一类椭圆方程多重变号解的存在性

林美琳

(应用数学福建省高校重点实验室(莆田学院),福建莆田 351100)

§1 引言

定理1在上面的假设条件下,若N ≥7,0<µ<-(2+2a)2,则存在θ∗>0,当0<θ<θ∗时,方程(1)在中至少存在k重变号解.

§2 预备知识

§3 一些引理

引理1对于方程(1)的正解u1,u2,···,uk,存在正的常数A1,A2,有

对任意x ∈B(gj,r){gj},r充分小都成立.

此引理的证明见[8].

引理2对于方程(1)的正解uj(j ∈{1,...,k}),有

这样就完成了(9)式的证明,(10)式可以类似得证.

为了下面的证明,引入下列定义.

定义1

由(V2)和Sobolev不等式知>0.

此引理的证明见[9].

定义2对j ∈{1,···,k},选择r0=δ/3.定义

此引理的证明见[3,Lemma3.2].

此引理分两步来证明.

对于t ∈(t1,t2),将引理3 中正的值记为s+(t),s-(t),再由引理3,有

由于s+(t)关于t是连续的且满足

相似地,s-(t)关于t是连续的且满足

由s±(t)的连续性可知存在一个tε ∈(t1,t2)满足

取t=tε,s=sε,则(1)的第一部分得证.

接下来,要证明的是当ε充分小时,βj(sε(uj-)±)

由tε的选择,{x ∈Ω;uj(x)≥}是非空的.又因为

因此对j ∈{1,···,k}有

由(12)和(13)以及βj的定义有

利用(14),(15),引理2以及tε的有界性,可以得到

此引理的证明见[10,p290-291].