基于新型趋近律的永磁同步电机调速研究

邓豪，何志琴

（550025 贵州省 贵阳市 贵州大学 电气工程学院）

0 引言

永磁同步电机因具有高功率密度、体积小、调速范围广、高可靠性等特点，在工业控制、航空航天、电动汽车、医疗器械领域具有广泛应用[1]。当前，永磁同步电机矢量控制方式下，速度环常采用PI 控制。由于PI 控制简单，易于实施，参数调整简单受到了广大工程师的青睐。但是，由于永磁同步电机是多变量、强耦合、非线性控制对象[2]，PI控制只能满足工况简单的环境，当受到外界扰动以及工况突变的情况下，系统的鲁棒性将受到较大影响。对于高精度控制场所来说，简单的PI 控制已不能瞒住社会的需求。随着控制理论的发展，许多学者不断追求更好的控制方法。目前永磁同步电机调速常有模糊控制[3]、神经网络控制[4-5]、预测控制[6]、自抗扰控制[7]、滑模控制[8-9]。

滑模控制作为一种非线性变结构控制，在系统参数变化以及工况发生变化时，具有很好的抗扰能力和鲁棒性，被广泛应用于永磁同步电机调速系统中。但是滑模控制在滑动模态时，会在滑模面进行来回穿越产生抖振，如果不经过处理直接应用于永磁同步电机控制，会引起系统不稳定。因此许多学者采用了不同办法来消除控制过程中会带来的抖振。何秋生等[10]提出一种非奇异终端滑模面应用于永磁同步电机直接转矩调速系统中。非奇异终端滑模面能够在有限时间收敛，提高系统动态性能。同时结合趋近律设计了永磁同步电机速度环滑模控制，为了进一步减小抖振，引入模糊控制进行参数自适应调整，有效减小了抖振带来的影响，提高控制器动态品质；郭征华等[11]在传统指数趋近律中引入系统的状态变量来设计新型趋近律，加快了趋近过程。同时，当系统状态处于滑动模态时，系统在滑模面上的切换过程不再是带状，而是逐步减小的过程；夏先齐等[12]由于传统等速趋近律无法兼顾抖振和快速性之间的矛盾，提出一种新型趋近律应用于光电平台伺服系统中。由于该趋近律能够自适应变化，很好地抑制了抖振。同时，为了提高光电平台伺服系统的抗干扰，引入扩张状态观测进行观测，并进行前馈补偿，提高了系统的鲁棒性；Wang 等[13]针对传统指数趋近律的缺陷，提出一种改进的指数趋近律，同时使用模糊控制对滑模参数进行自适应调整。为了进一步提高系统的鲁棒性，使用扩张状态观测器对负载扰动以及未知的扰动进行前馈补偿，通过实验验证了设计滑模速度环控制器的优越性；Kang 等[14]通过对双幂次趋近律进行收敛时间以及相轨迹分析，提出一种通过构造反正切辅助函数双幂次趋近律，将该趋近律应用于二阶系统，从收敛时间、系统抖振、抗干扰性分析了其优越性；苗敬利等[15]设计了一种基于反正切函数滑模观测器，通过观测反电动势，并对转子位置进行补偿，对永磁同步电机的转速以及位置进行估计，将估计得到的转速反馈到设计模糊滑模速度环控制中，仿真显示在空载以及外加干扰的情况下，系统响应速度快，抖振小。

上述文献中，为了获得更好的控制性能，大多设计的趋近律增益都比较大。针对这一问题，本文提出一种新型趋近律，该趋近律在指数趋近律的基础上，通过在等速项中引入变速因子，使得系统状态可以根据距离滑模面的远近参数自适应调整，综合了快速性与抖振之间的矛盾，有效减小了系统的抖振。同时，为了避免参数的反复试凑，引入万有引力算法进行参数寻优。最后通过仿真实验验证所提趋近律的优越性。

1 永磁同步电机数学模型

为简化分析，建立一个理想的永磁同步电机数学模型，对PMSM 提出如下假设：忽略永磁同步电机铁芯饱和，忽略磁滞和涡流的影响，磁通势成正弦分布，忽略由于定子槽不规则所产生的影响[16]。

永磁同步电机在d-q 轴下的数学模型为：

式中：ud，uq——d-q 下的定子电压；id，iq——d-q下的定子电流；Ld，Lq——d-q 轴下的定子电感；R——定子电阻；ψd，ψq——d-q 下的磁链；ψd——永磁体磁链；ωe——机械角速度；ω——电气角速度；Pn——电机极对数。

电磁转矩方程为：

本文以表贴式永磁同步电机为例，因此Ld=Lq=L，所以新电磁转矩方程为：

运动方程为

2 趋近律设计与分析

2.1 传统趋近律

为改善滑模控制的品质，高为炳院士提出了趋近律概念，并设计指数趋近律为：

式中：ε，K——大于0 的常数；s——滑模面；sign（s）——滑动模态的切换函数；ks——指数项；-εsign（s）——等速趋近项。

当系统的初始状态S（0）远离滑模面时，此时通过调整指数项和等速项参数同时来完成趋近模态。当系统状态点到达滑模面时，此时指数项为0，由等速项来完成滑动模态。由于等速项含有符号函数，ε不可能为0，所以系统将一直伴随着以ε大小的抖振。由上述可以看出，可通过调整ε，k 参数保证滑模控制的动态品质。当ε，k 参数取较大值时，系统将以很快的速度收敛到滑模面上，但是会产生较大的抖振。当ε，k 参数取较小值时，系统的收敛速度较慢，抖振较小。此时通过计算指数趋近律的收敛时间，可以很明显地看出该趋近律的缺点，计算如式（7）—式（9）。

式（6）中，当s>0 时

假定系统的初始状态在S（0），系统到达滑模面的时间如下：

从式（9）可以很明显地看出，增大k 值可以加快系统的到达速度，但是到达滑模面的速度过大，系统状态会在滑模面来回穿越产生较大的抖振，反之也是。

2.2 新型趋近律

为了克服传统指数趋近律的缺点，本文提出的趋近律如式（10）：

式中：k1，k2——大于0 的常数；0<σ<0.1。

与传统的指数趋近律相比，本文所提的趋近律参数k1是自适应变化的，而不是像指数趋近律中的等速项ε是一个固定的常数。对所提趋近律进行趋近模态和滑动模态分析如下：

趋近模态：当系统状态远离滑模面时，由指数项和等速项同时起作用，此时等速项速度为k1e|s|，使得系统趋近速度变得很大，提高了系统趋近滑模面的速度。

为了进一步消除系统由于sign 函数所带来的抖振，文中选取双曲正弦函数作为系统滑动模态的切换函数，使得其切换过程更加平滑，其tanh（as）图像如图1 所示。

图1 双曲正弦函数图像Fig.1 Hyperbolic sine function image

最终，本文所提出的新型趋近律为：

构造如式（12）的Lyapunov 函数，分析本文提出的趋近律的稳定性。

由式（13）可知，e-|s|+σ|s|＞0。根据Lyapunov原理可知，当≤0 时稳定。所以当k1，k2>0 时，所设计的新型趋近律满足滑模控制的达到条件，系统能够在有限时间内收敛。

2.3 相轨迹图

为了进一步验证所提趋近律有更好的性能，与指数趋近律进行比较，以典型2 阶系统为例：

选取滑模面s=Cx,并进行求导：

将式（14）代入式（15）可得：

从图2 滑模运动的相轨迹可以看出，本文提出的趋近律具有快速趋近过程，并且在滑模面上滑动过程具有较小的抖振，从图3 趋近过程所需的时间可知，所提趋近律相比指数趋近律用时少。

图2 滑模运动的相轨迹Fig.2 Phase trajectory of sliding mode motion

图3 趋近过程所需的时间Fig.3 Time required for the approach process

3 PMSM 速度环滑模设计

定义永磁同步电机系统状态变量为：

式中：X1，X2——系统的状态变量；ωe——给定速度；ω——参考速度。

结合式（5）、式（21）可得：

为了消除系统稳态误差，本文选取积分滑模面作为系统的切换函数，表达式为：

对式（25）进行求导，并结合本文所提出的新型趋近律，可设计永磁同步电机滑模速度环的控制表达式为：

4 万有引力算法

万有引力算法是Rashedi 等[17]在2009 年提出的一种新型群体智能优化算法，该算法根据万有引力定律和牛顿第二定律而提出。万有引力搜索算法在求解最优问题时，空间中所有粒子都被看成具有一定质量的物体，并且能够在解空间运动。在寻优过程中，解空间的所有粒子都将会受到其余粒子万有引力的影响，受力大小与粒子的质量成正比，与距离成反比，进而导致粒子质量小的将会向粒子质量大的靠拢，经过多次迭代之后，所有粒子将会收敛到质量最大的粒子，该粒子位置就是求解问题的最优值。因此，万有引力算法在求解问题最优值时，其本质就是质量小的粒子向质量大的粒子靠拢过程，逐渐逼近最优值。根据万有引力和牛顿第二定律，可得关系表达式：

假设求解空间有N 个粒子，那么第i 个粒子在d 维空间的位置表达式为：

由式（23）可知，第i 个粒子在d 为空间中t时刻所受粒子j 的作用力如下：

式中：Mi（t），Mj（t）——t 时刻粒子i 和j 的惯性质量；ε——一个极小的常数，防止分母为0；Rij（t）——t 时刻粒子i 和j 空间欧式距离，表达式如式（26）；G（t）——t 时刻引力常数，表达式如式（27）。

式中：G（0）——引力常数初始值；a——衰减因子；t——当前迭代次数；T——总迭代次数。

根据式（22）可得，第i 个粒子在d 维空间中t 时刻所受加速度为

在引力搜索算法中，假设在d 维空间中t 时刻第i 个粒子受到解空间其他粒子的合力为（t），表达式为：

在该算法中，每个粒子的质量根据该粒子所处位置的适应度值计算，其计算公式为：

式中：fiti（t）——t 时刻第i 个粒子所处位置的适应度值；best（t），worst（t）——当前迭代最优和最差适应度粒子。

在万有引力搜索算法中，每个粒子位置和速度更新方式为：

算法寻优步骤如下：

（2）选择适应度函数为：

（3）设置最大迭代次数为30，通过不断迭代找到最小适应度函数的粒子，该粒子在搜索空间的位置是最佳滑模参数。

（4）判断算法是否满足约束条件，如果满足则结束寻优，输出最佳参数。如不满足结束条件，则继续寻优。

5 仿真实验结果

图4 为基于所提新型趋近律永磁同步电机滑模速度环结构框图。本文以永磁同步电机矢量控制为对象进行研究，采用id=0 控制策略，该控制结构主要包括速度环、电流环、SVPWM，通过坐标变换（Clarke，Park）进行解耦控制。

图4 永磁同步电机矢量控制结构框图Fig.4 Structure block diagram of permanent magnet synchronous motor vector control

本文在MATLAB 2014a/Simulink 仿真所采用的PMSM 模型参数为：定子电阻R=2.875 Ω，电感Ld=Lq=0.008 5 mH，磁通φ=0.175 Wb，转矩系数为1.05 N·m/A，转动惯量J=0.003 kg·m2，极对数=4。为了验证本文所提出趋近律的优越性，将提出的趋近律和指数趋近律相比较。

为了保证仿真对比的准确性，电流环参数保持一致，速度环分别采用新型趋近律和指数趋近律进行控制。指数趋近律参数分别为ε=200，k=300，c=60。本文趋近律通过采用万有引力算法进行在线优化，其优化参数分别为k1=1.51，k2=130.2，σ=0.01，c=2.5。

为验证永磁同步电机采用新型滑模转速环控制动态性能，系统仿真时在初始时刻设置空载转速为1 000 r/min，为对比系统的抗干扰性，在0.2 s时给系统突加5 N·m 的负载，在0.3 s 转速上升至1 200 r/min。其转速对比、电磁转矩、三相电流对比图分别如图5—图8 所示。

图5 转速对比Fig.5 Speed comparison

从图5 转速对比曲线看，采用指数趋近律设计的滑模速度环，系统有较快的响应，但是在初始时刻超调量大（31%），跟踪时间长（0.06 s）。采用新型趋近律设计的滑模速度环，响应速度快（0.03 s），并且转速无超调。当系统在0.2 s 突加负载时，指数趋近律转速波动大（50 r/min），恢复时间长；新型趋近律转速波动小（15 r/min），具有更快的恢复时间，当转速突变时，能够快速响应并达到稳态。图6 电磁转矩对比结果表明，指数趋近律控制下的转矩在初始时刻波动大，在0.2 s 突加负载时，电磁转矩达到时间长、稳定；在新型趋近律控制方式下，初始时间电磁转矩波动小、平稳，同时在0.2 s突加负载时，电磁转矩能够在很短时间快速跟踪并达到稳定。图7 和图8 分别表示在指数趋近律和新型趋近律控制下的三相电流输出。在指数趋近律控制方式下，初始时间电流相比新型趋近律控制具有大波动。在0.2 s突加负载时，指数趋近律下的三相电流畸变率严重，新型趋近律控制方式下三相电流更加平稳。当转速突变时，新型趋近律电流变化相对指数趋近律更小。综上，永磁同步电机采用所提的趋近律设计的滑模速度环比指数趋近律控制方式具有更好的动态特性。

图6 电磁转矩对比Fig.6 Electromagnetic torque comparison

图7 指数趋近律三相电流Fig.7 Exponential reaching law three-phase current

图8 新型趋近律三相电流Fig.8 New approach law three-phase current

6 结论

为了提高永磁同步电机的调速的动态品质，解决传统滑模应用于速度环具有较大的抖振、响应速度慢等问题。本文提出一种新型趋近律，该趋近律在传统的指数趋近律上进行改进，对等速项引入自适应因子解决滑模控制在快速性和抖振之间的矛盾，引入双曲正切函数进一步减小由符号函数切换过程带来的抖振，通过采用新型趋近律来设计控制器，使用MATLAB/Simulink 仿真结果表明，采用新型趋近律设计的滑模速度环能够减小系统的稳态误差，转速无超调，进一步改善永磁同步电机的动态品质和鲁棒性。