一道高考模拟试题的解法深度探究及应用

骆妃景　潘巧玲　黄汉青

［摘  要］ 圆锥曲线焦点弦问题研究的是直线与圆锥曲线的位置关系，是数形结合思想和划归转化思想的重要体现. 而这个特殊的位置关系背后蕴藏着一些不变的代数性质，一些简洁的运算结论，是培养学生核心素养的绝佳载体. 恰逢处于高中二轮复习阶段，圆锥曲线焦点弦问题在近期高考模拟试卷中频繁出现，在新课标全国卷的小题中也得到了充分重视和体现. 因此，对圆锥曲线焦点弦问题继续挖掘和探究是必要的. 文章以2022年八省联考（T8联考）数学试卷第8题为例，利用弦长公式、韦达定理、特殊化思想、极限思想等，探究了圆锥曲线焦点弦的性质，并应用这些性质研究了高考与模拟考试中的焦点弦问题的解法，为解决焦点弦问题提供了新思路，由此培养学生的数学抽象、数学运算、逻辑推理等数学核心素养，实现高效复习.

［关键词］ 圆锥曲线；焦点弦；性质；数学核心素养

试题呈现

解法探究

拨云见日，迁移探究

焦点弦性质结论的巧妙运用

结束语

圆锥曲线的焦半径倍分问题是考试中常见的题型，例3、例4、例5这三道高考真题，体现了两类典型问题，一类是已知焦半径的倍分关系或焦点弦的倾斜角（也可以是一般的斜率），求离心率或a，b，c的一个等量关系；另一类是融汇数学思想，将焦点弦的斜率或焦半径的倍分关系作为未知数，通过离心率求参数. 除了焦半径的倍分问题外，在高考中也经常出现一般弦长的倍分问题、中心弦长的倍分问题、平行弦长的倍分问题等.

从以上例子可以看出，焦点弦夹角公式和焦点弦性质结论的应用可以巧妙地解决焦点弦问题．对2022年八省联考（T8联考）数学试卷第8题的解法3的探究及應用，不仅能引导学生抓住问题的本质，提高学生的解题能力，还能促进学生逻辑推理、数学运算、直观想象等核心素养的发展． 例2、例3、例4、例5对焦点弦问题的考查相隔年份很短，由此可见，高考题在考查学生数学核心素养方面是不分时段的，它们所蕴含的知识背景是相同的，因此研究高考题不能局限于年份，甚至十年前的高考题也未必过时，这要引起教师的重视.