几类Wiener 过程相交局部时的小偏差估计

林珑珑，梁明杰

（1.福建师范大学 数学与统计学院，福建 福州 350117；2.三明学院 信息工程学院，福建 三明 365004）

随机过程的相交局部时有着十分丰富的研究史，它起源于数学物理工作者对随机过程样本轨道交叉的关注，具体可参见文献[1].

事实上，随机过程的相交局部时与量子场论的重整化群方法、自回避随机游动模型及随机聚合物理论等有着密切联系[2-6].特别的，随机过程样本轨道交叉所产生的有关偏差已被应用于相关物理模型的研究，例如聚合物模型中某些临界指数的识别[7]、抛物型Anderson 模型间歇性分析[8]等.布朗运动作为单指标随机过程的重要代表，其相交局部时及相关理论已被众多学者深入研究.相较于此，多指标随机过程的相交局部时还有许多值得探究的问题.多指标Wiener 过程作为布朗运动在多指标情形的泛义推广形式具有深刻的理论意义与应用价值.

本文中，笔者主要探讨几类Wiener 过程相交局部时的小偏差估计及相关问题.特别的，本文首次给出了两指标Wiener 过程相交局部时的小偏差估计，为相关单指标Wiener 过程相交局部时研究推广至多指标情形提供了丰富样例与技术参考.

1 预备知识与主要结论

特别的，当N=1 时，W即为一维标准布朗运动，当N=2 时，W则为一维两指标Wiener 过程，有些文献也称之为标准布朗单（Brownian sheet）.

本文中，我们重点考察几类Wiener 过程相交局部时，并给出其小偏差估计的如下结论：

定理1.1设，且满足对任意有

和

注1.1当K=1 ，即P1=1 时，有

即得关于一维标准布朗运动的经典结论

定理1.2设，且满足，对任意存在常数，有

和

注1.2若记为Delta 函数，则有从而根据Fubini 定理，利用积分变换可得

由于Wt与-Wt具有相同分布，从而上述（1.3）和（1.4）式子中关于Wiener 过程的相交局部时可替换成形式仍然成立.同理，定理1.1 的相关结论也有相仿的替换形式成立.

进一步的，若我们考虑关于Wiener 过程的如下形式相交局部时

对任意ε＞0 ，有

从而我们可得类似定理1.2 中（1.4）式的结论

然而，对任意ε＞0 ，由于我们只能得到如下估计

从而我们无法得到定理1.2 中关于小偏差下界估计的相仿结论.

定理1.3设，且满足对任意存在常数有

和

注1.3特别的，根据文献[9]的论述，利用文献[9]定理1.4 的结论，我们可将定理1.3 中Wiener过程相交局部时形变为的形式，关于（1.5）和（1.6）式的结论保持不变.

2 定理证明

定理1.1 的证明由于，且满足对任意根据广义Hölder不等式，有

从而对任意ε＞0 ，

进而利用文献[10]中第六章定理2.7 的结论，有（1.1）式成立.

另一方面，对任意ε＞0 ，

进而有

再次利用文献[10]中第六章定理2.7 的结论， （1.2）式得证.

定理1.2 的证明类似上述（1.2）式的证明，利用广义Hölder 不等式，任意ε＞0 ，

故有（1.3）式成立.

对于（1.4）式的证明，与证明（2.2）式相仿的，

进而由文献[9]定理1.1，可得

命题得证.

定理1.3 的证明利用文献[9]定理1.4 的相关结论，本定理的证明方法与上述定理1.2 的论述过程相仿，因篇幅有限，这里不再赘述.

3 结 语

众所周知，超弦理论是一种基于弦状粒子的理论，它作为新生物理学理论为克服量子引力难题提供了合理解释.随机过程样本轨道交叉性能有效刻画超弦理论中弦相交特征，希冀本文所讨论的几类Wiener 过程相交局部时的有关结论能为超弦理论模型提供必要的理论支撑.