精心设置问题,优化初中数学教学

[摘  要] 问题是数学的灵魂. 随着新课改的推进，如今的课堂倡导以问题为纽带，让教学内容以问题的形式呈现出来，鼓励学生通过自主探究、合作学习等方式，主动获取知识的内涵. 文章从以下三方面对如何精心设计问题，优化数学教学展开阐述：阶梯状问题，完善认知结构;体验型问题，激发数学思考;合作型问题，促进思维发展.

[关键词] 问题;思维;认知

作者简介：胡磊（1989—），本科学历，中学一级教师，从事初中数学教学工作.

问题是数学教学的载体，缺乏问题的教学称不上真正意义上的数学教学，缺乏好问题的教学成就不了课堂的精彩. 若想触及教学的本质，就要进行深度教学的研究. 这要求教师不仅要在课堂中传授知识与技能，还要以“问题导向”来暴露数学本质，以激活学生的思维，促进学生各项能力的发展.

所谓的问题导向，是指以解决问题为方向，有效避开与问题关联不大的无用功. 本文以几类常见问题的设置为例，具体谈谈如何以问题为导向，引发学生思考，让学生在轻松、愉悦的氛围下实现综合能力的提升.

阶梯状问题，完善认知结构

教师设置逐层深入的问题，可为学生的思维铺设台阶，让学生在由浅入深的思考中，逐渐深化对知识的理解. 特别是初三复习阶段，时间尤为宝贵，教师若指望通过刷题来深化学生对知识的理解，简直是天方夜谭. 而教师紧扣专题复习，通过阶梯状问题的设置，可实现学生对知识的系统性认识，为解决综合性问题奠定基础.

案例1  “求直角坐标系中三角形面积”的专题复习

问题1：如图1所示，已知在直角坐标系中，点A（3，4），B（2，1），连接点A，B，O，可得一个三角形，求△ABO的面积.

设计意图  以一个低起点的问题，引发学生对如何建立模型来求底、高均不明显的三角形面积产生初步思考，引导学生在多种解法中感知各类解题方法的优势和劣势.

复习的目的在于让学生获得“举一反三”的解题能力，低起点的问题能引发学生的探究欲，让学生从中得出求斜三角形面积的基本模型. 此过程最大的优点在于让学生个性化的思维得以有效发展. 教师让学生通过知识的归纳与总结，提炼相应的解题方法，积累丰富的解题经验，这样的过程符合学生的认知发展规律，能有效降低学生复习时的心理负担.

问题2：如图2所示，已知在直角坐标系中，反比例函数y=4/x与一次函数y=2x+2分别相交于点A，B，求△ABO的面积.

设计意图  在以上建模的基础上，呈现本题的目的在于调动学生思维的积极性，解决稍微复杂一些的综合性问题. 本题意在考查学生对图形的处理能力、函数知识的综合应用能力以及几何分析能力，让学生通过对问题的思考与突破，进一步巩固基础知识，对函数背景下的几何知识的应用，产生更加深刻的理解.

学生在此环节的解题思考中，发现求该三角形的面积，利用“水平高×铅垂线”的方法比较简单，但这两个条件怎么寻找呢？这就需要学生学会归纳与总结，灵活应用第一个问题中所产生的模型.

问题3：如图3所示，已知点M（-2，-4）为抛物线y=ax2+bx+c的顶点，抛物线与x轴分别相交于点A，B，其中点A（-6，0），点C为抛物线与y轴的交点.

（1）求抛物线的表达式;

（2）△ABC的面积是多少？

（3）如图4所示，该抛物线在直角坐标系的第三象限上有没有一点P，可使得△ACP的面积最大？若有，求点P的坐标;若无，说明理由.

设计意图  引入“最值”问题，意在考查学生对函数与几何知识的综合应用能力. 此类题综合性高、难度大、灵活性强，尤其是动态几何中的函数最值问题，常让学生望而却步.

解决此类问题的关键在于学生具备良好的问题分析能力与图形处理能力，同时还要能利用数形结合思想与模型思想等数学思想解题. 从本题就能看出知识整体性和系统性的重要性，要求学生在旧知复习的基础上，还要有灵活的应变能力来建构新的模型.

问题4：如图5所示，已知抛物线y=1/5-x+3/5x+2与x轴的正半轴相交于点A，与y轴的交点为C，若过点C作x轴的平行线，与抛物线相交于点B，点D是位于线段OA上的一点，且DB=AB. 若点Q从点D出发，以每秒个单位的速度往点B的方向运动，求△ACQ的面积，并写出△ACQ的面积S关于t（单位：秒）的函数解析式与t的取值范围.

设计意图  基于以上几个问题，学生对求直角坐标系中三角形面积已经有了比较深刻的理解. 本题意在考查学生在动态几何中，如何获得三角形的面积. 这是在学生原有的认知经验上促进新知生长的过程，也是专题复习的目的所在.

縱观近年的中考试题，动态几何结合函数的问题常以压轴题出现，学生的解题正确率偏低. 此题的设计主要是为了促进学生获得较高层次的数学思维，为备战中考夯实基础. 对于本题的指导，教师可引导学生在分析问题的基础上，通过精准画图的方式，找出解决问题的关键点. 如图6所示，可将复杂的图象简单化，通过高度概括，抽象出基本图形.

通过以上几个问题的设置，学生对求三角形面积这个专题有了更为系统、整体的认识. 其实，每个问题的呈现，并不是为了让学生能解决这个问题，而是让学生获得解题思想与方法，当遇到同类问题时，能触类旁通，顺利解题. 因此，复习阶段教师切忌应用题海战术，而要精心设计目标明确的导向性问题，以激活学生的思维，提高复习效率.

体验型问题，激发学生思考

新课标提出，学生应有充足的时间与空间来参与实验、观察、猜想、推理等活动过程，这就明确了动手实践也是教学的重要手段之一，且体验式学习受到广大师生的一致好评. 以体验型问题为教学导向，能让学生在体验与感悟中对知识产生深刻印象，利于知识信息的储备与提取. 尤其是学生自主发现、分析与解决的问题，往往能有效地激发学生思考，促使学生思维发展，让学生体验到学习带来的成就感.

案例2  “角”的教学

活动准备：要求每位学生准备一副三角尺，以小组为单位进行拼图竞赛.

具体规则为：①用一副三角尺拼图;②用一副三角尺拼出确定度数的角;③拼图合格得一分，图形重复不得分;④5分钟内，将自己组内所拼出的角，用画图的方式记录下来，标明度数、字母与式子（如图7所示，∠ACD=∠BCA+∠BCD=75°）;⑤各小组选一组自己觉得最满意的图形进行展示，并根据展示图，提一个与角的度数相关的问题，大家对每组的问题进行不记名投票，看看哪组得到的票最多.

设计意图  让学生亲历动手实践过程，感知角的特征，用三角尺拼成符合要求的角，就需要考虑利用三角尺的边与顶点构造三角形的边与顶点，这注定一副三角尺拼在一起时，会出现边的重合，也是活动设计的主要意图所在——为了让学生体验“角是由一个顶点与两条边所组成的”.

学生一旦掌握了角的基本性质，后期遇到与角相关的计算类问题时，会自然而然地将问题转化为寻找角的顶点和两条边的问题. 此活动的最后一个环节，让学生展示自己最喜欢的角，成功地唤醒了学生的学习热情，使学生提出的问题也丰富多样，比如有学生自主提出了与角计算相关的经典问题：

问题1：如图8所示，根据一副三角尺所拼出来的图形，计算∠BAB′与∠B′C′C的度数.

解决本题的关键是将∠B′C′C视为一个平角减掉∠AC′B′，这不仅让学生知道拼图后，所构成的角的顶点不一定是三角尺两个顶点的重合，还可以是一个顶点与一条边的重合，这就挖掘出了一个隐含条件——“平角”.

问题2：如图9所示，根据一副三角尺所拼出来的图形，计算∠BB′D的度数.

这也是一个含金量比较高的问题，它的精妙之处在于拼图时，一副三角尺的顶点并未重合，而是边重合，这不仅挖掘出了“平角”这个隐含条件，还初步显露出了“平移”的本质.

评析  随着社会的进步，竞争是每個学生未来必须要面临的挑战，也是每个公民的基本素质. 教师设计以小组为单位的竞赛活动，让学生不仅体会到竞争带来的快乐，还激发了学生的合作意识. 直观的体验式学习，更符合初中生的身心发展规律，合理的竞争制，能促使学生产生积极参与的热情.

学生通过“做中学”，深刻领悟了角的性质，并在提问与思考中推动了思维的发展. 事实证明，在课堂中适当地加入竞争的学习方式，能有效提升学生的课堂参与度，让学生产生自主思考的动力. 本教学过程要求学生拼出指定角的度数，并从不同角度去思考与分析问题，正因为如此，才呈现出了令人惊喜的类似问题1、问题2的问题.

随着操作活动的完成，本节课关于角的基本计算的问题也就迎刃而解，为后期涉及的平移问题奠定了基础. 显然，体验型问题为学生思维搭建了良好的平台，让学生在自主动手操作中体验、感悟到知识的本质，让学生形成从不同角度看待问题的习惯，有效促进了其数学思维的形成与发展.

合作型问题，促进思维发展

合作是为了达到共同的学习目的，是个人与个人、群体与群体之间联合行动、互相配合的一种学习方式. 孔子有云：“独学而无友，则孤陋而寡闻. ”从这句话可以看出，合作学习模式具有悠久的历史. 随着时代的发展，新课标对合作学习提出了更高的要求. 合作型问题的提出，不仅给学生提供了明确的思维导向，还让学生心往一处想，劲往一处使，为更好地挑战自己、突破自己而努力.

然而，提升合作能力的前提是有效合作，坚决杜绝假讨论、伪合作等不良行为. 研究发现，达到有效合作需具备以下几个基本条件：①目标一致;②合作人员具有统一的认知和规范;③合作者之间互相信赖.

初中生的合作学习以小组合作为主，主要建立在学生自主探索的基础上，鼓励学生张扬个性，将独立思考与合作探究有机地结合在一起，实现个体主体性以及实践能力与合作意识等综合素养的共同发展. 而合作性问题的设置，是培养与渗透合作意识的基础，能有效提升学生的综合素养.

案例3  “余角”的教学

要求学生以合作学习的方式，完成以下几个问题.

问题1：

（1）如图10所示，用量角器分别测量∠α，∠β的度数，说说这两个角的度数之间具有怎样的关系.

（2）若点D的位置不发生改变，转动上面的三角形，猜想∠α，∠β的度数之间可能存在怎样的关系.

（3）若从你们已有的认知经验出发，可以解释以上猜想吗？

问题2：填空.

如果____，则这两个角互为余角.

问题3：判断下列说法的对错.

（1）如图11所示，已知点B为直线CD上的一点，∠ABD为直角，那么∠ABE与∠DBE互为余角. （     ）

（2）如图12所示，已知∠AOC与∠DOB都是直角，则∠AOB，∠COB，∠COD互为余角. （     ）

（3）如图13所示，已知∠1=25°，∠2=65°，那么∠1，∠2互为余角. （    ）

设计意图  通过合作型问题的设置，引导学生在合作中探索出两角互余问题的本质与内涵，成功地揭示了互余的概念，也引导学生经历了“猜想—验证—总结”.

总之，问题导向是实现有效教学的一种高效模式，问题作为学生思维的起点，亦是课堂的焦点，教师要优化数学课堂教学，就要精心预设问题，用心搭建平台，让学生在积极参与中深刻感悟数学本质，并形成善问、敢问、乐问的学习习惯. 如此，则能开启智慧之旅，有效提升学生的数学核心素养.