背景下的概念教学有助于揭示数学的本质特征，帮助学生正确理解数学教学的宗旨，将概念发生、发展的动态过程展示在学生面前，让“冰冷的数学课堂”变得更加生动、 更加火热. 为此，笔者以《平面与平面垂直的判定(一)》的教学片断来谈谈大概念背景下高中概念教学，以期抛砖引玉.

2 教学片断实录

2.1 情境引入 明确方向

师：前几节课我们学习了面面平行的判定和性质，我们一起来回顾学习内容(学生回顾面面平行的判定和性质及研究方法).

师：生活中其实更多的是不平行，我们来看一下生活中的这样几张图片，并思考这些图片给你一个什么样的印象？(展示生活中常见的图片：打开的书本、笔记本和打开的门)

生：这些图片给我们的印象是两个平面相交.

师：很好.两平面相交的关系中，其中比较特殊的是两平面垂直，这个又是怎么刻画的呢？能否类比平面角定义平面和平面所成角？

今天我们就来学习两个半平面所成的角和两平面垂直的概念.

设计意图：通过复习引导学生回顾已经学过的知识内容和学习思路，通过展示生活中的图片，引出后面的探究活动，让学生感受到所学知识是浑然一体的，知识结构更完整更清晰，空间位置关系的学习是连贯的、学习方法是相似的.

2.2 关注过程 构建定义

(1)二面角的概念

师：这三个图片，是由我们的几何图形怎么演变过来的？

利用门、书、电脑三个生活中的实例，将其转化为数学图形，并清晰展示出其变化过程.

师：我们把这样的几何图形称为二面角.你知道构成二面角的要素是哪些吗？

课件演示平面角和二面角的生成过程，并引导学生类比平面角的构成要素，学生思考并建构二面角的要素及相关概念.

师：了解了二面角的概念，那如何作出二面角并写出二面角的符号表示呢？

生：类比平面角的表示方法，给出二面角的符号表示.

图形表示：平卧式、直立式，同时黑板上作出图形.

设计意图：通过多媒体课件演示，类比平面角和二面角，降低了概念的抽象性，使得对二面角的认识更直观，将学生对二面角的直观认知推向理性认知.要定义二面角容易，但是通过类比得到的概念不突兀，更自然、合理.

(2)二面角的平面角及作法探究

师：我们知道，张开一定角度的笔记本构成一个二面角，那么随着二面角张口的不同，二面角的大小不同，那如何度量二面角呢？

师：我们可以回忆下，我们是如何刻画直线与平面所成角的大小的？

生：我们用线面角来刻画直线与平面所成的角，也可以用平面角来表示二面角的大小，师：如何作出这样的平面角呢？下面我们来自己动手画一画.

探究活动：每个学生用事先准备好的A4纸折出一个二面角，画出一个平面角，变化二面角的大小，探讨找出最合理的平面角来表示二面角的大小.

师：下面请同学们说一说你是如何作出这个角的？

生：过棱上任意一点作两条与棱垂直的直线，这两条射线所夹的角即为二面角的大小.

师：过棱上任意一点做一条直线，折成二面角后所成的角能做为二面角大小吗？为什么？

生：过棱上任意一点做一条直线时，当两个半平面重合时，二面角为0度，但是此时的角不是0度，产生矛盾.

师：那能不能在棱上取任意一点，使得重合时夹角为0度？

生：这样虽然满足了重合时的角度，但是当两个半平面展开成平面角后，夹角不是180度，所以也不满足题意.

师：很好！只有与棱垂直的两条线的夹角才可以表示二面角的大小.(同时把二面角从重合状态展开到平面大小时，观察所作的角的大小，与二面角大小吻合.)

师生一起完善二面角的平面角的概念、表示方法及范围.

设计意图：引导学生自己动手操作，展示分享学生的不同结果，给学生示错的机会，对各种不同结果的辨析，引导学生体会二面角的平面角的作法由来是合情合理，自然形成的，让学生体会到数学定义、概念的形成都具有高度的科学性和合理性.

2.3 例题辨析 承上启下

师：刚才了解了二面角的概念，那你能不能快速找出下面几何体中的二面角.

例1 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，找出下列二面角的平面角，并说说二面角的大小. (1)二面角D1-AB-D的大小；(2) 二面角C1-BD-C的大小.

(学生读题、抢答，其他同学纠正，同时老师点拨讲解，并再次回顾二面角及其平面角的概念.)

师：二面角的平面角必须要与棱垂直，当平面角是直角时，称此时两个平面垂直.那如何证明面面垂直呢？

生：只有用面面垂直的定义，找出二面角的平面角，求出平面角是90度.

师：通过例1，你发现这样证明面面垂直有什么困难？

生：找平面角的过程繁琐，有时还不一定好找.

师：说的很好！类似面面平行，这就有必要去寻找面面垂直的判定定理了.

设计意图：通过例1的设置，一方面巩固二面角的概念，另一方面让学生体验定义法的操作性欠佳，启发学生类比面面平行，探索思考更简洁的判定定理. 通过这样承上启下的铺垫，这样，学生的主观能动性被激发，能自主探究新内容，而教师只需适时点拨，顺其自然，自然过渡下一个内容，教学过程更加自然、流畅.

2.4 挖掘本质 获得定理

(1)探究面面垂直的判定定理.

师：对于面面垂直，每次都找角、计算才能发现垂直，显然太过复杂，我们需要更具操作性的判定定理. 我们来看下面这个实例.

探究活动2：以教室里的门为例，在门开合的过程中，你能找出哪些平面是垂直的？你能说说这是为什么吗？

生：门在开合的过程中始终与地面垂直，原因是门轴与地面垂直.

师：很好！这样我们就得到了平面与平面垂直的判定定理.

你能给出证明吗？

生：根据定义，要证面面垂直，就要作出二面角的平面角，证明平面角的直角.

经过思考、讨论，学生给出证明.

图1

证明：如图1，设α∩β=l，因为m⊥α,l⊂α，所以m⊥l.设垂足为点O，点B为直线m异于点O的点，则OB⊥l.在平面α内，过点O作OA⊥l，则∠AOB即为二面角α-l-β的平面角.因为m⊥α,OA⊂α,所以m⊥OA，即OB⊥OA.所以∠AOB=90°，即二面角α-l-β是直二面角.所以α⊥β

师：非常好！通过证明，我们又一次理解了二面角的平面角的作法，同时对于定理的学习，我们的学习思路仍然是通过实例、找到垂直的条件，然后证明结论，最终形成判定定理.以后的使用中，我们要注意判定定理的使用条件，在使用中强化对定理图形、符号和结构的理解.

设计意图：在本课起始阶段，以多种生活中的案例展示给学生，保证学生脑中有面面垂直的印象，通过充足的案例，引导学生可以透过现象挖掘本质的东西，通过探究活动，提升了学生的空间想象能力、抽象概括能力和逻辑推理能力，进而培养了学生的数学素养.

2.5 突破难点 深化问题

学习判定定理后是熟练运用，让学生理解证明面面垂直定理的关键是找到线面垂直，并用严谨、规范的数学语言给予证明.

图2

例题如图2，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：面A1C1CA⊥面B1D1DB.

学生思考、回答，规范板书，再次巩固面面垂直的判定定理需要的条件.

设计意图：例题解析，给出此类证明题的解题步骤，规范书写，培养学生思维的严谨性，同时引导学生理解解决面面垂直问题的基本方法：线线垂直、线面垂直及面面垂直的转化.

2.6 归纳整理，整体认识

师：通过这节课的学习，你有哪些收获？

学生从知识层面和数学思想方面两方面复盘、总结，教师启发、补充、完善.

设计意图：学完本节知识后，帮学生建立自己的思维导图，将其纳入其已有知识网络，有利于学生更好的掌握和理解.

3 教学思考

以大概念统领具体数学知识，建立具体知识与大概念的对接，有利于促进学生从数学知识向核心素养的转化.大概念背景下的数学概念教学有助于学生站在更高思维层次理解数学学习任务.

3.1 有助于建立数学概念体系

高中数学概念教学应围绕大概念进行，这样数学不同概念可以通过更具逻辑形式表现出来.在数学概念的学习过程中，学生可以主动通过归纳、比较、类比等方法将不同的知识串联.

例如，在教学二面角概念时，笔者通过类比平面角的概念、形成及其要素，让学生感受二维到三维，低阶到高阶的思维变化，将新知识的获得建立在自己已有的知识体系内.这有助于学生加深对数学中相应概念和定义的理解和掌握，培养数学逻辑思维力.实际上，构建数学课程体系是至关重要的，不仅能够有效地减轻学生在新知识学习和知识复习巩固过程中的压力，而且让学生在单位时间内达到更为良好的学习效果.

3.2 有助于学生知识的融会贯通

在数学教学中，由于学习内容和课堂时长的受限，不少知识模块被拆分成多节课，在不同的课堂上呈现.这样做就会导致学生学生对这块整体的思路被切断打乱，等到下节课再开始时，学生就容易对这块知识的理解出现断层，衔接不畅，进而影响整体知识的融会贯通.

例如，在讲授二面角的平面角时，笔者引导学生回忆线面角是如何刻画的，进而想到面面角也可以用平面角来刻画张口大小.这样基于大概念教学理念的教学衔接让学生对学习的新知识不会有突兀感，意识到教师在不同课堂上所教的知识其实是一个整体.一旦学生意识到这种这种连接铺垫，原本数学教材中的碎片化内容就可通过重新整合，以更有系统性的方式展示在学生面前.长期以往，学生就能顺利串联数学课堂的知识，数学思维的广阔性、深刻性得到有效培养，从而提高数学基本素养.

3.3 问题探究是课堂教学的主线

大概念直指核心概念，是一条思维线，有一定的探索性和生成性，可以通过问题探究，激发学生的求知欲.基于大概念背景下的教学，就要精心设计有思维含量的问题和探究活动.例如，在探索二面角的平面角用什么角来刻画时，笔者事先给每位学生一张A4纸，引导学生将A4纸对折成二面角，用笔画出二面角的平面角，并在二面角开合的过程中，验证这样的平面角是否正确.引导学生在动手画图、讨论等多种活动中积累活动经验，学生的数学思维在潜移默化中得到了发展.这样，基于学生已有的生活和学习经验，利用朴素的素材、简易的手段，用数学核心问题和探究活动统领整节课，就能让教学脉络更加清晰，达到了“牵一发而动全身”之功效.

4 结语

基于大概念背景下的概念教学，有利于学生进行学法迁移，让学生对单元知识有整体认识，善于能够把握数学的本质.另外大概念教学的课堂节奏要慢一点.教师不要追求快节奏，要舍得给学生时间.例如，在探究平面角的获得时， 让学生不断比画，验证，给学生很大的思考空间，而不是让学生局限于某一道题.学生通过交流辨析，对空间角的理解会更加深刻.

总之，大概念是当今教学改革的热点，但是每个教师都要保持清醒的认识，只有深刻理解了大概念的内涵，才能在教学中灵活运用，彰显其价值，进而更好地发展学生的数学素养.