基于方向微分和局部投影积分的纹理方向检测

郭恒光 李 伟 鲁华杰

(海军航空大学岸防兵学院 山东 烟台 264001)

0 引 言

纹理的方向性是表达纹理的一种重要特征，目前常用的纹理方向检测方法包括：基于梯度的方法[1-4]和基于信号变换的方法，如Radon变换[5-8]、Fourier变换[9]、Gabor变换[10]等。其中Radon变换是图像在指定角度下的投影变换方法，由于其内在的性质和对噪声具有较强的健壮性，在纹理方向检测和提取具有旋转不变性纹理特征中得到了广泛应用。文献[6]对图像进行Radon变换，根据每个角度上投影的绝对值之和的峰值位置来判断织物方向的角度。文献[7]利用改进的Radon变换方法，得到表述累加和数值大小的波形图，根据波形图的峰值判断图像倾斜角度。文献[8]是通过计算不同角度下图像Radon变换的方差，利用Radon变换检测直线的优势，以及在直线方向上投影具有较大方差的特点，将直线的方向当作纹理的主方向。由以上分析可以看出，文献[6-8]提出的以Radon变换为基础检测图像方向的本质是根据图像灰度在各方向投影的特征来确定纹理方向。在此基础上，本文根据陈前荣等[11-12]提出的采用一阶方向微分的方法用于运动模糊方向鉴别的基础上，提出基于方向微分和局部投影积分的纹理方向检测方法。首先在一定投影方向上计算图像各像素点的方向微分，并对得到的微分图像进行局部投影积分，然后计算局部投影积分向量的功率谱熵。然后变换投影方向，重复以上步骤，得到图像不同方向的微分图像的局部投影积分向量的功率谱熵。最后根据各方向局部投影积分向量的功率谱熵检测纹理方向。采用的方向微分包括一阶方向微分、二阶方向微分和分数阶方向微分，并且比较了这三种方向微分检测纹理方向时的性能，确定了最佳的方向微分形式。

1 方向微分

对于纹理图像，沿着纹理的方向，图像较为平坦，灰度值变化小，对应图像的低频成分；而在非纹理方向，尤其是与主纹理方向垂直的方向，图像灰度值变化剧烈，对应图像的高频成分。通过对图像的微分操作，可以加强图像的高频成分，增强纹理细节，并且弱化图像较为平坦的区域。

1.1 一阶方向微分

如图1所示，f为纹理图像，θ为投影方向，(i′,j′)是沿着投影方向与像素点(i,j)相距Δr的像素点坐标。

(a) 0≤θ≤π/2 (b) π/2<θ≤π图1 一阶方向微分计算

在图像坐标系下，当0≤θ≤π/2时：

(1)

在图像坐标系下，当π/2<θ≤π时：

(2)

(i′,j′)点处图像灰度值f(i′,j′)根据对纹理图像插值得到，则像素点(i,j)在θ方向的一阶方向微分为：

Δf(i,j)θ=f(i′,j′)-f(i,j)

(3)

1.2 二阶方向微分

如图2所示，(i′,j′)是沿着投影方向θ与像素点(i,j)相距Δr的像素点坐标，(i″,j″)是沿着投影方向的反方向与像素点(i,j)相距Δr的像素点坐标。

(a) 0≤θ≤π/2 (b) π/2<θ≤π图2 二阶方向微分计算

在图像坐标系下，当0≤θ≤π/2时：

(4)

在图像坐标系下，当π/2<θ≤π时：

(5)

(i′,j′)和(i″,j″)点处图像灰度值f(i′,j′)和f(i″,j″)根据对纹理图像插值得到，计算二阶方向微分时，采用中心差分的形式，则像素点(i,j)在θ方向的二阶方向微分为：

Δ2f(i,j)θ=f(i′,j′)+f(i″,j″)-2f(i,j)

(6)

1.3 分数阶方向微分

分数阶微分是对整数阶微分运算的推广，近年来在图像增强[13-16]、噪声检测[17-19]和边缘检测[20-23]等领域得到了广泛运用。当纹理图像纹理特征比较明显时，整数阶微分能够对纹理起到增强的作用，而当纹理特征表现不明显时，对于灰度变化不大的纹理细节信息(图像的低频成分)则会大幅度线性衰减。与整数阶微分相比，当微分阶次较小即0

迄今为止，分数阶微分在时域仍然没有统一的表达式，本文采用Grunwald-Letnikov[24]定义的分数阶微分。

如图3所示，(i′,j′)和(i″,j″)是沿着投影方向的反方向与像素点(i,j)分别相距Δr和2Δr的像素点坐标。

(a) 0≤θ≤π/2 (b) π/2<θ≤π图3 分数阶方向微分计算

在图像坐标系下，当0≤θ≤π/2时：

(7)

在图像坐标系下，当π/2<θ≤π时：

(8)

(i′,j′)和(i″,j″)点处图像灰度值f(i′,j′)和f(i″,j″)根据对纹理图像插值得到，计算分数阶方向微分时采用v阶微分差分表达式的二阶近似，则像素点(i,j)在θ方向的分数阶方向微分为：

(9)

2 局部投影积分

纹理方向与观察纹理时的尺度是密切相关的[25]，如图4所示，在窗口1内，观察到的纹理方向为45°，而在窗口2内，在较大尺度观察纹理时，其主方向为80°，显然在窗口2内确定的纹理方向更加合理[25]。因此为了使检测出的纹理方向更加符合人类的视觉特性，需要根据一定尺度下统计像素集合的性质，来确定纹理图像的主方向。基于此，本文提出基于方向微分和局部投影积分的纹理方向检测方法，所采用的局部投影积分方法是在文献[26]所提出的灰度投影积分的方法上改进得到的。

图4 方向和尺度

图5 方向微分图像局部投影积分

(10)

局部区域Si沿x′轴正方向投影到平面Q上，得到的投影积分pi为：

(11)

N个局部区域的在投影平面上的投影积分构成方向微分图像的局部投影积分向量Pθ：

Pθ=[p1,p2,…,pN]T

(12)

3 纹理方向检测

在纹理方向上，方向微分图像局部投影积分数值的变化比较大，因此根据信息论，采用各个方向局部投影积分向量的功率谱熵值来确定纹理图像的纹理方向。

基于方向微分和局部投影积分的纹理方向检测方法的步骤如下：

(1) 计算纹理图像在方向为投影方向为角度θ时的各像素点的方向微分，得到纹理图像的方向微分图像Δfθ(x,y)。

(2) 对方向微分图像Δfθ(x,y)进行局部投影积分，投影角度为θ，得到方向微分图像的局部投影积分向量Pθ。

(3) 计算局部投影积分向量Pθ的功率谱熵值SEθ。

(4) 在0°到180°范围内，间隔一定角度，重复步骤(1)到步骤(3)，得到各个角度的功率谱熵值。

(5) 功率谱熵最大值对应的角度值即为纹理方向α：

(13)

图6为磨粒图像及其90°方向的方向微分图像，观察该磨粒图像可以发现，磨粒表面具有很强的纹理性，并且纹理方向是单方向的，同时该磨粒图像存在光照不均的现象，即存在干扰，因此增加了检测该磨粒纹理方向时的难度。对比各方向微分图像可以发现，与一阶和二阶方向微分图像相比，分数阶微分图像更加凸显磨粒的纹理细节，而且抗干扰能力也更强。

(a) 磨粒图像 (b) 一阶方向微分图像

(c) 二阶方向微分图像 (d) 分数阶方向微分图像图6 方向微分图像局部投影积分

图7为采用一阶方向微分、二阶方向微分、分数阶方向微分和文献[8]的方法检测图6所示磨粒的纹理方向。文献[8]是根据Radon变换各投影角度投影向量方差的二阶导数来确定纹理方向，二阶导数最小值对应的投影角度即为纹理方向。根据图7(a)、图7(b)、图7(c)和图7(d)中的曲线，一阶方向微分、二阶方向微分、分数阶方向微分和文献[8]的方法检测出的纹理方向分别为172°、176°、135°和89°，其中分数阶方向微分检测出的纹理方向更加符合该磨粒纹理方向的实际角度，下面就通过纹理方向检测实验，评价各种方法的准确性及抗干扰能力。

(a) 一阶方向微分 (b) 二阶方向微分

(c) 分数阶方向微分 (d) 文献[8]的方法图7 纹理方向检测

4 实验结果与分析

为了客观评价本文所提方法的准确性，采用文献[8]中的纹理图像集，从Brodatz纹理图像选取25种纹理图像，如图8所示，第一行：D1，D4，D16，D19，D20。第二行：D21，D22，D24，D28，D34。第三行：D52，D53，D56，D57，D66。第四行：D74，D76，D78，D82，D84。第五行：D102，D103，D105，D110，D111。

图8 实验用的25种Brodatz纹理图像

每幅图像的大小为512×512，将每幅图像分为四个不相重叠的，大小为256×256的子图像，以10°为间隔，旋转10°到160°，然后从旋转后的子图像中提取大小为128×128的子图像，共得到1 600(25×4×16)幅图像作为纹理集。

4.1 方向检测

在方向检测实验中，投影角度选择0°到180°，间隔0.5°。误差定义为旋转角度连续的两幅纹理图像的检测出的纹理方向角度相减(理论上为10°)，然后减去10。图9为分别采用一阶方向微分、二阶方向微分、分数阶方向微分和文献[6-8]的方法进行纹理图像方向检测的平均误差和均方根误差结果。计算平均误差时，取误差的绝对值，柱状图中黑色对应的图像为各向异性的纹理图像，灰色对应的图像为各向同性的纹理图像。

(b) 二阶方向微分

(c) 分数阶方向微分

(d) 文献[6]的方法

(e) 文献[7]的方法

(f) 文献[8]的方法图9 纹理方向检测的平均误差和均方根误差

由图9及表1可以看出，分数阶方向微分检测纹理方向的结果是最好的，虽然一阶方向微分方法检测纹理的方向的平均误差的平均值和均方根误差的平均值要低于文献[8]的方法，但对比图9(a)和图9(f)可以发现，检测一些多方向的纹理图像的方向时，基于一阶方向微分的方法误差要大，如D34、D52、D53、D56、D82和D84，并且一阶方向微分和二阶方向微分检测各向同性的纹理图像的纹理方向时，误差也比较大。

表1 方向检测实验结果

对比图9(c)和其他图可以发现，分数阶方向微分的方法检测各纹理图像纹理方向的误差普遍小于其他方法，尤其是对于多方向的纹理图像，如D20、D21、D22和D56，检测误差都很小，检测各向同性纹理图像的方向时，误差都小于文献[6-8]的方法。因此根据以上分析，检测纹理方向时，分数阶方向微分效果最好，文献[8]的方法次之，二阶方向微分的效果最差。

4.2 噪声干扰

为了评价各方法对噪声的抗干扰能力，对比了添加高斯噪声前后各方法检测纹理方向的结果。误差定义为添加噪声后检测出的纹理方向与添加噪声前检测出的纹理方向的差值。

由图10(a)和图10(b)可以看出，一阶方向微分和二阶方向微分的抗噪声干扰能力很差，添加噪声之后，检测出的纹理方向误差很大，这是由一阶微分和二阶微分的性质决定的，整数阶微分在增强图像时，也会增强图像中的噪声，而且二阶微分比一阶微分对图像的增强程度要高于一阶微分，同时对噪声的增强程度也要高于一阶微分，表2的结果也反映了这一点。从图10(c)和图10(d)可以看出，分数阶微分和文献[8]的方法抗噪声干扰能力都比较强，误差比较大的图像一般都是各向同性的纹理图像，对于各向异性的纹理图像误差都比较小，对比图10(c)和图10(d)和表4-2，可以发现分数阶方向微分的方法抗噪声干扰的能力稍微优于文献[8]的方法。

(a) 一阶方向微分

(b) 二阶方向微分

(c) 分数阶方向微分

(d) 文献[6]的方法

(e) 文献[7]的方法

(f) 文献[8]的方法图10 纹理方向检测的平均误差和均方根误差

表2 方向检测实验结果

5 结 语

针对纹理方向检测问题，本文提出了基于方向微分和局部投影积分的检测方法，采用的方向微分包括一阶方向微分、二阶方向微分和分数阶方向微分，并且比较了这三种方向微分检测纹理方向时的性能，确定了最佳的方向微分形式。

根据实验结果可以看出，分数阶方向微分检测纹理方向的效果要优于文献[8]的方法，对于多方向的纹理图像的方向检测误差低，同时对于各向同性的纹理图像也能给出相对可靠的纹理主方向。在抑制噪声方面，分数阶微分在非线性增强图像的高频成分时，能够同时增强图像的纹理细节，非线性保留图像的平坦区域，并且能够避免产生较大噪声。提出的局部投影积分的方法能够在一定尺度上对纹理进行观察，根据局部区域内的方向微分图像的性质，提高纹理方向检测的准确度，使检测出的纹理方向更加符合人类的视觉特性。