匀强电场中电势差与场强关系的深度应用

翟佑彬

(重庆市第一中学校 重庆 400030 )

在高中阶段，匀强电场中电场强度与电势(差)的关系主要总结为3条结论：

(1)在电场强度(电场线)方向，电势逐点降低，任意两点间的电势差等于电场强度和两点在这个方向上距离的乘积，即U=Ed.

(2)在垂直于电场强度(电场线)方向，电势逐点相等，构成垂直于电场强度(电场线)的等势面.

(3)在任意一条(或多条互相平行)直线上，两点之间的电势差和两点间的距离成正比.

基于这3条结论，高考中多次出现根据匀强电场中特定几个点的电势求解空间电场强度的题目，这里仅举一例.

【例1】(2012年高考安徽卷第18题)如图1所示[1]，在平面直角坐标系中，有方向平行于坐标平面的匀强电场，其中坐标原点O处的电势为零，点A处的电势为6 V，点B处的电势为3 V，则电场强度的大小为( )

图1 2012年高考安徽卷第18题题图

分析与解答：由结论(3)，OA的中点C处电势为3 V；再由结论(2)，BC连线为等势线，与电场线垂直；如图2所示，过O点作OD垂直BC于D，电场线沿DO方向，由结论(1)有

图2 作电场线

(1)

其中UDO=3 V，DO=1.5 cm，代入有E=200 V/m.选项A正确.

类似题目多次出现，逐渐形成了这类题目求解的固定模式：先利用结论(3)找等势点，作等势线，由结论(2)作电场线，通过几何关系求解距离，利用结论(1)求解电场强度.而这种模式存在重要局限：一是数据不特殊可能会导致运算难度增加；二是由二维平面问题扩展到三维立体问题后几何关系难度会大大增加.

事实上，静电场中某处的电场强度等于该处电势梯度的负值[2]，即

(2)

其中i,j,k分别为x、y、z方向的单位向量.在匀强电场中，式(2)可写为

(3)

在高中阶段，可以作如下推导：在电场强度为E的匀强电场中，沿任意直线(与场强方向夹角为θ，如图3)取A、B两点，有

图3 电场强度示意图

(4)

即可写成匀强电场中电场强度与电势(差)关系的第4条结论：

(4)任意两点间电势差和这两点距离的比值等于电场强度在这两点连线上的分量.

由此求出3个互相垂直方向上电场强度的分量，即可矢量合成得到总的电场强度.对于例1，用结论(4)求解过程为

(5)

(6)

(7)

这个求解过程避开了几何关系的计算，就算不是特殊的几何关系，计算难度也不会太大.

如果把问题扩展到三维立体空间，优势就更明显了.

【例2】在一匀强电场空间中有一边长为1 cm的绝缘立方体框架，如图4所示，已知其中A1、B1、D1和D24个点的电势分别为0、2 V、4 V、8 V，求电场强度的大小.

图4 例2题图

分析与解：对于这个立体问题，不太方便通过等势点作等势面和电场线.图中很容易找到3个互相垂直的方向，可以利用结论(4)求解.

由结论(3)知φD2-φD1=φA2-φA1，可得φA2=4 V.以A1为原点建立如图5所示坐标系，由结论(4)有

图5 以A为原点建立坐标系

(8)

(9)

(10)

(11)

由此题，可以明显看到结论(4)在空间问题上的优越性.如果将题目中的垂直关系进行不同程度的隐藏，可构造不同难度的考题.

【例3】(重庆一中考题)如图6所示，在一匀强电场中作一棱长为1 cm的正四面体ABCD，已知4个顶点的电势分别为1 V、1 V、2 V和3 V，则该匀强电场的场强大小为( )

图6 例3题图

分析与解：注意到A、B两点电势相等，故AB连线为一条等势线，电场强度一定垂直于AB.如图7(a)所示，取AB边中点P，连接PD、PC，因AB垂直于PDC平面，则电场强度一定平行PDC平面.取CD边中点Q，连接PQ，显然PQ垂直于CD，在PDC平面内以Q为原点建立如图7(b)所示坐标系.

(a)

由结论(3)，易得

φP=1 VφQ=2.5 V

(12)

由几何关系，易得

(13)

由结论(4)，有

(14)

(15)

(16)

在非匀强电场中，结论(4)中两点的距离需要趋于零，即两点间电势差和这两点距离比值在距离趋于零时的极限等于电场强度在这两点连线上的分量.在电势-位移图像(φ-x图像)中表现为图像在某点斜率的负值等于该点电场强度在该位移(x轴)方向的分量.

若某电场中电势随坐标x的关系如图8所示，则从零到x1，斜率为正，Ex为负，即指向x轴负方向，逐渐减小；在x1处，Ex= 0；从x1到无限远处，斜率为负，Ex为正，即指向x轴正方向，先增大后减小.要特别注意的是，这只能描述电场强度在x轴的分量，在垂直于x轴方向的情况此图不能体现，即不能得到x1处场强为零的结论，也不能表明从零到x1场强逐渐减小.

图8 φ-x图像