基于最大平均协方差的雷达波束调度算法研究

杨谨铭， 王 刚， 武梦洁

(1.光电控制技术重点实验室，河南 洛阳 471000；2.中国航空工业集团公司洛阳电光设备研究所，河南 洛阳 471000)

0 引言

雷达是机载与舰载平台的“眼睛”，是机载与舰载系统的重要组成部分，主要具有探测敌方目标位置和速度信息、引导导弹发射等功能。目前，机载和舰载雷达多采用较为先进的电子扫描阵雷达与相控阵雷达[1]。电子扫描阵雷达和相控阵雷达可以通过改变天线阵列所发出的波束合成方式来改变波束以及波束扫描方向，控制雷达波束的方向。相较于机械扫描雷达，相控阵雷达反应速度更快，可实现无惯性采样[2]。利用无惯性采样的优势，雷达可以实现在跟踪当前目标与搜索跟踪其他目标的任务之间即时快速切换，因此，需要合适的算法策略来解决管理和调动雷达波束问题，使其在跟踪多目标时能够使多个目标的跟踪精度均在期望范围内，实现在期望误差范围内可以同时追踪多个目标。

上述问题实际上是波束调度与目标跟踪问题，近几年专家学者们对波束调度问题作出了研究。MCNTYRE等[3]为传感器测量调度程序提出了一种称为OGUPSA的增强型动态抢占算法；文献[4-5]提出了一种基于信息论的传感器测量调度方法；KRISHNAMURTHY等[6]提出了一种计算隐马尔可夫模型(HMM)多臂匪帮问题的Gittins指数的方法，该方法可以应用于多目标跟踪的光束调度问题，但只涉及没有传感器搜索模式的跟踪任务。上述方法中的波束调度采用相同的方式对待所有目标，实际情况中，对于友机进行正常跟踪，而对于敌方目标常常需要高精度追踪，但上述方法并未考虑对于不同目标需要不同跟踪精度的问题。

由此KALANDROS等[7]提出一种协方差控制技术，可以解决不同目标所需跟踪精度不同的问题，该方法旨在减小各个目标的跟踪误差协方差(目标实际协方差与期望协方差之间的差值，不同目标精度有着不同的跟踪误差协方差)来控制雷达波束的调度，其中，LU等[8]提出了优化协方差误差的方法，该方法虽然解决了不同目标需不同跟踪精度的问题，但存在一个缺陷即每次仅优化多个目标中误差最小的目标，这可能会造成其他目标的误差一直处于积累状态，最终导致其中某一个目标在跟踪过程中丢失的情况出现。因此，本文提出一种新的思路，即基于最大协方差误差来调度雷达波束，同时采用交互式多模型滤波算法[9]来预测轨迹提供所需协方差矩阵[10]，以实现对于多个目标均处于期望的误差范围内。

1 交互式多模型(IMM)滤波算法

1.1 卡尔曼滤波器模型

卡尔曼滤波器算法是较为常见的最优线性状态估计算法，常用于解决通信、导航、传感器控制和数据融合等工程问题，其本质是在最小均方误差准则下求取最佳线性估计，卡尔曼滤波器运用递归的手段估计一个过程的状态，其中，状态方程需满足的线性高斯条件可表示为

xk=Ak-1xk-1+Bk-1uk-1+wk-1

(1)

式中：xk∈Rn,表示k时刻的目标状态向量;Ak-1表示状态转移矩阵(将k-1时刻状态转换至k时刻)；Bk-1表示k-1时刻的控制矩阵；uk-1表示控制向量(若模型无控制，则改写为xk=Ak-1xk-1+wk-1)；wk-1为满足高斯分布的过程噪声，均值为0，方差为Qk-1。

测量状态方程为

zk=Hk-1xk-1+vk-1

(2)

式中：zk∈Rn，表示k时刻的测量值；Hk-1表示量测矩阵，主要表示状态向量xk-1对于测量值zk的增益是已知矩阵；vk-1为满足高斯分布的量测噪声，均值为0，方差为Rk-1。

若先不考虑噪声，则目标状态的先验概率估计和系统测量值可表示为

(3)

zk=Hk-1xk-1

(4)

(5)

将系数G改写为KkH，Kk为卡尔曼增益，便将式(5)改写为

(6)

得到后验概率的估计值，如何让后验概率估计值更加接近真实值，需要调节卡尔曼增益 ,由此问题演变为在

(7)

经过计算得出

(8)

(9)

卡尔曼滤波的过程：通过上述的原理描述，将卡尔曼滤波器的工作过程分为两部分，第一部分是时间更新方程(即将当前状态与当前的误差协方差估计，向下一时刻进行外推，得到状态与误差的先验估计，主要利用物理原理等进行外推)，另一部分是测量更新方程(根据测量值与估计值之差，以及卡尔曼增益更新状态估计得到后验状态估计)，具体的步骤如下所述。

(10)

(11)

计算卡尔曼增益Kk

(12)

(13)

更新误差协方差pk

(14)

式中，I为单位矩阵。根据上述过程，将协方差不断地递归，解算出测量估计值和预测值之间的最优估计值。

1.2 交互式多模型架构

1.2.1 交互输入

简单来讲，由于运用单一的模型对目标状态进行预测，得到的误差一般是比较大的，由此提出交互式多模型架构，该架构运用多个模型对目标状态进行预测，并将各个模型预测的状态按照不断更新迭代的比例进行融合，得到误差较小的目标状态预测结果，其原理图见图1。

图1 交互式多模型模型概率转移图

(15)

式中：a表示第a个模型；γ为模型总数量。

1.2.2 卡尔曼滤波器滤波

设定各个模型对应的状态预测矩阵按照1.2.1节所阐述的方法，建立对应的模型状态最优估计值。

1.2.3 模型概率更新与数据融合

采用极大似然估计的方法，通过计算，分配给每个模型合适的权重，最终给出融合后的总体估计值和总体协方差，并作为下一时刻的输入，计算过程为

(16)

式中

(17)

(18)

模型j的更新概率为

(19)

c为归一化常数,即

(20)

最后，IMM-KF输出目标i的状态与预测协方差分别为

(21)

(22)

2 基于协方差的波束调度算法

2.1 波束调度算法原理

研究雷达波束调度算法，假设目前由一个雷达波束跟踪D个目标，以及D个目标之间的运动是相互独立的。可以利用协方差控制方法有效控制雷达波束具体探测对象，其基本思想是每个雷达波束在任意时间内最多获得一个目标的噪声测量，再通过IMM-KF模型会得到每个目标的预测协方差，根据预测协方差与所设定的每个目标的期望协方差之间的差值来确定该目标是否需要雷达波束再次探测，其原理见图2。

图2 波束调度算法思路图

图中，zk为雷达测量目标的测量值，将目标a(a=1,…,D)的状态信息输入IMM-KF模型中，按照1.2.3节中的原理输出目标i的下一时刻的状态预测值与协方差预测值ppre(tk+1)，预测协方差与期望协方差通过波束调节器按照一定的算法调度规则，判断雷达传感器下一时刻应追踪的目标，通过合理的调度规则可以实现对多目标的跟踪，并使多目标均处于期望的跟踪状态。

2.2 波束调节器的调度算法

波束调节的目的是期望每个目标在雷达工作过程中，获得的协方差预测值接近协方差期望值，采用如下的算法。

假设雷达在t时刻对于任意目标a(a=1,…,D)的控制变量用u(t)表示，其中，t=t1,t2,…,tk，u(tk)=0,1,…,D，u(tk)=2，表示追踪目标2，控制变量表达式为

(23)

式中，矩阵度量函数f(A,B)定义为

f(A,B)=det[abs(ΔP)]

(24)

ΔP=A-B

(25)

其中,A，B∈Rn×n，同时函数f(A,B)满足如下条件：1) 非负性：f(A,B)>0；2) 对称性：f(A,B)=f(B,A)。

根据式(23)，控制变量u(tk+1)每次选择更新的是D个目标中预测协方差与期望协方差差值最大的，引导雷达进行探测更新下一时刻的协方差预测值，循环往复，最终可以确保所有观测目标的协方差差值均在可接受范围内，实现波束的合理调配。

2.3 基于协方差的波束调度指标

为了量化波束调度算法的协方差控制能力，本文采用平均误差方差(AVE)和协方差差值比(CMR)作为衡量指标。

AVE定义为

VAVE=σ2

(26)

CMR定义为

(27)

其中：σ2表示方差；f为上述的矩阵度量函数；0表示零矩阵。由式(27)可以看出，CMR实际上是衡量实际协方差与期望协方差之间的接近程度。

3 实验验证

3.1 轨迹生成

为检验波束调度算法的能力，本文采用较为简单的二维轨迹生成器，对于每一个目标生成5段轨迹并形成4个高机动点，其中，每段目标运动的状态方程设置为

(28)

式中：x(t)代表横坐标的位移，y(t)表示纵坐标的位移；假定在进行雷达波束调配之前就已经捕获敌方目标，px与py为已知第一段轨迹中初始坐标的横坐标与纵坐标；ax，ay，vx与vy满足如下正态分布(采用战机的加速度与速度进行试验)，即ax,ay～U[-10,10] (单位m/s2),σa=5.77 m/s2；vx,vy～U[-250,250](单位m/s),σv=144.34 m/s。

3.2 模型搭建

本文IMM-KF模型由3个模型组成，分别是M1模型(采用CV模型)、M2与M3模型(采用CA模型)。

(29)

假设雷达波束停留时间为0.1 s，每个目标运动过程中的位置、速度、加速度之间相互独立，那么过程噪声协方差矩阵可以表示为

(30)

(31)

3.3 实验分析

按照上述理论搭建实验模型，共设计3个实验对本文提出的基于最大平均值的协方差误差值的多目标敏捷波束的自适应调度算法进行验证，以下实验均进行了100次蒙特卡罗实验。

实验1 目标A(Target A)与目标B(Target B)设置相同的期望协方差，如表1所示。

表1 期望协方差设定(实验1)

图3 目标A,B的轨迹与跟踪图(实验1)

图3中,目标A与目标B均进行了5段不同速度但时间相同的轨迹，产生了4个高机动时刻，分别对应图4中的4个CMR波动时刻。

根据图3所示的在目标整个运动过程中，IMM-KF模型能够很好地预测线性运动过程，但目标发生机动过程(即目标非线性运动)时会出现跟踪迟缓的现象，这是由于选用的卡尔曼滤波器对于非线性处理能力不强造成的，因此需要借助协方差来调整波束并进行跟踪。

如图4所示，目标A与目标B的CMR均有4次波动，分别对应着各自目标的4次机动过程，可以看出，目标A与目标B均在40步长左右收敛，对于AVE图像中可以看出，同一个时间中每次机动过程中目标A或目标B率先出现误差过高的峰值时，随后的误差降低幅度就会较大一些，这是因为本文算法选择的是优化同一时间段中协方差误差较大的目标，调取雷达波束探测该目标，使其协方差接近期望协方差，当其协方差误差减小后另外一个目标的误差相比就会较大，雷达再次探测另外一个目标使其误差减小，再次证明该算法确实可以有效控制波束调节，并使每个目标的协方差接近期望协方差。

图4 目标A,B在X轴上的AVE以及CMR(实验1)

如图5与图6所示，如果选取较小的协方差误差进行优化，由于目标B的误差较小，处于被持续优化状态，而目标A的误差一直处于最大值时，会导致目标A一直得不到雷达探测，最终丢失目标。

图5 文献[8]方法会造成目标A跟踪丢失

图6 目标A的AVE与CMR发散

实验2 目标A与目标B设置不同的期望协方差，如表2所示。

表2 期望协方差设定(实验2)

图7 目标A，B在X轴上的AVE以及CMR(实验2)

由图7可知,相较于目标A来说目标B的目标调整时间变短，这是由于提高了目标A的置信度，目标B的置信区间相较更大，更容易收敛。由此可以得出，在精度允许的范围内，可以适当提高目标的期望方差，提高置信区间以便目标可以快速收敛。

实验3 探究过程误差协方差(噪声误差)对波束调节的影响，通过设定的过程误差协方差系数来调节过程协方差的大小，在实验1的基础上仅增大协方差大小，将协方差系数改为q1=0.1,q2=1,q3=10。

图8 目标A，B在X轴上的AVE以及CMR(实验3)

对比图8与图4，图8中的波形变得又高又窄，这是因为增加过程误差协方差会降低预测置信度，同时缩短收敛时间。

4 结论

本文提出一种基于最大平均值的协方差误差值的多目标敏捷波束的自适应调度算法，通过考虑跟踪精度以及目标优先级可以调整合适的目标期望误差，能够较好地实现对雷达波束的调度。

通过仿真结果显示，提出的最大值平均值调度算法，采用IMM模型架构可以很好地平衡多个机动目标的跟踪，当目标的状态协方差与期望协方差相差较大时，分配波束进行跟踪。该算法的优点在于可以基于目标的优先级以及跟踪精度设置合理的期望协方差，每个时刻以最大平均误差的目标为主要优化对象，确保每个目标均在期望的方差中，以便实现较好的多目标跟踪。

但是，如何选取合适的、可较好地反馈出目标优先级的期望协方差是一大难点，同时若将该算法用于单一波束追踪目标，那么对追踪目标数量上限就有要求，对于单一波束来说，太多目标会导致跟踪不及时以至于丢失目标的情况发生。