平抛运动中的“挡板”问题探究

■河南省郑州市第十一中学 饶中金

纵观历年来的高考试题可以发现,不少的平抛运动问题中都涉及“挡板”,这类问题以平抛运动为模型,利用各种“挡板”加以限制,意在考查考生应用数学工具处理物理问题的能力。下面分类讨论平抛运动中的“挡板”问题的求解策略,供同学们参考。

一、平抛运动中的平直类“挡板”问题

做平抛运动的质点与竖直墙壁、水平地面、斜面等平直类“挡板”碰撞时,求解质点在落点处的动能或速度的极值等问题的基本方法是:先利用质点做平抛运动的规律和功能关系结合“挡板”方程的限制条件,写出质点在落点处动能的函数表达式,再利用数学知识分析极值问题。

例1如图1所示,足够长的竖直挡板MN到O点的距离为l,可视为质点的小球从O点以水平初速度v0(大小可以改变)沿水平方向射出,小球击打在挡板上的P点(未画出)。求小球打到P点时的最小动能。

图1

解析：以水平向右为x轴正方向,竖直向下为y轴正方向,建立如图2所示的直角坐标系,设P点坐标为(x,y),则x=,因此小球做平抛运动的轨迹方程为小球做平抛运动的初动能为,小球运动到P点时的动能又有x=l,则Ek=,当,即y=(对应)时,小球打到P点时的动能最小,且Ekmin=mgl。

图2

点评:本题属于平抛运动中的竖直“挡板”问题,在坐标系中挡板的方程比较简单,直接利用平抛运动规律及动能定理,结合数学知识即可求出动能的极值。需要注意的是并不是质点在所有的挡板上落点处的动能都存在极值,比如做平抛运动的小球落到水平面上时,小球的动能就不存在最大值。

二、平抛运动中的曲面类“挡板”问题

做平抛运动的质点与各种弧形“挡板”碰撞时,求解质点在落点处的动能或速度的极值等问题的基本方法仍是:先利用质点做平抛运动的规律和功能关系结合“挡板”方程的限制条件,写出质点在落点处动能的函数表达式,再利用数学知识分析极值问题。

例2如图3所示,在粗糙水平台阶上静置一质量m=0.5 kg的小物块,它与水平台阶表面之间的动摩擦因数μ=0.5,且与台阶边缘O点的距离s=5 m。在台阶右侧固定了一个以O点为圆心的圆弧形挡板,并以O点为原点建立平面直角坐标系xOy。现用F=5 N 的水平恒力拉动小物块,一段时间后撤去拉力F,小物块最终水平抛出并击中挡板。取重力加速度g=10 m/s2。

图3

(1)若小物块恰能击中挡板的上边缘P点,P点的坐标为(1.6 m,0.8 m),求其离开O点时的速度大小。

(2)为使小物块击中挡板,求拉力F作用的距离范围。

(3)改变拉力F的作用时间,使小物块击中挡板的不同位置,求击中挡板时小物块动能的最小值。(结果可保留根式)

解析：(1)设小物块离开O点时的速度大小为v0,根据平抛运动规律得解得小物块从O点运动到P点所用的时间t=0.4 s,又有x=v0t,解得v0=4 m/s。

(2)为了能够击中挡板,小物块必须能够运动到O点,根据动能定理得Fx1-μmgs=0,解得x1=2.5 m。为了能够击中挡板,小物块到达O点时的速度不能超过4 m/s,同理得,解得x2=3.3 m。因此拉力F作用的距离范围为2.5 m＜x≤3.3 m。

(3)设小物块击中挡板的位置坐标为(x,y),小物块离开O点时的速度大小为v,则x=vt,y=,x2+y2=R2。由P点的坐标为(1.6 m,0.8 m)得R2=3.2 m2。击中挡板时小物块的动能,将R2=3.2 m2,mg=5 N 代入得,当,即时,Ek取最小值,且

点评:本题(1)问直接考查平抛运动的基本规律,比较基础;(2)问让求使得小物块击中挡板,拉力F作用的距离范围,主要考查动能定理的应用;(3)问让求做平抛运动的小物块在受圆弧形挡板限制的条件下,击中挡板时动能的最小值,需要根据题给P点的坐标写出挡板的曲线方程,进而利用动能的函数表达式求出小物块在落点处动能的最小值。

例3(2021年高考湖南卷)如图4所示,竖直平面内一足够长光滑倾斜轨道与一长为L的水平轨道通过一小段光滑圆弧连接,水平轨道右下方有一段弧形轨道PQ。质量为m的小物块A与水平轨道之间的动摩擦因数为μ。以水平轨道末端O点为坐标原点建立平面直角坐标系xOy,x轴的正方向水平向右,y轴的正方向竖直向下,弧形轨道P端的坐标为(2μL,μL),Q端在y轴上。重力加速度为g。

图4

(1)若小物块A从倾斜轨道上距x轴高度为2μL的位置由静止开始下滑,求小物块A经过O点时的速度大小。

(2)若小物块A从倾斜轨道上不同位置由静止开始下滑,经过O点落在弧形轨道PQ上的动能均相同,求轨道PQ的曲线方程。

(3)将质量为λm(λ为常数且λ≥5)的小物块B置于O点,小物块A沿倾斜轨道由静止开始下滑,与小物块A发生弹性碰撞(碰撞时间极短),要使A和B两物块均能落在弧形轨道PQ上,且小物块A落在B落点的右侧,求小物块A下滑的初始位置距x轴高度的取值范围。

解析：(1)若小物块A从倾斜轨道上距x轴高度为2μL的位置由静止开始下滑,设小物块A经过O点时的速度大小为v0,根据动能定理得mg·2μL-μmgL=mv20,解得

(2)若小物块A从倾斜轨道上某点由静止开始下滑,设它经过O点时的速度大小为vx,小物块A经过O点后做平抛运动,在弧形轨道PQ上的落点坐标为(x,y),合速度大小为v,则,整理得根据P点坐标为(2μL,μL),小物块A经过O点落在弧形轨道PQ上的动能均相同可知,小物块A落到P点时的动能即为落到弧形轨道PQ上任一点的动能,即,则,解得轨道PQ的曲线方程为

(3)设小物块A下滑的初始位置高度为h,小物块A在与B碰撞前的速度大小为vA,根据动能定理得解得设碰撞后小物块A的速度大小为vA1,小物块B的速度大小为vB,根据动量守恒定律得mvA=-mvA1+λmvB,根据机械能守恒定律得,解得碰撞后小物块A向左运动,沿倾斜轨道上升后,设它再返回O点时的速度大小为vA2,则,变形得,要使小物块A落在B落点的右侧,需要满足vA2＞vB,即解得将vA=代入解得根据(2)中所得可知,当小物块落在P点时有v2x=2μgL,要使A和B两物块均能落在弧形轨道PQ上,由vA2＞vB可知,只要小物块A能落在弧形轨道PQ上,小物块B就一定能落在弧形轨道PQ上,需要满足即,解得因此所求高度h的取值范围为

点评:本题(1)问考查动能定理的应用;(2)问涉及平抛运动受到椭圆形挡板限制,并给出了“落在弧形轨道PQ上的动能均相同”的条件,反过来要求考生根据已知条件去求解挡板的曲线方程,设问角度很新颖;(3)问考查碰撞模型,对考生应用数学知识解决物理问题的能力要求比较高。

例4如图5所示,以O为坐标原点在竖直平面内建立直角坐标系xOy,位于第Ⅳ象限内的挡板形状满足方程(单位:m),小球从第Ⅱ象限内半径R=0.5 m 的四分之一光滑圆弧轨道上某处由静止开始下滑,通过O点后开始做平抛运动,击中挡板上的P点时速度最小,取重力加速度g=10 m/s2,下列说法中正确的是( )。

图5

A.P点的坐标为

B.小球经过O点时的速度大小为3 m/s

C.小球击中P点时的速度大小为5 m/s

D.小球经过O点时对轨道的压力等于自身重力的3倍

解析：设小球经过O点时的速度为v0,P点的坐标为(x,-h),则解得小球经过O点时的动能为小球击中P点时的动能为因为P点在抛物线上,所以满足关系式即因此,当即时,小球击中P点时的速度取最小值,且vmin=5 m/s,此时,选项A、B 错误,C 正确。根据得H=0.5 m=R,说明小球正好是从圆弧轨道的最高点开始下滑的。设小球经过O点时受到的轨道压力为N,则,解得N=3mg。根据牛顿第三定律可知,小球经过O点时对轨道的压力N＇=N=3mg,选项D正确。

答案：CD

点评:本题给出了挡板的抛物线方程,以及小球击中挡板上P点时的动能存在极小值,按照基本方法求解即可。同学们在求解本题的过程中容易忽略两个细节问题:(1)忽略对小球在落点取动能最小值时对应的小球从圆弧轨道上下滑的初始高度的判断,本题中小球在落点取动能最小值对应着小球恰好从圆弧轨道的最高点下滑,若题目中给定的半径R=0.4 m 或R=0.6 m,结果又会怎样呢? 请同学们认真思考。(2)选项D 中求小球经过O点时对轨道的压力,需要先以小球为研究对象求出小球受到的支持力,再应用牛顿第三定律得出小球对轨道的压力。

1.某同学设计了一个滑梯游戏装置,其简化示意图如图6所示,一个光滑圆弧轨道AO固定在水平桌面上,O点在桌面右侧边缘上,以O点为圆心的光滑圆弧轨道BD竖直固定在桌子的右侧,C点为轨道BD的中点。若航天员利用该游戏装置分别在地球表面和火星表面进行模拟实验,将小球放在轨道AO上某点,让它由静止下滑,小球越过O点后飞出,落在轨道BD上。忽略空气阻力,已知地球表面的重力加速度大小为g,火星的质量约为地球质量的,火星的半径约为地球半径的。在地球表面或火星表面上,下列说法中正确的是( )。

图6

A.若小球恰能打到C点,则击中C点时的速度方向与圆弧面垂直

B.小球释放点越低,小球落到轨道BD上时的动能就越小

D.在地球表面和火星表面进行模拟实验时,若都从轨道AO上同一位置释放小球,则小球将落在轨道BD上的同一点

2.如图7所示,以O点为坐标原点建立平面直角坐标系xOy,x轴正方向水平向右,y轴正方向竖直向下,实线为椭圆弧挡板,挡板的方程满足,P点为挡板的上端点。现从O点沿x轴正方向水平抛出一小球,取重力加速度g=10 m/s2,则下列说法中正确的是( )。

图7

A.若抛出小球的速度为5 m/s,则小球能落到挡板上

B.小球落到挡板上时,速度改变量的大小可能为5 m/s

C.小球落到挡板上的不同位置,击中挡板时的速度大小一定不同

D.小球落到挡板上时,速度方向与水平方向之间的夹角不可能小于

3.如图8所示,足够长倾斜挡板的倾角为θ,O点位于斜面底端正上方高为d处,可视为质点的小球从O点以水平初速度v0(大小可以改变)沿水平方向射出,小球落在挡板上的P点(未画出)。求小球落到P点时的最小动能。

图8

参考答案：1.CD 2.BD