PCK视角下几道小学数学经典习题教学价值的探讨

2023-03-17 14:33李继军
教学与管理(小学版) 2023年3期
关键词:平均数周长习题

摘 要 学科教学知识(PCK)体现了教师的专业独特性,是衡量教师专业水平的重要标志。作为数学经典习题以及训练方式往往承载着丰富的信息,折射出教师的教学观念、教学理解、教学策略以及教学艺术等视角,是构成教师学科教学知识重要且特别的部分。而对数学经典习题的解读与借鉴,也是教学实践与研究的一项重要内容。基于PCK视角探讨小学数学教学中几道经典习题所蕴含的教学法价值,可以丰富教师的学科教学知识,提升小学数学教学特别是数学训练的针对性和有效性。

关  键  词 小学数学 经典习题 教学价值 学科教学知识(PCK)

引用格式 李继军.PCK视角下几道小学数学经典习题教学价值的探讨[J].教学与管理,2023(08):36-40.

数学习题是组织数学学习训练的主要载体,也是教材中最有利于展现学生才能和创新能力的、最具活力的成分。长期以来,广大数学教师在用好教材配套例题、习题的同时,创造性地改编或设计了许多数学题,有些习题如同文化和艺术领域对优秀作品的评价一样堪称经典之作。这些经典习题以及具体的训练方式往往承载着丰富的信息,折射出教师的教学观念、教学理解、教学策略以及教学艺术等诸多视角,成为教师知识结构中独特且重要的组成部分。这种带有浓厚情境性、实践性,并指向解决学科具体问题、特定内容的教学经验与方法,按照有关教师知识的理论,可归入美国学者舒尔曼提出的“学科教学知识”(pedagogical content knowledge,简称PCK)的范畴。所谓PCK,是指教师将自己所掌握的学科知识转化成学生易于理解的形式,它具体表现为教师知道使用怎样的演示、举例、类比等来呈现学科内容,知道學生的理解难点[1]。学科教学知识体现了教师的专业独特性,是衡量教师专业水平的重要标志。而对经典习题的解读与借鉴,也是教学实践与研究的一项重要内容。下面以几道小学数学经典习题为例[2],基于PCK视角探讨它们的教学法价值,以丰富教师的学科教学知识,提升小学数学教学特别是数学训练的针对性和有效性。

一、变式性训练,促进对数学概念的深刻理解

习题1:如图1所示:甲、乙两人分别按规定路线从A点出发回到A点,那么谁走得路程多?正确的选项是(          )。

①甲走的路程多;

②乙走的路程多;

③两人走的路程一样多;

④无法比较。

本习题作为“周长初步认识”巩固应用阶段的变式训练题,旨在考察学生对“周长”概念的理解与把握。周长的认识属于概念学习,小学教材一般将周长定义为“封闭图形一周的长度”。理解周长概念需从两个要点入手:一是封闭图形的一周,二是长度。周长的本质是长度,是相同单位长度的累加,度量结果可以用一个数来表达。随着对周长概念的本质理解,从定性描述到定量刻画已成为当前周长概念教学的目标定位和行为追求。对于一个封闭的平面图形而言,它具有一维的“边线”和二维的“面”,区域是通过封闭图形来反映的,也就是说用一维的边“围”出了二维的面。教学实践表明,在较复杂情境中,它们之间往往会相互干扰,容易混淆,难以区分“边线”和“面”,无法达成对周长和面积概念的准确理解和掌握。上海版数学教材在“图形与几何”领域的编写上作了新的尝试,吸收了皮亚杰关于儿童几何认知发展的有关观点,即儿童对图形的认识与几何学的建立、发展顺序相反[3],教材按照“体—面—线”的线索安排图形的认识,不同于国内其他版本,该教材在编排上先认识面积(三年级上),再认识周长(三年级下)。但教材顺序的改变仍然没有取得预期的教学效果。有研究指出,儿童在认识周长和面积上所遭遇的认知困惑和障碍,在一定程度上具有历史相似性[4]。数学史还表明,在古代一段时期内甚至有关数学家对周长与面积之间的关系都存在误解,即认为周长长短和面积大小之间具有同向变化关联[5]。

认知心理研究指出,在概念学习过程中存在“编码效应”,即情境将影响学生的信息加工过程。为了克服记忆编码中对特定情境的依赖性,避免将无关特征当成概念的本质特征,教师应当使用适当的变式情境[6]。本习题作为小学数学的一道传统经典习题,一直以来为学科教师所传承和借鉴。这一习题兼有过程性变式和概念性变式的双重功能:一是通过创设实际生活情境,将周长概念蕴含于实际问题之中,要解决“谁走得路程多?”需要转化和抽象为 “一周的长度即周长”这一概念来解答;二是要理解各自周长,需结合长方形的特征且不为“面的大小”这一天然背景所干扰,通过理解和把握周长概念的两个要点,达到对概念对象的“守恒”,从而实现对周长的实质性理解。实践表明,变式教学是促进学生数学理解和能力形成的重要方法与手段。本题作为变式性习题,对促进学生理解周长实质具有良好教学法价值。一方面,由于“面”和“线”共存于一个图形之中,加上对图形背景“面”的“夸张”处理,即用曲线分成两个大小悬殊的面,从而干扰学生对周长概念的清晰认识,也就是对各自区域边线的正确把握。通过本题的数学训练,借助现代媒体技术演示有关“面”和“边线”(即“一周”)的图形要素,以观察、对比、分离、比划的方式引领学生区分“面”和“边线”,从而达到对周长概念的真正理解和把握。另一方面,这一习题也是一道在复杂情境中运用概念命题的变式题,可以看作知识应用过程中的问题解决,承担着数学学习中发展学生高认知水平的教学诉求。

经过岁月沉淀的经典习题往往蕴含着丰富的教学法价值,有教师把它作为“周长的初步认识”新知学习的情境引入题,如有教师这样改编:甲、乙两人按如图的规定路线从A点出发回到A点,这样的比赛公平吗?这样的设计与安排,其价值就在于:教师对教学内容进行心理化、问题化的组织,即从小学生普遍具有的“公正判断”的道德认知出发设计问题,旨在通过问题转化和数学抽象的认识活动,引发学生的认知冲突和初步思考,了解学生真实的教学起点,继而揭示课题,引导学生积极主动地投入到新知识、新概念的学习之中。当学生认识周长概念之后,教师在练习环节加以呼应,把它作为变式题再次引导学生加以思考与讨论。这一前后呼应的教学处理,既激发学生的求知欲望和内在动机,又通过知识应用促进学生对数学概念的切实理解和把握,体现经典习题所承载的丰富的学科育人价值。

二、逆向型思考,感悟数学抽象的力量和价值

习题2:(分步呈现题目)

第一步(如图2),出示4本相同的字典,并在下方显示“4a”。教师提问:“看到 4a,你想到它可能表示什么?”

第二步,媒体隐去4本字典的具体形象,放大4a,教师继续提问:“只看 4a,这个含有字母的式子还可以表示什么?”

弗赖登塔尔就数学学习的实质指出:“与其说学习数学,不如说学习数学化。”[7]实际上,数学化包括两个方面:一是学会用数学的观点考察现实,即学会数学地思考与研究各种现象,形成数学的概念、运算的法则,构成数学模型[8];二是运用数学的方法解决问题,即让学生将通过抽象化、符号化和形式化所获得的诸如数学概念、方法以及模型等成果,应用和迁移到具体问题的解决过程中。用字母表示数量关系的教学,教材一般借助典型加法模型结构和乘法模型结构的具体情境,引领学生经历从具体到抽象的概括过程,实现数学知识的理解和建构。实践表明,这种经历抽象化、符号化和形式化的数学化过程不是一蹴而就的,而是一个逐渐达成的过程。数学史上从具体到抽象的数学化过程有时要经历漫长的演变,甚至是充满矛盾、曲折和反复的认识过程,相当不易。基于上述认识,用字母表示数的新知建构以及后续相关数学训练,通常都是凸显从具体到抽象的数学化过程,往往忽视从抽象到具体这一相反的数学化过程。

本题同样是一道变式性习题,在教学“用字母表示数”时,作为练习巩固阶段的训练题,分两步进行:第一步旨在围绕字典素材把含有字母的式子以开放题的形式进行具体意义的回归训练,即a可以表示其中一本字典的页数、字数、价钱、重量、厚度等,则4a分别表示4本字典的总页数、总字数、总价钱、总重量、总厚度等。第二步,隐去4本字典的具体形象,只留下代数式4a,那么这个式子表示的范围则更广、具体事例则更多。如有学生回答道:若a表示1袋大米的售价,则4a 表示这样的4袋大米的售价;若a表示一辆汽车每小时行驶的路程,则4a 表示这辆汽车行驶4小时的路程,若a表示正方形的一条边长,则4a 表示这个正方形的周长,等等。

可见,本题的数学训练价值在于改进了以往数学教学中同方向、单通道的训练方式以及目标视角,即以往教师比较重视从具体到抽象的概括过程,而忽视了从抽象到具体的想象、解释过程。大家知道,用字母表示数是小学阶段正式学习代数知识的开始,从算术思维到代数思维是学生认识上的一次飞跃和重要转折。显然,这正是本题所展现的学科教学法的价值所在。从数学思维方式而言,可逆性思维的训练是发展学生思维灵活性的重要途径和手段。从抽象化的对象或结果,成为含有字母式子的抽象模型,体现了数学具有高度的抽象性以及应用的广泛性等特点。本习题的分步呈现处理以及不断挑战的任务驱动,既激发了学生的探求欲望和学习兴趣,又弥补了以往数学训练的不足,在重视具体到抽象的过程的基础上,增加新的教学功能。即引领学生经历从抽象到具体的解释和想象过程,发展学生的可逆性思维,以及提升学生的灵活性、创造性思维品质;同时,让学生感悟数学抽象的力量和魅力,体会代数思想和结构的优越性。的确,本题是一道与具体教学内容相配套的创新设计题,以开放题的形式引领学生多角度地思考与解答,并强调多解和求异,学生在解答过程中展现了与新知概念认识过程相反的思维过程,丰富了数学思维训练的方式。因此,在数学新课程的推进过程中,这一习题逐渐被教师所认可与推广。

三、心理化处理,寓规律掌握于游戏活动之中

习题3:转盘游戏(如图3)

出示游戏规则:一位小朋友转动,停止时指针所指的数,再加上这个数的本身,和是奇数,就有奖!和是偶数,就没有奖!

(1)当有3-4位学生尝试后,教师介入并提问:为什么没人得奖?

(2)如何修改规则,才有可能获奖呢?

本题是“奇数和偶数”新授课教学中一位教师开发的一道习题(上教版《数学》二年级上册数学广场“点图与数”)。本节课的教学主要包括两项学习内容:一是借助点图初步认识奇数和偶数,属于概念学习;二是探索两个自然数之和的规律性,即奇数+奇数=偶数、偶数+偶数=偶数、奇数+偶数=奇数,属于规则学习或规律性知识的学习。针对规律性知识的学习,教学中以“观察猜想—举例验证—寻找反例—得出结论—巩固应用”为推进线索,基于学生的认知水平和思维特点借助不完全归纳,引领学生开展知识“再发现”的过程,体现数学课程目标对规律性知识学习的内在诉求。在巩固应用阶段,教师精心设计本题作为考察学生是否真正达到对有关规律的理解和掌握。从教学效果来看,由于把教学内容和学生的游戏活动有机结合起来,学生的参与热情较高。当三位同学参与转盘游戏后,都没有得奖。这时,教师及时介入并提问:“为什么都没有得奖?”引导学生把对游戏本身的关注转移到相关数学思考上,即引导学生用数学的眼光观察游戏活动,用数学的思维思考游戏活动,用数学的语言表达与分析游戏活动。当学生用“偶数+偶数=偶数”“奇数+奇数=偶数”的规律性知识,表达和分析出“这样永远不会得奖”时,教师及时介入:“如何修改规则,才有可能获奖呢?”课堂暂时恢复了平静,学生经过沉思后,又争先恐后地提出修改建议,引发热烈讨论:①“可以这样规定:和是奇数,没有奖!和是偶数,可以获奖!”“我认为不好,这样人人都会获奖!”②“每人转动两次,把两次所指到的数相加,就有可能得奖!”③“每人转动一次所指到的数和对面的数相加,可能得奖!”“不对,一定不会得奖!”“为什么?”“转盘上相对应的两数恰好同为奇数,或同为偶数”。规则修改的互动环节,再次围绕着两数之和的规律性知识引发学生开展积极思考和讨论,在师生对话和生生对话中不时闪现出分析、评价和创造等高阶认知思维的火花。

数学教学游戏作为学科教学独特的教学方式和训练方式,一直得到学科教师尤其是低年级教师的重视。正如维果茨基指出的:“游戏创造了儿童的最近发展区”,这一最近发展区意味着儿童在力所能及的范围内,在已有知识经验的基础上进行探索和思考。本题的关键是游戏活动的创设应与学生对知识的理解与掌握相关联,为考察學生对规律性知识的理解与掌握程度,教师采用儿童最感兴趣的游戏形式加以呈现与表达,把数学问题置于游戏情境之中。游戏活动是儿童最喜欢的教学形式,对教学内容进行心理化与问题化组织,体现了数学教与学的心理规律。借助游戏活动,按照学生最感兴趣或最乐于参与的方式表达出来,使得数学学习活动特别是数学训练活动,做到既具“意义”又有“意思”,既获得认知发展又经历情感体验。在数学训练过程中,凸显从程式化训练到游戏运用的转变,可以体现优秀教师所具有的教学创新意识以及习题开发能力。

四、赋能型增值,变封闭习题为策略性开放题

习题4:有一板鸡蛋,每个鸡蛋的质量如下:

56g,55g,54g,58g,55g,53g,54g。

这板鸡蛋平均一个有多重?同一批次的100个鸡蛋大约有多重?

本题是一位教师基于教材配套习题的改编题,原题只有第一问。大多数教师认为,这是一道常规的习题,其安排目的无非是巩固平均数的一般计算方法,即方法1:(56+55+54+58+55+53+54)÷7=385÷5=55(g)。但在课堂实践与交流活动中,这位教师通过对平均数统计意义的教学法处理以及习题功能的挖掘与开发,使之由常规的封闭性习题变成一道策略性开放习题,其所蕴藏的丰富的教学法价值被其他教师所理解和接受,逐渐成为平均数统计意义教学中的一道经典习题。学生的解题策略与方法还有:

方法2:(如图4)即通过“移多补少”的操作方法获得答案55g;

方法3:50+(6+5+4+8+5+3+4)÷7=50+35÷7=55(g);

方法4:(如图5)

由于解题策略的开放性,在反馈评讲的师生互动交流中,充分展示了“一个生动活泼的、主动的和富有个性的”学习过程[9]。为何一道普通习题在课堂上会展现出丰富的教学内涵和目标诉求,变得如此富有教学活力呢?

首先,是教师对平均数统计意义的过程性教学。平均数作为反映一组数据集中趋势的统计量,在小学课堂一般是如何演绎的呢?据课堂观察,随着新课程的不断推进以及课堂教学交流活动的不断深入,学科教师大多能从实际问题情境出发,结合学生的操作活动,引领学生理解平均数的统计意义。即在总数量不变的前提下,通过“移多补少”的方法,得到平均数,并把学生的操作活动借助“条形统计图”的方式给予展示,继而感悟并初步理解平均数的意义。在此基础上得出平均数计算的基本数量关系与一般方法:平均数=总数量÷总份数。这种基于学生认知水平和思维特点的教学法处理,彰显了有经验教师丰富的学科教学知识,使得数学课堂充满教学活力。

其次,是教师对习题所蕴含的学科育人价值的深入挖掘。方法2在学生的解题过程中是否被允许?涉及到我们数学教师的教学理念问题,随着对“问题解决”教学的深入探讨,这样的解题形式也逐渐被教师认可与接受。实际上,方法2的解答中,体现了重视过程教学所给予的积极回报:一是学生感悟与理解了平均数的统计意义,特别是在遇到一组很有特点的数据时,借助“移多补少”的方法加以解决,并留下了思维过程可视化的痕迹。当然,其数学的原理或实质在于“离差的代数和为零”。二是采用这种方法的学生,不是没有掌握求平均数的一般方法,而恰恰是认知水平高、且对平均数有深刻理解的那部分学生的个性化解答与表达,体现了数学思维的“减缩”[10]。因而作为学科教师应该给予充分理解与肯定。方法3和方法4,解题思路相同,即根据数据特点,分别以50和55为标准,把平均数的计算与学过的灵活运算结合起来,同样说明学生对平均数概念的深刻理解并展现出相关的数学思维品质,体现数学教学促进学生思维发展的核心目标和学科内在诉求。当然,方法4只是个别学生的解答方法,涉及正负数知识,但值得称道的是学生基于经验用抵消思想给予顺利解决。可见,学生数学思维品质的发展以及创新能力与创新意识的培养,所涉及的并非仅仅是题型的改变,更重要的是教学思想的转变。一个问题能否成为开放性问题,不仅取决于问题本身的特征以及学习者现有的知识准备,更重要的是教师对所教知识的本质理解、宽容态度以及站位视角。

再次,是教师对平均數意义教学的认识高度以及相应教学行为的表现。平均数从典型应用题教学到作为统计知识的教学,经历了从理念到行为的变化过程。教师为平均数赋予统计意义的教学站位,体现了教师前后兼顾的教学理念以及教学行为,渗透平均数的重要用途之一——用样本平均数估计、推断总体平均数,初步体会平均数的统计推断作用,发展学生利用统计知识解决问题的能力与意识。

由于教师充分挖掘习题潜在的教学与训练功能,让一道普通习题成为“平均数”统计意义教学的多维度检测题,即借助本题训练,从不同视角体现过程性教学的目标诉求,实现对通则通法的理解与掌握,顺应灵活解决问题的个性化需求。一道教材配套的普通习题,经过教师的内涵挖掘以及改进设计,从训练功能上增厚学科育人价值,成就课堂教学的精彩,逐渐成为区域教师心目中的经典数学训练题。

以上基于PCK视角就几道小学数学经典习题的教学法价值进行了具体探讨与分析,其主要目的在于帮助教师更新教育教学理念,改进课堂教学行为,丰富教师的学科教学知识,从而提升教师的学科专业能力。可见,小学数学经典习题承载着知识、教育、发展以及评价等诸多功能,蕴含着丰富的学科育人价值。数学习题是数学知识的载体,选用、改编和创编数学习题既是一门科学,也是一门艺术,特别是数学习题的创新设计更需要教师的专业知识和实践智慧。让经典习题的研究与应用成为丰富教师学科教学知识,激发课堂教学活力,促进教师专业发展的有效策略与途径。

参考文献

[1]] 童莉.数学教师专业发展的新视角:数学教学内容知识(MPCK)[J].数学教育学报,2010,19(02):23-27.

[2] 李继军.关于小学数学几道经典习题的教学价值探讨[J].中小学教师培训,2011(12):44-47.

[3] 柯普兰.儿童怎样学习数学:皮亚杰研究的教育含义[M].李其维,康清镳,译.上海:上海教育出版社,1985:244-245.

[4][5] 汪晓勤.HPM:数学史与数学教育[M].北京:科学出版社,2017:431-432.

[6] 曹才翰,章建跃.数学教育心理学[M].2版.北京:北京师范大学出版社,2006:113-114.

[7] 弗赖登塔尔.作为教育任务的数学[M].陈昌平,唐瑞芬,译.上海:上海教育出版社,1995:4-5.

[8] 张奠宙,宋乃庆.数学教育概论[M].2版.北京:高等教育出版社,2009:44.

[9] 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准(2011版)[S].北京:北京师范大学出版社,2012:2.

[10] 张奠宙.数学教育研究导引[M].南京:江苏教育出版社,1994:323.

[责任编辑:陈国庆]

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